Matematik Hap Bilgiler - Hızlı Tekrar

1. Rakam ve Sayı Kümeleri

• Rakamlar: 0-9 arasındaki semboller. (Örn: 7 bir rakamdır, 27 değildir).
• Doğal sayılar: 0’dan sonsuza giden sayılar (N). (Örn: 0, 5, 120).
• Tam sayılar: Negatif, pozitif ve sıfır. (Örn: -3, 0, 12).
• Rasyonel sayılar: Kesir halinde yazılabilen sayılar. (Örn: 3/4, -2/5, 0,25).
• İrrasyonel sayılar: Kesirle yazılamayan sayılar. (Örn: √2 ≈ 1,41, π ≈ 3,14).
• Reel sayılar: Rasyonel + irrasyonel tüm sayılar (R).
• Örnek: –7 bir tam sayıdır ama rasyonel sayı da olabilir (–7/1).

2. Sayı Çeşitleri ve Özellikleri

• Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılar. (Örn: 2, 3, 5, 7, 11).
• Çift sayılar: 2 ile tam bölünebilenler. (Örn: -4, 0, 8).
• Tek sayılar: 2 ile bölündüğünde kalan 1 olanlar. (Örn: -3, 5, 17).
• Pozitif tam sayılar: 1’den başlayan tüm doğal sayılar. (Örn: 1, 2, 3...).
• Negatif tam sayılar: 0’dan küçük tam sayılar. (Örn: -1, -25).
• Mükemmel sayılar: Kendisi hariç bölenleri toplamı kendisine eşit. (Örn: 6 = 1+2+3).
• Örnek: 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.

3. İşlem Önceliği

• Öncelik sırası: Parantez → Üs/Kök → Çarpma/Bölme → Toplama/Çıkarma.
• Örnek: 2 + 3 × 4 = 14 (önce çarpma yapılır).
• Örnek: (2 + 3)² = 25 (önce parantez, sonra üs).
• Örnek: 18 ÷ (3 × 3) = 2 (önce parantez içi çarpma).
• Örnek: 2 + 6 ÷ 2 = 5 (önce bölme yapılır).
• Örnek: (8 – 2) × (4 + 1) = 6 × 5 = 30.

4. Ardışık Sayılar ve Toplam Formülleri

• n tane ardışık sayının toplamı = n(n+1)/2.
• Örnek: 1’den 10’a kadar sayıların toplamı = 10×11/2 = 55.
• Ardışık tek sayıların toplamı = n². (Örnek: 1+3+5+7 = 16 = 4²).
• Ardışık çift sayıların toplamı = n(n+1). (Örnek: 2+4+6 = 12 = 3×4).
• Örnek: 1’den 100’e kadar sayıların toplamı = 5050.
• Örnek: İlk 20 çift sayının toplamı = 20×21 = 420.
• Örnek: İlk 5 tek sayının toplamı = 25 = 5².

5. Faktöriyel Kavramı

• n! = 1×2×3×…×n.
• 0! = 1 kabul edilir.
• Örnek: 5! = 1×2×3×4×5 = 120.
• Örnek: 6! / 5! = 6.
• Örnek: 8! / 6! = 7×8 = 56.
• Örnek: 10! / 8! = 9×10 = 90.
• Faktöriyel kombinasyon, permütasyon ve olasılık sorularında sık kullanılır.

6. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• İşlem önceliği hatası en çok yapılan tuzaktır, dikkat et.
• Ardışık sayı sorularında formülleri kullan, tek tek toplama zaman kaybettirir.
• Asal sayı tanımını iyi bil, sınavda kesin soru gelir.
• Faktöriyel sorularında özellikle 0! ve 1! değerlerine dikkat et.
• Hız için kısa yol pratiklerini öğren. (Örn: 1’den 100’e kadar sayıların toplamı = 5050).
• Çıkan sorular genelde formül bilgisini değil → pratik uygulamayı ölçer.

1. Doğal Sayılar ve Özellikleri

• Doğal sayılar 0’dan başlar ve sonsuza kadar gider. (Örn: 0, 1, 2, 3, …)
• Toplama ve çarpma işlemleri daima doğal sayı verir. (Örn: 5+7=12, 3×4=12).
• Çıkarma işlemi her zaman doğal sayı vermeyebilir. (Örn: 3-5 = -2 ∉ N).

2. Tam Sayılar ve İşlemler

• Tam sayılar: Negatif, pozitif ve 0’dan oluşur. (Örn: -3, 0, 12).
• (-) × (-) = (+), (+) × (-) = (-). (Örn: -2 × -5 = 10, -3 × 4 = -12).
• (-) ÷ (-) = (+), (+) ÷ (-) = (-). (Örn: -12 ÷ 3 = -4).

3. Rasyonel Sayılar

• a/b şeklinde (b≠0) yazılabilen sayılardır. (Örn: 3/4, -2/5, 0,25).
• Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. (Örn: 5 = 5/1).
• Rasyonel sayılar ondalık sayı şeklinde gösterilebilir. (Örn: 1/2 = 0,5).

4. İrrasyonel Sayılar

• Kesir halinde yazılamayan, ondalık kısmı sonsuz ve düzensiz olan sayılardır.
• Örnek: √2 ≈ 1,414…, π ≈ 3,14159…, e ≈ 2,718…
• Her karekök sonucu irrasyonel değildir. (Örn: √9 = 3 → rasyonel).

5. Reel Sayılar

• Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi = Reel sayılar (R).
• Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar reel sayıdır.
• Örn: -7, 0, 1/2, √2, π hepsi reel sayıdır.

6. Sayı Doğrusu ve Sıralama

• Sayı doğrusu küçükten büyüğe doğru sıralanır.
• Pozitif sayılar 0’ın sağında, negatifler solundadır.
• Örnek: -5 < -2 < 0 < 3 < 7.

7. Sayı Kümeleri Arasındaki İlişkiler

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
• Her doğal sayı → tam sayı, her tam sayı → rasyonel sayı.
• Her rasyonel sayı → reel sayı, fakat her reel sayı rasyonel değildir (irrasyoneller hariç).

1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Kavramı

• İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen sayıların en büyüğüne **EBOB (En Büyük Ortak Bölen)** denir.
• Örnek: 12’nin bölenleri {1,2,3,4,6,12}, 18’in bölenleri {1,2,3,6,9,18}. Ortak bölenler {1,2,3,6} → **EBOB(12,18) = 6**.
• Kural: Ortak bölenler bulunur, bunların en büyüğü alınır.
• EBOB genellikle paylaşım ve gruplandırma problemlerinde karşımıza çıkar.

2. EKOK (En Küçük Ortak Kat) Kavramı

• İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne **EKOK (En Küçük Ortak Kat)** denir.
• Örnek: 12’nin katları {12,24,36,48...}, 18’in katları {18,36,54...}. Ortak katlar {36,72...} → **EKOK(12,18) = 36**.
• Kural: Ortak katların en küçüğü alınır.
• EKOK genellikle birlikte tekrar eden olayların hesaplanmasında kullanılır.

3. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

• Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanların küçük üsleri **EBOB**, tüm çarpanların büyük üsleri **EKOK** için alınır.
• Örnek: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → **EBOB = 2 × 3 = 6**, **EKOK = 2² × 3² = 36**.
• Her zaman geçerli eşitlik: **EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b**.

4. EBOB-EKOK Problemleri

• EBOB → Ortak paylaşım, eşit parçalara ayırma, gruplandırma sorularında kullanılır.
• EKOK → Birlikte tekrar eden olaylar, aynı anda gerçekleşen durumlar, periyot sorularında kullanılır.
• Örnek (EBOB): 24 ve 36 öğrencilik sınıflar eşit gruplara ayrılacak → **EBOB(24,36) = 12** → En fazla 12 kişilik grup yapılır.
• Örnek (EKOK): Bir iş 6 günde, diğer iş 8 günde bir yapılıyor → **EKOK(6,8) = 24** → Her 24 günde bir aynı güne denk gelir.

5. Pratik Hesaplama Teknikleri

• EBOB hızlı hesap: Ortak asal çarpanların **küçük üslerini** al.
• EKOK hızlı hesap: Ortak asal çarpanların **büyük üslerini** al.
• Biri diğerinin katı ise → Küçük sayı EBOB, büyük sayı EKOK’tur. (Örn: 4 ve 20 → EBOB=4, EKOK=20).
• Kısa yol: **EBOB × EKOK = a × b** eşitliği ile işlem kontrolü yapılabilir.

6. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Soruda 'paylaştırma, eşit gruplar, parçalama' geçiyorsa → **EBOB** düşün.
• Soruda 'birlikte tekrar etme, aynı gün, periyot' geçiyorsa → **EKOK** düşün.
• İşlem süresini azaltmak için asal çarpan yöntemini tercih et.
• EBOB ve EKOK problemlerinde mutlaka mantığı kur, sadece ezber formüle bağlı kalma.
• Zaman kazanmak için EBOB-EKOK sorularında küçük asal sayılarla deneme yap.

1. Asal Çarpanlara Ayırma Kavramı

• Bir sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasına asal çarpanlara ayırma denir.
• Örnek: 60 = 2² × 3 × 5.
• Her sayı asal çarpanlarının üslü çarpımı şeklinde yazılabilir.

2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

• Bölme yöntemi → Sayı asal bölenlerine bölünerek sıfıra ulaşılır.
• Ağaç (çarpan ağacı) yöntemi → Sayı iki çarpana ayrılır, asal olana kadar devam edilir.
• Örnek: 72 → 2³ × 3².

3. Asal Çarpanlara Ayırma Uygulamaları

• EBOB ve EKOK hesaplamada kullanılır.
• Bölen sayısı ve bölenlerin toplamı sorularında temel yöntemdir.
• Örnek: 36 = 2² × 3² → EBOB(36, 60) = 12, EKOK(36, 60) = 180.

4. Bölen Sayısı ve Toplamı

• n = a^x × b^y × c^z ise bölen sayısı = (x+1)(y+1)(z+1).
• Örnek: 60 = 2² × 3 × 5 → Bölen sayısı = (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
• Bölenlerin toplamı: (a^(x+1)-1)/(a-1) × (b^(y+1)-1)/(b-1)...
• Örnek: 12 = 2² × 3 → Bölen toplamı = (2³-1)/(2-1) × (3²-1)/(3-1) = 28.

5. Pratik Hesaplama Teknikleri

• Küçük asal sayılarla bölme yaparak hızlı ayırma yapılır (2, 3, 5, 7...).
• EBOB-EKOK sorularında asal çarpan tablosu kurmak en güvenilir yoldur.
• Bölen sayısı sorularında asal üsleri +1 çarpımı kuralını unutma.
• Karmaşık sayılarda çarpan ağacı yöntemiyle işlem kolaylaştırılır.

6. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sık sorulan tip: Bölen sayısı ve toplamı → formülleri ezberle.
• EBOB-EKOK işlemlerinde asal çarpan tablosunu dikkatle oluştur.
• Asal çarpanlara ayırmadan doğrudan bölen bulmaya çalışma, hata ihtimali artar.
• Sınavda işlem süresini kısaltmak için küçük asal sayılarla hızlı deneme yap.

1. Denklem Kavramı ve Temel Özellikler

• Denklem: İçinde bilinmeyen (x, y vb.) bulunan eşitliktir.
• Amaç: Bilinmeyeni bulmak için eşitliği sağlamaktır.
• Örnek: 2x + 5 = 11 → x = 3.

2. Birinci Derece Denklemler (Doğrusal Denklemler)

• Bilinmeyenin üssü 1 olan denklemlerdir.
• Genel form: ax + b = 0 (a ≠ 0).
• Çözüm: x = -b/a.
• Örnek: 3x - 9 = 0 → x = 3.

3. İkinci Derece Denklemler (Karesel Denklemler)

• Bilinmeyenin üssü 2 olan denklemlerdir.
• Genel form: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).
• Kökler: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).
• Örnek: x² - 5x + 6 = 0 → kökler: x=2, x=3.

4. Denklem Sistemleri

• Birden fazla denklemin aynı anda çözülmesine denklem sistemi denir.
• En yaygın yöntemler: Yerine koyma (substitution) ve yok etme (elimination).
• Örnek: x + y = 10, x - y = 4 → çözüm: x=7, y=3.

5. Denklem Çözme Stratejileri

• Bilinmeyeni yalnız bırakma yöntemi kullanılır.
• Ortak parantez alma ve sadeleştirme önemlidir.
• Karesel denklemlerde diskriminant (∆ = b² - 4ac) mutlaka hesaplanmalıdır.

6. Pratik Çözüm Teknikleri

• Basit doğrusal denklemlerde: x’i tek tarafta toplamak hız kazandırır.
• Karesel denklemlerde çarpanlara ayırma uygunsa √Δ hesaplamadan çözülür.
• Örnek: x² + 7x + 10 = 0 → (x+5)(x+2) = 0 → kökler: -5, -2.
• Oran-orantı içeren denklemlerde payda eşitlemeden kısa yol kullanılabilir.

7. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Denklem sorularında önce basit yöntemleri (çarpanlara ayırma, sadeleştirme) dene.
• Birinci derece denklem soruları genellikle kolay net kazandırır, atlama.
• Karesel denklem sorularında ∆<0 ise reel kök olmadığını hatırla.
• Denklem sistemlerinde pratik yöntem seç → yerine koyma mı yoksa yok etme mi hızlı çözüm getirir, karar ver.
• Zaman yönetimi için uzun köklü sayıları işlem hatasına düşmeden düzenli yaz.

1. Rasyonel Sayı Kavramı ve Kesir Türleri

• a/b şeklinde (b≠0) ifade edilen sayılara rasyonel sayı denir.
• Kesir türleri: Basit kesir (pay<payda, örn: 3/5), bileşik kesir (pay≥payda, örn: 7/4), tam sayı kesir (payda=1, örn: 8/1).
• Negatif rasyonel sayılarda işaret hem payda hem paya yazılabilir: -3/5 = 3/-5.

2. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

• Toplama–Çıkarma: Paydalar eşitlenerek yapılır. (Örn: 2/3 + 1/6 = 5/6).
• Çarpma: Paylar çarpılır, paydalar çarpılır. (Örn: 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10).
• Bölme: İlk kesir ikinci kesrin ters çevirilmişiyle çarpılır. (Örn: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6).

3. Rasyonel Sayılarda Sıralama

• Paydaları eşit olan kesirlerde → payı büyük olan daha büyüktür. (Örn: 3/7 > 2/7).
• Payları eşit olan kesirlerde → paydası küçük olan daha büyüktür. (Örn: 5/6 > 5/9).
• Ortak payda veya ondalığa çevirerek karşılaştırma yapılabilir.

4. Ondalık Sayılar ve Dönüşümler

• Kesirler ondalık sayıya dönüştürülebilir. (Örn: 1/4 = 0,25).
• Devirli ondalık sayılar rasyoneldir. (Örn: 0,333... = 1/3).
• Ondalık sayılar kesir biçimine çevrilirken virgül kaydırılır. (Örn: 0,125 = 125/1000 = 1/8).

5. Yüzde ve Oran Hesaplamaları

• Yüzde hesaplamaları rasyonel sayı mantığıyla yapılır.
• Örn: Bir sayının %20’si = sayı × 20/100.
• Oran–orantı soruları genellikle kesir ve rasyonel sayı mantığıyla çözülür.

6. Rasyonel Sayı Problemleri

• Paylaşım, işçi–havuz, hız–zaman sorularında rasyonel sayılar kullanılır.
• Örn: Bir işin 1/3’ünü Ali, 1/6’sını Ayşe yapıyor → birlikte 1/3 + 1/6 = 1/2 → işi yarım günde bitirirler.

7. Pratik Hesaplama Teknikleri

• Kesirlerde sadeleştirme yaparak işlemi kısalt.
• Bileşik kesirleri önce tam sayıya çevirerek işlem yap.
• Çarpma ve bölme işlemlerinde işareti baştan belirle, hata azalır.

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sıralama sorularında → ortak payda veya ondalığa çevir, hata riskini azalt.
• Devirli ondalık → her zaman rasyonel sayıdır, tuzağa düşme.
• Yüzde–oran sorularında → kesir mantığıyla işlem yap, ezbere güvenme.
• Problemlerde verilenleri paylaştırma–birleştirme mantığıyla yorumla.

1. Eşitsizlik Kavramı ve Temel Özellikler

• a > b: a sayısı b’den büyüktür. a < b: a sayısı b’den küçüktür.
• Eşitsizlik işaretleri: < , > , ≤ , ≥.
• Özellik: Her iki tarafa aynı sayı eklenip çıkarılabilir. (Örn: a > b → a+3 > b+3).
• Özellik: Her iki taraf pozitif sayı ile çarpılıp bölünebilir. Negatif sayı ile çarpma/bölmede işaret yön değiştirir.

2. Birinci Derece Eşitsizlikler

• ax + b > 0 → çözüm: x > -b/a (a>0 için).
• Örnek: 2x - 6 > 0 → x > 3.
• Çözüm kümesi sayı doğrusu üzerinde gösterilir.

3. İkinci Derece Eşitsizlikler

• ax² + bx + c ≥ 0 biçiminde yazılır.
• Kökler bulunur → sayı doğrusu yönteminde işaret tablosu kurulur.
• Örnek: x² - 4 ≤ 0 → (x-2)(x+2) ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 2.

4. Mutlak Değer Kavramı

• Bir sayının 0’a olan uzaklığına mutlak değer denir, her zaman 0 veya pozitiftir.
• |a| = a (a ≥ 0 için), |a| = -a (a < 0 için).
• Örnek: |5| = 5, |-7| = 7.

5. Mutlak Değerli Eşitsizlikler

• |x| < a → -a < x < a.
• |x| > a → x < -a veya x > a.
• Örnek: |x-3| ≤ 5 → -5 ≤ x-3 ≤ 5 → -2 ≤ x ≤ 8.

6. Eşitsizlik Çözüm Stratejileri

• Sayı doğrusunu kullanarak çözüm kümesini görselleştir.
• İkinci derece eşitsizliklerde işaret tablosu kurmayı unutma.
• Mutlak değerli eşitsizliklerde parçalı çözüm yöntemi uygula.

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Negatifle çarpma → işaret değiştir, en çok yapılan hata budur.
• Mutlak değer sorularında önce eşitsizliği standarda getir (örneğin |x-2| < 3).
• Çapraz çarpma yöntemi → rasyonel eşitsizliklerde hızlı çözüm sağlar.

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sayı doğrusunu çizmeden çözüm yapma, görselleştirme hata riskini azaltır.
• Mutlak değer → 'uzaklık' yorumunu yap, mantığı unutma.
• Karesel eşitsizliklerde ∆ negatifse → işaret tablosunu dikkatle kur.
• Zaman kazanmak için küçük sayılarla deneme yap, özellikle problem sorularında işe yarar.

1. Üslü Sayı Kavramı ve Temel Özellikler

• aⁿ ifadesi: a taban, n üs → a’nın kendisi n kere çarpılır.
• Örnek: 2³ = 2×2×2 = 8.
• a⁰ = 1 (a ≠ 0).
• 1’in tüm kuvvetleri 1’dir: 1⁵ = 1.
• 0’ın pozitif kuvvetleri 0’dır: 0³ = 0.
• Örnek: 5² = 25, (–3)² = 9, (–3)³ = –27.

2. Üslü Sayılarda Temel İşlemler

• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m>n için).
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.
• Örnek: 3² × 3³ = 3⁵ = 243.
• Örnek: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Örnek: (4×5)² = 4² × 5² = 400.

3. Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme

• Aynı tabanlı üslüler çarpılırken üsler toplanır.
• Aynı tabanlı üslüler bölünürken üsler çıkarılır.
• Örnek: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
• Örnek: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.
• Örnek: 7³ × 7² = 7⁵ = 16807.
• Örnek: 9⁵ ÷ 9³ = 9² = 81.

4. Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

• Taban ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanır/çıkarılır.
• Örnek: 2³ + 2³ = 2×(2³) = 16.
• Örnek: 5² + 5² = 2×25 = 50.
• Taban veya üs farklı ise doğrudan toplama yapılamaz.
• Örnek: 2³ + 3³ ≠ 5³ → 8 + 27 = 35 (ayrı toplanır).

5. Negatif Üs ve Sıfır Üs

• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0).
• Örnek: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8.
• Örnek: 5⁻² = 1 / 25.
• a⁰ = 1 (a ≠ 0).
• Örnek: 7⁰ = 1.
• Negatif üs tabanı ters çevirir → (1/2)⁻² = 2² = 4.

6. Üslü Sayılarda Sıralama

• Taban pozitif ve aynı → üs büyük olan daha büyüktür.
• Örnek: 2⁵ > 2³ → 32 > 8.
• Taban 0–1 arası → üs büyüdükçe sayı küçülür.
• Örnek: (1/2)² = 1/4, (1/2)³ = 1/8 → 1/4 > 1/8.
• Negatif tabanlarda tek–çift üs ayrımı yapılır.
• Örnek: (–2)² = 4, (–2)³ = –8.
• Kesirli üslü sayılar köklü sayılarla bağlantılıdır: 16^(1/2) = √16 = 4.

7. Pratik Hesaplama Teknikleri

• Sık kullanılan kuvvetler: 2¹⁰ = 1024, 3⁵ = 243, 5⁴ = 625.
• 10’un kuvvetlerini hızlı kullan: 10³ = 1000, 10⁶ = 1.000.000.
• Örnek: 2⁵ × 5⁵ = (2×5)⁵ = 10⁵ = 100000.
• Sıfır ve negatif üs özelliklerini soruda hemen uygula.
• Bilinen değerleri kullanarak sıralama yap: √2 ≈ 1,41 → 2^(1/2).

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sorularda genellikle pratik kurallar test edilir, uzun çarpım gerekmez.
• Negatif üs ve kesirli taban soruları → en sık yapılan hata noktalarıdır.
• Taban 0–1 arası ise üslü sayıların tersine işlediğini unutma.
• Üslü sayı sorularında en çok 2 ve 10’un kuvvetleri test edilir.
• Soruda büyüklük–küçüklük karşılaştırması istendiğinde yaklaşık değerleri kullan.

1. Köklü Sayı Kavramı ve Temel Özellikler

• √a: a’nın karekökü (a ≥ 0 için tanımlı).
• √(a²) = |a| → Mutlak değer unutulmamalı.
• n. dereceden kök: ⁿ√a, a’nın n. dereceden köküdür (n çiftse a ≥ 0 olmalı).
• Örnek: √25 = 5.
• Örnek: ³√(-8) = -2.
• Örnek: √(x²) = |x|.
• Örnek: ⁴√16 = 2 çünkü 2⁴ = 16.

2. Köklü Sayılarda Temel İşlemler

• √a × √a = a.
• √a × √b = √(ab).
• √a / √b = √(a/b) (b ≠ 0 için).
• Örnek: √3 × √12 = √36 = 6.
• Örnek: √5 × √20 = √100 = 10.
• Örnek: √18 / √2 = √9 = 3.

3. Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

• Kök içleri çarpılıp bölünebilir.
• Örnek: √2 × √8 = √16 = 4.
• Örnek: √50 ÷ √2 = √25 = 5.
• Örnek: √6 × √24 = √144 = 12.
• Örnek: √75 / √3 = √25 = 5.

4. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

• Kök içi aynı olan ifadeler toplanabilir/çıkarılabilir.
• Örnek: 2√3 + 5√3 = 7√3.
• Örnek: 6√2 - 4√2 = 2√2.
• Kök içleri farklı ise toplama yapılamaz: √2 + √3 → olduğu gibi kalır.
• Örnek: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.

5. Köklü Sayılarda Sadeleştirme

• Kök içindeki sayılar asal çarpanlara ayrılarak kök dışına çıkarılır.
• Örnek: √72 = √(36×2) = 6√2.
• Örnek: √200 = √(100×2) = 10√2.
• Örnek: √48 = √(16×3) = 4√3.
• Örnek: ³√54 = ³√(27×2) = 3³√2.

6. Köklü Sayılarda Sıralama

• Kök içleri eşitlenerek karşılaştırılır.
• Örnek: √18 ve 3√2 → √18 = 3√2 → eşit sayılardır.
• Örnek: √50 ve 5√2 → √50 = 5√2 → eşit.
• Kök dereceleri eşitse kök içi büyük olan daha büyüktür.
• Yaklaşık değerler: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,23.
• Örnek: √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,23 → √5 daha büyüktür.

7. Pratik Hesaplama Teknikleri

• √a × √b = √(ab) kuralını doğrudan uygula.
• Köklü sayıyı küçültmek için asal çarpan yöntemini kullan.
• Örnek: √245 = √(49×5) = 7√5.
• Bölmede kök içini payda–payda olarak ayır.
• Yaklaşık değer bilgisi → sıralama sorularında çok kullanılır.
• Örnek: √8 ≈ 2,82, √10 ≈ 3,16 → √10 daha büyüktür.

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Toplama–çıkarma sorularında kök içlerini eşitlemeye çalış.
• Çarpma–bölme sorularında önce sadeleştirme yap, hata riskin azalır.
• Unutma: √(a²) = |a| → işaret kontrolü sorularda tuzak olabilir.
• Köklü sayılarla irrasyonel sayılar birlikte sorulabilir.
• KPSS’de en çok çıkan tip: Sadeleştirme + toplama–çıkarma işlemlerinde kök içlerini eşitleme sorularıdır.

1. Çarpanlara Ayırma Kavramı

• Cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, ifadeyi çarpanların çarpımı şeklinde yazmaktır.
• Amaç: İfadeyi sadeleştirmek ve denklemleri çözüm için uygun hale getirmektir.
• Örnek: x² + 5x = x(x+5).
• Örnek: 12x²y + 18xy² = 6xy(2x + 3y).

2. Ortak Çarpan Parantezine Alma

• Tüm terimlerde ortak olan sayı veya değişken paranteze alınır.
• Örnek: 6x + 9 = 3(2x+3).
• Örnek: ab + ac = a(b+c).
• Örnek: 4x²y - 8xy² = 4xy(x - 2y).

3. Gruplandırma Yöntemi

• İfade gruplara ayrılır, her grupta ortak çarpan bulunur.
• Örnek: x² + xy + 2x + 2y = (x²+xy) + (2x+2y) = x(x+y) + 2(x+y) = (x+2)(x+y).
• Örnek: a³ + a²b + ac + bc = (a³ + a²b) + (ac + bc) = a²(a+b) + c(a+b) = (a²+c)(a+b).

4. İki Kare Farkı

• Formül: a² - b² = (a - b)(a + b).
• Örnek: x² - 9 = (x-3)(x+3).
• Örnek: 25y² - 16 = (5y-4)(5y+4).
• Örnek: 49a² - 81b² = (7a-9b)(7a+9b).

5. Tam Kare İfadeler

• a² + 2ab + b² = (a+b)².
• a² - 2ab + b² = (a-b)².
• Örnek: x² + 6x + 9 = (x+3)².
• Örnek: 9y² - 12y + 4 = (3y-2)².
• Örnek: 16a² + 24a + 9 = (4a+3)².

6. Küp Toplamı ve Farkı

• Formüller: a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²), a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²).
• Örnek: x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4).
• Örnek: 27y³ + 64 = (3y+4)(9y² - 12y + 16).
• Örnek: 125a³ - 1 = (5a-1)(25a² + 5a + 1).

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Her zaman önce ortak çarpanı kontrol et.
• İki kare farkını gördüğünde hızlıca uygula.
• Tam kare ifadeler → (a±b)² formunu hatırla.
• Küp toplamı/farkı sorularında çarpan formülünü yazmadan işlem yapma.
• Örnek: x² + 9x + 20 → çarpanları toplamı 9, çarpımı 20 → (x+4)(x+5).

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sorularda en çok kullanılan yöntem: Ortak çarpan alma + iki kare farkı.
• Uzun ifadeleri küçük gruplara ayır, gruplandırma yöntemi çok soru kazandırır.
• Çarpanlara ayırmayı denklem çözümünde mutlaka uygula, kökleri hızlı bulursun.
• Tam kare ve özel çarpan kalıplarını ezbere bilmek hız kazandırır.
• KPSS’de 'çarpanlarına ayırınız' tipi doğrudan soru gelmez → genelde problem veya denklem içinde kullanılır.

1. Oran Kavramı

• İki çokluğun birbirine bölünmesiyle oran bulunur.
• Genel gösterim: a:b veya a/b.
• Örnek: 12 kız, 18 erkek → kız/erkek oranı = 12/18 = 2/3.
• Örnek: Bir sınıfta 8 mavi, 6 kırmızı kalem → mavi/toplam oranı = 8/14 = 4/7.
• Örnek: 5 liranın 2 liraya oranı → 5/2.

2. Orantı Kavramı

• İki oranın eşitliğine orantı denir.
• a/b = c/d ise → a×d = b×c (çapraz çarpım özelliği).
• Örnek: 2/3 = 4/6 çünkü 2×6 = 3×4.
• Örnek: x/8 = 3/12 → x = (8×3)/12 = 2.
• Örnek: 15/25 = 3/5 orantısı doğrudur.

3. Doğru Orantı

• İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantıdır.
• Genel ifade: a/b = k.
• Örnek: 5 işçi 20 günde iş yaparsa → 10 işçi 10 günde yapar.
• Örnek: Bir araba 60 km/s hızla 2 saatte 120 km gider. Hız 90 km/s olursa, 2 saatte 180 km gider.
• Örnek: Elmaların fiyatı 2 TL/kg → 5 kg elma = 10 TL, 8 kg elma = 16 TL.

4. Ters Orantı

• Bir çokluk artarken diğeri azalıyorsa ters orantıdır.
• Genel ifade: a×b = k.
• Örnek: 6 işçi 12 günde → 12 işçi 6 günde bitirir.
• Örnek: 4 musluk 9 saatte → 6 musluk 6 saatte doldurur.
• Örnek: 10 işçi 15 günde → 5 işçi 30 günde tamamlar.

5. Bileşik Orantı

• Birden fazla orantının aynı anda kullanılmasıdır.
• İşçi–iş–gün veya hız–zaman–mesafe sorularında sıkça çıkar.
• Örnek: 4 işçi 6 günde 120 parça → 8 işçi 9 günde ? parça.
• Çözüm: (8/4) × (9/6) × 120 = 360 parça.
• Örnek: 3 işçi 4 günde 60 tuğla → 6 işçi 8 günde ? tuğla.
• Çözüm: (6/3) × (8/4) × 60 = 240 tuğla.

6. Orantı Problemleri

• Paylaştırma Soruları: 600 TL, 2:3 oranında paylaştırılacak → 600×(2/5)=240 TL, 600×(3/5)=360 TL.
• Karışım Soruları: 3 lt %40 şekerli, 2 lt %60 şekerli → (3×40 + 2×60)/5 = %48 şekerli karışım.
• Hız Problemleri: 60 km yolu 30 km/s hızla 2 saatte alır. Hız 20 km/s olursa süre = 3 saat.
• Yaş Problemleri: Ali’nin yaşı 12, Veli’nin yaşı 18. Oran: 12/18 = 2/3. 6 yıl sonra oran = 18/24 = 3/4.

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Çapraz çarpımı her zaman kullan, hata payı azalır.
• Paylaştırma sorularında toplam oranı paydaya yazmayı unutma.
• Bileşik orantıda → işçi–gün–iş miktarı mantığını tabloya dök.
• Ölçek sorularında → harita mesafesi / gerçek mesafe = ölçek.
• Örnek: 1/200.000 ölçekli haritada 3 cm = 6 km.

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Soruda 'aynı anda' → EKOK veya doğru orantı mantığı aranır.
• Soruda 'paylaştırma' → doğrudan oran mantığıyla çözülür.
• İşçi–iş sorularında → işçi sayısı artarsa süre azalır (ters orantı).
• Hız–yol–zaman problemleri → tablolu çözüm sınavda en hızlı yöntemdir.

9. Orantı Uygulamaları

• Altın Oran: (a+b)/a = a/b ≈ 1,618.
• Harita–Ölçek Soruları: 1/500.000 ölçek → 2 cm haritada = 10 km gerçekte.
• Karışım Uygulamaları: 10 kg buğday (3/5 kaliteli) + 15 kg arpa (4/5 kaliteli). Yeni oran = (10×3/5 + 15×4/5)/25 = 0,72.
• Günlük Hayat: % hesaplamaları ve alışveriş problemleri orantı ile çözülür.

1. Problem Çözme Stratejileri

• Soruyu dikkatle oku, verilenleri ve istenenleri yaz.
• Bilinen formülleri uygula ama mantığı unutma.
• Basit örnekler üzerinden deneme yap.
• Çözümü denkleme dönüştür: Genelde x, y bilinmeyenleri ile çözülür.
• Örn: 'Bir sayının 3 fazlasının 2 katı 16’dır' → (x+3)×2=16 → x=5.

2. Yaş Problemleri

• Yaş problemlerinde zaman aynı oranda eklenir veya çıkarılır.
• Örn: Ali 10, Veli 14 yaşında → 6 yıl sonra: Ali 16, Veli 20.
• Fark sabittir: Ali ile Veli arasındaki fark hep 4’tür.
• Örn: Babanın yaşı çocuğun yaşının 3 katı → x ve 3x denklemi kurulur.
• KPSS’de en çok çıkan tip: Geçmiş–gelecek yaş oranı soruları.

3. Hareket Problemleri

• Formül: Yol = Hız × Zaman.
• Aynı yöne hareket → hızlar farkı.
• Zıt yöne hareket → hızlar toplamı.
• Örn: 60 km/sa ve 80 km/sa hızla karşılaşan araçlar → toplam hız 140 km/sa.
• Örn: 2 saatte 120 km yol giden aracın hızı = 120 ÷ 2 = 60 km/sa.

4. İş Problemleri

• Formül: İş = Verim × Zaman.
• A işçi bir işi x günde bitirirse, 1 günde yaptığı iş = 1/x.
• Birlikte iş yaparlarsa → paylar toplanır.
• Örn: A işi 6 günde, B 12 günde bitirir → birlikte 1/6+1/12=1/4 → işi 4 günde bitirirler.
• Ortak çalışma ve ayrılma sorularında → kimin ne kadar çalıştığı hesaplanır.

5. Karışım Problemleri

• Formül: (Miktar × Oran) toplamı / Toplam miktar = Yeni oran.
• Örn: 10 lt %20 tuzlu su + 20 lt %30 tuzlu su → (10×20 + 20×30) / 30 = %26,6.
• Su eklenirse → yoğunluk düşer. Tuz eklenirse → yoğunluk artar.
• En çok sorulan tip: % problemleri + karışım.

6. Yüzde Problemleri

• Yüzde = (Parça / Bütün) × 100.
• Örn: 200 öğrencinin %30’u = 200×0,3 = 60.
• Fiyat artışı → Eski fiyat × (1 + %artış).
• Fiyat indirimi → Eski fiyat × (1 – %indirim).
• Örn: 100 TL’nin %20 indirimli fiyatı = 80 TL.

7. Faiz Problemleri

• Basit faiz formülü: F = An×t/100 (A=anapara, n=faiz oranı, t=süre).
• Örn: 1000 TL %20 faizle 2 yıl → F = 1000×20×2/100 = 400 TL.
• Toplam geri ödeme = Anapara + Faiz.
• Bileşik faiz KPSS’de çok nadir sorulur.

8. Sayı Problemleri

• Bir sayının ifadesi → x ile gösterilir.
• Örn: 'Bir sayının 3 fazlası 10’dur' → x+3=10 → x=7.
• Örn: 'Bir sayının 2 katının 5 eksiği 9’dur' → 2x–5=9 → x=7.
• En çok çıkan tip: Rakamlar toplamı, basamak değerleri.

9. Geometri Problemleri

• Alan–çevre hesaplamaları → problemle birleştirilir.
• Örn: Dikdörtgenin uzun kenarı 10, kısa kenarı 5 → Çevre=30, Alan=50.
• Kare–dikdörtgen dönüşümleri sıkça gelir.
• Şekilsel problemler → orantı ve alan ilişkisiyle çözülür.

10. Pratik Çözüm Teknikleri

• Yaş problemlerinde → fark sabittir, oran değişir.
• Hareket problemlerinde → tablo yap, hız-zaman-yol ilişkisini yaz.
• İşçi problemlerinde → 1 günde yapılan işe odaklan.
• Karışım problemlerinde → 'denklem' yerine ağırlıklı ortalama yöntemi hızlıdır.
• Yüzde problemlerinde → 100 üzerinden düşünmek işini kolaylaştırır.

11. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Problemlerden yılda ortalama 8–10 soru gelir.
• En çok çıkanlar: yaş, hareket, işçi–iş, yüzde ve sayı problemleri.
• Formülleri bilmek yetmez → mantığı ve tablo yöntemini çalış.
• Çözümleri kısa yoldan yapmayı öğren, sınavda süre kazandırır.

12. Problem Çözme İpuçları

• Soruda 'kaç yıl sonra', 'kaç yıl önce' → yaş problemi işaretidir.
• Soruda 'aynı anda hareket' → hareket problemi işaretidir.
• Soruda 'birlikte iş yapma' → işçi problemi işaretidir.
• Soruda 'oran, yüzde, karışım' kelimeleri → karışım/yüzde problemleri işaretidir.
• Denklem kurmayı alışkanlık haline getir, çözüm çok hızlanır.

1. Küme Kavramı ve Temel Özellikler

• Küme: Ortak özelliğe sahip nesneler topluluğu.
• Eleman: Kümenin içindeki her bir varlık. (a ∈ A → a, A kümesinin elemanıdır).
• Boş küme: Hiç elemanı olmayan küme (∅).
• Örn: A={1,2,3}, B={x|x<5 doğal sayı} = {0,1,2,3,4}.

2. Küme Gösterim Yöntemleri

• Liste yöntemi: Elemanlar tek tek yazılır. A={1,2,3}.
• Ortak özellik yöntemi: Elemanların özelliği yazılır. A={x | x<5, x∈N}.
• Venn şeması: Kümeler dairelerle gösterilir.
• Örn: C={a,e,i,o,u} sesli harfler kümesi.

3. Küme İşlemleri

• Birleşim: A∪B, her iki kümenin elemanlarını içerir.
• Kesişim: A∩B, ortak elemanları içerir.
• Fark: A−B, A’da olup B’de olmayanlar.
• Tümleyen: A’, evrensel kümede A’nın dışında kalanlar.

4. Kesişim ve Birleşim

• A∩B: Ortak elemanlar. Örn: A={1,2,3}, B={2,3,4} → A∩B={2,3}.
• A∪B: Tüm elemanların birleşimi. Örn: A={1,2,3}, B={2,3,4} → A∪B={1,2,3,4}.
• Kural: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|.

5. Fark ve Tümleyen

• A−B: A’da olup B’de olmayanlar.
• Örn: A={1,2,3,4}, B={3,4} → A−B={1,2}.
• Tümleyen: A’= E−A (E evrensel küme).
• Örn: E={1,2,3,4,5}, A={2,3} → A’={1,4,5}.

6. Küme Problemleri

• İki küme problemi: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|.
• Üç küme problemi: |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|.
• Örn: 40 öğrenci → 25 matematik, 20 fizik, 10 her ikisi → |A∪B|=25+20−10=35.

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Venn diyagramı çiz → problemleri görselleştir.
• Sayı problemlerini küme formülleriyle çöz.
• Kesinlik varsa → denklem kurmadan formül uygula.
• Ortak elemanları iyi tespit et, hata buradan çıkar.

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Küme sorularında % ifadelerine dikkat et, genelde oran–oran ilişkisi gizlidir.
• En sık gelen tip: İki küme problemi → doğrudan formül uygula.
• Üç küme problemlerinde Venn şeması çizmeden işlem yapma.
• Boş küme ve tümleyen soruları tuzaktır, dikkat et.

1. İşlem Kavramı

• Yeni işlem: Matematikte özel tanımlanmış kurallara göre yapılır.
• Örn: a★b = a+b+1 → 3★5 = 3+5+1=9.
• Örn: a◊b = a²−b² → 4◊2 = 16−4=12.
• Örn: a△b = (a+b)/2 → 6△4 = (6+4)/2 = 5.
• Örn: a⊙b = ab−a → 3⊙5 = 15−3=12.

2. İşlem Özellikleri

• Kapalı olma: İşlem sonucu yine aynı kümede olmalı. (Z üzerinde toplama kapalıdır).
• Değişme özelliği: a★b = b★a. (Toplama için geçerli, çıkarma için değil).
• Birleşme özelliği: (a★b)★c = a★(b★c). (Çarpma için geçerli).
• Birim eleman: a★e = a kuralını sağlayan e.
• Ters eleman: a★b = e olacak şekilde b’ye ters denir.
• Örn: Toplamada 0, çarpmada 1 birim elemandır.

3. Modüler Aritmetik

• Mod: Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan.
• a ≡ b (mod m) → a ve b’nin m’ye göre aynı kalanı vardır.
• Örn: 17 ≡ 2 (mod 5), 23 ≡ 3 (mod 10).
• Örn: 45 ≡ 1 (mod 11), çünkü 45=4×11+1.
• Takvim ve saat soruları → mod uygulamasıdır.

4. Mod İşlemleri

• (a+b) mod m = [(a mod m)+(b mod m)] mod m.
• (a−b) mod m = [(a mod m)−(b mod m)] mod m.
• (a×b) mod m = [(a mod m)×(b mod m)] mod m.
• Örn: (12+15) mod 7 = 27 mod 7 = 6.
• Örn: (35−19) mod 4 = 16 mod 4 = 0.
• Örn: (7×11) mod 5 = 77 mod 5 = 2.
• Büyük üs sorusu: 2¹⁰ mod 3 → 2’nin kuvvetleri mod 3 = (2,1,2,1…). Sonuç=1.

5. İşlem Problemleri

• İşlem tanımını doğru okuyarak yerine koy.
• Örn: a★b = 2a+3b → 4★5 = 8+15=23.
• Örn: a◊b = a+b−ab → 2◊3 = 2+3−6=−1.
• Örn: a♣b = a²+b² → 3♣4 = 9+16=25.
• Örn: a♡b = (a+b)² → 2♡5 = 49.

6. Pratik Çözüm Teknikleri

• Yeni işlem sorularında → verilen kuralı doğrudan yaz, sembole takılma.
• Mod sorularında → sayıları küçült, kalanla çalış.
• Büyük üs sorularında → kuvvetin tekrar eden döngüsünü bul.
• Örn: 7’nin kuvvetleri mod 4 → (3,1,3,1…). 7²⁰ mod 4 = 1.
• Saat soruları: Şimdi saat 17, 50 saat sonra kaç? 50 mod 24 = 2 → 17+2=19 (saat 19).

7. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• İşlem sorularında sembolün ne olduğunu değil, tanımını oku.
• Modüler aritmetikte uzun işlem yerine kalanlarla çalış, hız kazan.
• En sık çıkan tip: (a+b) mod m, (a×b) mod m, saat ve takvim problemleri.
• Üs sorularında küçük tekrar döngülerini bulmak çok kritik.
• Sınavda işlem hatası en çok buradan çıkar → dikkatle adım adım çöz.

8. İşlem Uygulamaları

• Şifreleme sistemlerinde modüler aritmetik kullanılır.
• Takvim soruları: 100 gün sonra hangi gün? 100 mod 7 = 2 → 2 gün sonrası.
• Saat soruları: 350 saat sonra saat kaç? 350 mod 24 = 14 → Saat 14.
• Örn: (2⁵ + 3⁷) mod 5 = (32+2187) mod 5 = 2219 mod 5 = 4.
• Örn: 45 öğrencilik sınıf 7’li sıralara oturuyor → kalan 3 → 45 mod 7 = 3.

1. Permütasyon Kavramı

• n elemandan r tanesinin sıralı olarak dizilmesine permütasyon denir.
• Formül: P(n,r) = n! / (n-r)!
• Örn: 5 kişiden 3’ü sıraya dizilecek → P(5,3) = 5! / 2! = 60.
• Örn: 4 harfli şifre (0–9) → P(10,4) = 5040.

2. Kombinasyon Kavramı

• n elemandan r tanesinin seçilmesine kombinasyon denir (sıra önemli değil).
• Formül: C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]
• Örn: 10 öğrenciden 3 kişi seçilecek → C(10,3) = 120.
• Örn: 5 karttan 2’si seçilecek → C(5,2) = 10.

3. Permütasyon ve Kombinasyon Farkı

• Permütasyonda sıra ÖNEMLİDİR, kombinasyonda ÖNEMLİ DEĞİLDİR.
• Örn: Ali–Ayşe–Mehmet sırası farklı → permütasyon.
• Örn: 3 kişi seçilip komisyon kurulması → kombinasyon.
• P(n,r) = C(n,r) × r! bağıntısı vardır.

4. Olasılık Kavramı

• Bir olayın gerçekleşme şansı = İstenen durum / Tüm durum.
• 0 ≤ Olasılık ≤ 1.
• Örn: Zar atıldığında çift gelme ihtimali = 3/6 = 1/2.
• Örn: Deste karttan kupa çekilme ihtimali = 13/52 = 1/4.

5. Olasılık Hesaplamaları

• Tüm durumlar genellikle permütasyon veya kombinasyonla bulunur.
• Örn: Para 2 kez atılıyor, yazı gelme ihtimali = 1/2 × 1/2 = 1/4.
• Örn: 3 öğrenci arasından rastgele biri seçilir, Ali seçilme ihtimali = 1/3.
• Örn: Zar atıldığında asal sayı gelme = 2,3,5 → 3/6 = 1/2.

6. Bağımsız ve Bağımlı Olaylar

• Bağımsız olay: Biri diğerini etkilemez. (Zar ve para atma).
• Bağımlı olay: Bir olay diğerini etkiler. (Kart çekip yerine koymama).
• Örn: Para atma 2 kez → 1/2 × 1/2 = 1/4.
• Örn: 52 karttan 2 kupa çekme → (13/52) × (12/51) = 1/17.

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Seçim → kombinasyon, sıralama → permütasyon kullan.
• Olasılıkta → payda tüm durum, pay istenen durum.
• Soruda 've' geçiyorsa çarp, 'veya' geçiyorsa topla.
• Tekrar eden olaylarda kuvvet mantığını uygula. (Yazı–tura 3 kez → 2³=8 olasılık).

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Küçük sayılarda direkt sayarak çözüm yapabilirsin.
• Soruyu iyi oku → sıra önemli mi, değil mi belirle.
• Bağımsız olaylarda çarpma, bağımlı olaylarda dikkatli seçim yap.
• Sınavda işlem hataları çok oluyor → faktöriyel sadeleştirmelerine dikkat et.

9. Olasılık Uygulamaları

• Zar, para, kart soruları en çok gelen klasik uygulamalardır.
• Örn: Zar 2 kez atılıyor, toplam 7 gelme = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6/36=1/6.
• Örn: 10 öğrenciden başkan–başkan yardımcısı seçme → P(10,2) = 90.
• Örn: 6 kişilik ekipten 2 kişi seçme → C(6,2) = 15.
• Örn: Torbada 5 kırmızı, 3 mavi top var → mavi çekilme olasılığı = 3/8.

1. Tablo Okuma ve Yorumlama

• Tabloda verilen veriler dikkatlice okunmalı, satır–sütun ilişkisine dikkat edilmeli.
• Toplam, fark, oran–yüzde gibi işlemler genellikle tablo üzerinden sorulur.
• Örn: Bir tabloda A okulunda 200, B okulunda 300 öğrenci varsa, toplam öğrenci sayısı = 500.

2. Grafik Türleri

• Sütun grafiği → karşılaştırma için.
• Çizgi grafiği → değişimi göstermek için.
• Pasta grafiği → yüzdeleri göstermek için.
• Histogram → aralıklarla gösterim.
• Örn: Bir ürünün yıllara göre satışı çizgi grafiğiyle, bölgeler arası satış karşılaştırması sütun grafiğiyle gösterilir.

3. Sütun Grafikleri

• Dikey veya yatay sütunlarla veriler gösterilir.
• Kategoriler arası karşılaştırmalarda en çok kullanılır.
• Örn: 2020’de 50, 2021’de 80, 2022’de 60 ürün satışı verilirse, en yüksek satış yılı 2021’dir.

4. Çizgi Grafikleri

• Belirli zaman aralıklarında değişim gösterir.
• Artış, azalış ve dalgalanmaları incelemek için idealdir.
• Örn: Bir öğrencinin yıl içindeki not ortalamaları çizgi grafiğinde sürekli artıyorsa başarı eğilimi yükseliyor demektir.

5. Pasta Grafikleri

• Bütünün yüzdelere göre dağılımını gösterir.
• Her dilim bir orana karşılık gelir, toplam 360°.
• Örn: Bir sınıfta 40 öğrenci → 10’u kız, 30’u erkek → kızlar %25, erkekler %75 dilimi oluşturur.

6. Grafik Yorumlama

• En sık gelen soru tipi: Grafiklerden toplam–fark, yüzde ve oran çıkarma.
• Grafiklerde artış–azalış eğilimleri incelenmeli.
• Örn: Satışlar her yıl %10 artmışsa → başlangıç 100 ise, ikinci yıl 110, üçüncü yıl 121 olur.

7. Pratik Çözüm Teknikleri

• Yüzde sorularında → parçanın bütüne oranını al.
• Grafiklerde göz yanılmasına düşme, ölçeklere dikkat et.
• Soruda verilen eksik bilgi genelde oran hesaplatmak için bırakılır.
• Veriler büyükse sadeleştirme yap (binlikleri kısalt).

8. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Tablo–grafik sorularında işlemden çok yorumlama sorulur.
• En sık gelen tip: Pasta grafikte yüzde–oran hesapları.
• Çizgi grafik → artış/azalış trendi, sütun grafik → en fazla/en az soruları.
• Sorularda dikkat → bazı yıllar veya sütunlar bilerek boş bırakılır, çıkarım yapman istenir.

1. Sayısal Mantık Kavramı

• Sayısal mantık → sayı ve şekiller arasındaki kuralları bulma becerisidir.
• Örn: Bir mağazada fiyatlar her gün %20 artıyorsa, 100 TL olan ürün 2 gün sonra 144 TL olur (100×1,2²).
• Örn: Bir çiftlikte tavuk sayısı her ay 2 katına çıkıyor, 1. ay 5 tavuk → 3. ayda 20 tavuk olur.

2. Sayı Dizileri

• Aritmetik dizi: Fark sabittir. (Örn: 4, 7, 10, 13, … → fark 3).
• Geometrik dizi: Çarpan sabittir. (Örn: 2, 6, 18, 54, … → 3 katı).
• Karma dizi: Farklar artar/azalır. (Örn: 1, 2, 4, 7, 11, … → farklar 1, 2, 3, 4).
• Kare/üçgen sayı dizileri: 1, 4, 9, 16 (kareler) veya 1, 3, 6, 10 (üçgensel sayılar).
• Örn: 2, 5, 10, 17, 26, ? → farklar 3, 5, 7, 9 → sonraki fark 11 → cevap 37.

3. Mantık Problemleri

• Yerleştirme ve sıralama soruları klasik mantık konusudur.
• Örn: 3 kişi (Ali, Veli, Ayşe) sıraya girmiştir. Ali başta değil, Veli ortada değil → Ayşe başta, Veli sonda, Ali ortada.
• Örn: 1’den 20’ye kadar sayılardan 3’e ve 4’e tam bölünenler → 12 sayı vardır.
• Örn: Bir tren 60 km/h hızla 3 saatte 180 km yol alır.

4. Pratik Çözüm Teknikleri

• Tabloları mutlaka kendin çiz, görsel düzen hata ihtimalini azaltır.
• Seçenek deneme-eleme yöntemi KPSS’de çok işe yarar.
• Büyük sayıları → binlikleri sadeleştirerek kullan. (Örn: 12.000 yerine 12k yaz).
• Takvim sorularında 7’nin katlarını kullan → gün bulma kolaylaşır.

5. KPSS İçin Stratejik Taktikler

• Sorularda 'her zaman, asla, yalnızca' gibi kesinlik bildiren ifadeler tuzak ipucudur.
• İhtimal sorularında olası durumları tabloya dök.
• Uzun işlem gerektiren sorularda genelde kısa yol vardır.
• Ortalama çözüm süresi → 3-4 dk. fazlasını verme.

6. Sayısal Mantık Uygulamaları

• Takvim: Pazartesiden 100 gün sonrası → 100 ÷ 7 = 14 kalan 2 → Çarşamba.
• Saat: Akrep–yelkovan 12.00’den 01.05’e kadar 35° açı yapar.
• Yaş: Ali, Ayşe’den 4 yaş büyük. 5 yıl sonra yaşları toplamı 34 ise bugünkü yaşları 12 ve 8’dir.
• Tablo: A, B, C üç kişi farklı şehirlerde yaşıyor; verilen ipuçlarını tabloya yerleştirerek çöz.

7. Mantık Soruları Çözme Stratejileri

• Kesin bilgi → önce yerleştirilir, sonra ihtimaller denenir.
• Çelişki çıkarsa yanlış varsayımı elersin.
• Karmaşık tablo sorularında kolon–satır eşleştirmesi yap.
• Seçenekleri hızlı kontrol et → bazen çözüm yapmadan elenebilir.

Konu Özeti

• Karışım problemlerinin temel ilkesi: Karışımdaki her maddenin miktarını ve yüzdesini ayrı ayrı hesaplayıp toplamak. Temel formül: (1. madde miktarı × 1. yüzdesi) + (2. madde miktarı × 2. yüzdesi) = (toplam karışım miktarı × karışım yüzdesi). Örnek: %20 tuzlu 200 g su ile %10 tuzlu 300 g su karıştırılırsa: (200×0,20)+(300×0,10) = 40+30 = 70 g tuz. Toplam karışım = 500 g. Karışım tuz yüzdesi = 70/500 = 0,14 = %14.
• Alaşım (metal karışımı) problemlerinde de aynı mantık kullanılır. %60 altın içeren 500 g alaşımla %40 altın içeren 300 g alaşım karıştırılırsa: (500×0,60)+(300×0,40) = 300+120 = 420 g altın. Toplam = 800 g. Alaşım yüzdesi = 420/800 = 0,525 = %52,5.
• Bir karışımdan bir kısım çıkarılıp farklı bir karışım eklendiğinde, çıkarılan kısmın yüzdesi sabit kalır. Örnek: 10 L %30 alkollü çözeltiden 2 L alınıp yerine saf su konursa: Kalan alkol = (10-2)×0,30 = 8×0,30 = 2,4 L. Yeni çözeltideki alkol yüzdesi = 2,4/10 = 0,24 = %24.
• Denge noktası (ters orantı yöntemi): İki farklı konsantrasyonlu sıvı karıştırılarak istenilen bir konsantrasyona ulaşılmak istendiğinde, her iki sıvının miktarları ile istenen konsantrasyona olan uzaklıkları ters orantılıdır. Örnek: %10 ve %40 konsantrasyonlu iki çözeltiyle %20 konsantrasyon isteniyor. %40-konsantrasyonu olan için uzaklık: |40-20|=20; %10 için: |10-20|=10. Oranları: 20:10 = 2:1 (ters). Yani %10'luk 2, %40'lık 1 birim katılmalı.
• Saf madde (yani %100 konsantrasyonlu bir madde, örneğin katkısız tuz ya da saf alkol) bir karışıma eklendiğinde, eklenen miktarın tamamı doğrudan o maddenin miktarına eklenir (çünkü oranı %100=1'dir). Örnek: %20 tuzlu 400 g suya 100 g saf (katı) tuz eklenirse: önceki tuz miktarı 400×0,20=80 g, eklenen 100 g saf tuz ile toplam tuz 80+100=180 g olur; toplam karışım 400+100=500 g; yeni yüzde = 180/500=0,36=%36. Benzer şekilde saf su (yani %0 konsantrasyon) eklendiğinde, o maddenin miktarına hiçbir katkı yapılmaz, yalnızca toplam karışım miktarı artar.
• Sonuçları kontrol etmenin pratik bir yolu şudur: iki farklı yüzdeli karışım birleştirildiğinde, ortaya çıkan yeni karışımın yüzdesi HER ZAMAN iki başlangıç yüzdesinin arasında bir değer olmalıdır (küçük olandan büyük olana kadar). Örneğin %10 ve %40'lık iki çözelti karıştırıldığında sonuç %20 civarında bir değer olabilir ama asla %5 ya da %50 gibi bu aralığın dışında bir sonuç ÇIKAMAZ; hesaplama sonucu bu aralığın dışına çıkarsa işlemde mutlaka bir hata yapılmış demektir. Bu sağlama yöntemi, karışım sorularında hızlı hata tespiti için oldukça kullanışlıdır.

Anahtar Noktalar

• Temel formül: Σ(miktar × oran) = toplam karışım × karışım oranı
• Yüzdeler ondalık formda kullanılır (%20 → 0,20)
• Karışımdan su eklenirse tuz miktarı sabit, toplam artar; yüzde düşer
• Karışımdan su buharlaştırılırsa tuz miktarı sabit, toplam azalır; yüzde artar
• Karışımdan bir kısım alınıp su konulursa: önce kalan tuz hesaplanır, sonra yeni yüzde
• Denge noktası (iç oranlar) yöntemi: (büyük oran - istenen):(istenen - küçük oran) = küçük miktar:büyük miktar
• Alaşım problemlerinde metal miktarı korunur, toplam kütleye bölünür
• İki karışımın ortalaması her zaman iki oran arasında kalır
• Saf madde (%100) eklemede, eklenen miktarın tamamı doğrudan madde miktarına eklenir
• Saf su (%0) eklemede madde miktarı değişmez, yalnızca toplam karışım artar
• Sağlama: karışım sonucu, birleştirilen iki yüzdenin ARASINDA olmalıdır; dışına çıkarsa hata vardır

Konu Özeti

• Eşitsizliklerde temel işlem kuralları: Her iki tarafta aynı sayı eklenip çıkarılabilir; her iki taraf pozitif sayıyla çarpılıp bölünebilir (eşitsizlik yönü değişmez). Ancak her iki taraf negatif sayıyla çarpılıp bölünürse eşitsizlik yönü tersine döner. Örnek: -2x > 6 → x < -3 (her iki taraf -2'ye bölününce yön tersine döner).
• Birleşik eşitsizlikler: a < x < b biçiminde, x'in belirli bir aralıkta olduğunu belirtir. Sayı doğrusunda gösterimi önemlidir: a < x (açık, dahil değil), a ≤ x (kapalı, dahil). İki eşitsizliği birleştirirken 'kesişim' (ve/∩) veya 'birleşim' (veya/∪) kullanılır.
• Mutlak değer: |a| = a ise a ≥ 0; |a| = -a ise a < 0. Yani mutlak değer her zaman negatif olmayan bir sonuç verir. |x| < 3 eşitsizliğinde x, -3 ile 3 arasındadır: -3 < x < 3. |x| > 3 eşitsizliğinde ise x < -3 veya x > 3 olur.
• Mutlak değer denklemleri: |x - a| = b (b ≥ 0) → x - a = b veya x - a = -b → x = a+b ya da x = a-b. Geometrik yorumu: x sayısının a'ya uzaklığı b'dir. Mutlak değer içeren eşitsizliklerde çözüm aralıklarını sayı doğrusu üzerinde göstermek hataları önler.
• İki eşitsizlik aynı yönlüyse (ikisi de < ya da ikisi de >) taraf tarafa TOPLANABİLİR: a<b ve c<d ise a+c<b+d olur. Ancak taraf tarafa ÇIKARMA ya da ÇARPMA işlemi genel olarak güvenli değildir; örneğin a<b ve c<d iken a−c ile b−d arasında kesin bir ilişki kurulamaz, bu yüzden eşitsizlikleri çıkarmak yerine ikinci eşitsizliği (-1) ile çarpıp yönünü tersine çevirdikten sonra toplamak daha güvenli bir yoldur. Çarpma işleminde de her iki tarafın işareti (pozitif mi negatif mi) kesin olarak biliniyorsa çarpım güvenlidir; aksi hâlde işlem yapılmamalıdır.
• Bir eşitsizliğin her iki tarafının karesini almak, ancak her iki tarafın da aynı işarette (ikisi de negatif olmayan ya da ikisi de negatif olmayan) olduğu durumlarda güvenlidir; işaretler farklıysa ya da bilinmiyorsa doğrudan kare alınamaz. Örneğin x² < 9 eşitsizliğinin çözümü sadece 'x < 3' DEĞİLDİR; doğru çözüm -3 < x < 3'tür, çünkü x negatif olduğunda da (örneğin x=-2 için (-2)²=4<9) eşitsizlik sağlanabilir. Bu, KPSS'de en sık yapılan eşitsizlik hatalarından biridir.
• Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki temel kısıtı tanımlar: bir üçgenin herhangi bir kenarı, diğer iki kenarın toplamından KÜÇÜK, farkının mutlak değerinden BÜYÜK olmalıdır. Yani kenarları a, b, c olan bir üçgende |a-b| < c < a+b eşitsizliği her zaman sağlanmalıdır. Örnek: kenarları 5 ve 8 olan bir üçgende üçüncü kenar x, |8-5| < x < 8+5, yani 3 < x < 13 aralığında bir tam sayı olmalıdır.

Anahtar Noktalar

• Eşitsizlikte pozitif sayıyla çarpma/bölme: yön değişmez
• Eşitsizlikte negatif sayıyla çarpma/bölme: yön tersine döner (<, >)
• Mutlak değer ≥ 0 dir; |a| = 0 ancak a=0 ise
• |x| < a → -a < x < a (iç bölge)
• |x| > a → x < -a veya x > a (dış bölge)
• |x - a| = b → x = a+b veya x = a-b
• Birleşik eşitsizlikte 've' → kesişim; 'veya' → birleşim
• Eşitsizlik çözüm kümesi genellikle bir aralık ya da birleşim olarak ifade edilir
• Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa TOPLANABİLİR ama çıkarılamaz/çarpılamaz (işaret bilinmiyorsa)
• x² < a (a>0) eşitsizliğinin çözümü -√a < x < √a'dır; sadece 'x < √a' YANLIŞTIR
• Üçgen eşitsizliği: |a-b| < c < a+b (üçgenin her kenarı için geçerli)

Konu Özeti

• Tanım: a^n ifadesi, a sayısının kendisiyle n kez çarpılması anlamına gelir (a.a.a...a, n tane). Burada a tabanı, n ise üssü gösterir. Sıfırdan farklı her a sayısı için a^0 = 1 olarak tanımlanır. 0^0 ifadesi tanımsızdır.
• Çarpma ve bölme kuralları: Aynı tabanlı üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: a^m . a^n = a^(m+n). Aynı tabanlı üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır: a^m : a^n = a^(m-n) (a≠0). Farklı tabanlı fakat üsleri eşit olan ifadelerde ise tabanlar çarpılıp/bölünüp ortak üs dışarıda kullanılabilir: a^n . b^n = (a.b)^n ve a^n : b^n = (a/b)^n (b≠0).
• Kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır: (a^m)^n = a^(m.n). Bu kural, parantez içindeki üslü ifadenin tekrar bir üsse yükseltilmesi durumunda kullanılır ve KPSS'de sık sorulan bir sadeleştirme adımıdır.
• Negatif üs: a^-n = 1/a^n (a≠0) şeklinde tanımlanır; yani negatif üslü bir ifade, tabanın pozitif üslü hâlinin çarpmaya göre tersidir. Bir kesrin negatif kuvveti alınırken pay ile payda yer değiştirir: (a/b)^-n = (b/a)^n.
• Kesirli üs: Üste kesir gelmesi köklü ifadeye karşılık gelir. a^(1/n) = n. dereceden kök içinde a demektir (n√a); genel olarak a^(m/n) = n√(a^m). Bu bağlantı, üslü ve köklü sayılar arasındaki temel köprüdür.
• Negatif tabanlı üslü sayılarda işaret kuralı: üs çift sayı ise sonuç her zaman pozitiftir, üs tek sayı ise sonuç tabanla aynı işareti taşır. Örneğin (-2)^4 = 16 (pozitif) iken (-2)^3 = -8 (negatif) olur.
• Üslü denklemlerin çözümü: a^x = a^y biçimindeki bir denklemde tabanlar eşit ve a≠0,1,-1 ise üsler de eşit olmak zorundadır, yani x=y. Farklı görünen tabanlar ortak bir tabana indirgenerek çözülür; örneğin 4^x = 32 denklemi (2^2)^x = 2^5, yani 2^(2x) = 2^5 şeklinde yazılıp 2x=5'ten çözülür.
• KPSS'de en çok karşılaşılan hata, üs toplama/çarpma kurallarının birbirine karıştırılmasıdır: a^m . a^n işleminde üsler TOPLANIR, (a^m)^n işleminde ise üsler ÇARPILIR. Bu iki kuralı ayırt etmek soruların doğru çözümü için kritik önem taşır.
• Bir diğer sık yapılan hata, TOPLAMA işlemi içindeki üslü terimlerin üslerini toplamaya çalışmaktır: a^m + a^n işlemi a^(m+n)'e EŞİT DEĞİLDİR (üs toplama kuralı yalnızca ÇARPMA işleminde geçerlidir). Toplama içeren üslü ifadeler, ortak çarpan parantezine alınarak sadeleştirilir: örneğin 2^5 + 2^4 = 2^4×(2+1) = 2^4×3 = 16×3=48 olur; bu, 2^9=512 SONUCUNU VERMEZ. Bu ayrımı net kavramak, üslü sayı sorularında en kritik noktalardan biridir.
• Sıfır ve bir tabanlı üslü sayılarda özel durumlar vardır: 0'ın pozitif herhangi bir kuvveti her zaman 0'dır (0^n=0, n>0 için), ancak 0'ın 0. kuvveti (0^0) matematikte tanımsız kabul edilir ve 0'ın negatif kuvveti de tanımsızdır (paydaya 0 gelmiş olur). 1 tabanlı her üslü ifade ise üssü ne olursa olsun her zaman 1'dir (1^n=1); benzer şekilde (-1)^n ifadesi n çift ise 1, n tek ise -1 değerini alır.
• Üslü ifadeler karşılaştırılırken taban ile üssün birlikte etkisi göz önünde bulundurulmalıdır: taban 1'den büyükse üs arttıkça değer büyür (örneğin 2^3<2^5), ancak taban 0 ile 1 arasında bir kesirse üs arttıkça değer KÜÇÜLÜR (örneğin (1/2)^3 > (1/2)^5, çünkü kesir kendisiyle çarpıldıkça küçülür). Bu ters eğilim, kesirli tabanlı üslü sayı karşılaştırmalarında sık gözden kaçan bir noktadır.

Anahtar Noktalar

• a^0 = 1 (a≠0)
• a^m . a^n = a^(m+n)
• a^m : a^n = a^(m-n)
• (a^m)^n = a^(m.n)
• a^-n = 1/a^n
• a^(1/n) = n√a
• Çift üs → sonuç pozitif, tek üs → tabanın işareti
• (a.b)^n = a^n . b^n
• a^m + a^n ≠ a^(m+n); toplamada üsler toplanmaz, ortak çarpan parantezine alınır
• 0^n=0 (n>0); 0^0 ve 0'ın negatif kuvvetleri tanımsızdır
• 1^n = 1 (her n için); (-1)^n: n çift→1, n tek→-1
• 0<a<1 olan kesirli tabanda üs arttıkça değer KÜÇÜLÜR (a>1'in tersi)

Konu Özeti

• Tanım: n√a ifadesinde n kök derecesini, a ise kök içindeki sayıyı (radikand) gösterir. n çift sayı ise gerçek sayılarda a'nın negatif olmaması gerekir (a≥0). n=2 olduğunda kök derecesi yazılmaz ve sadece √a şeklinde gösterilir.
• Sadeleştirme: Kök içindeki sayı, tam kare (karekök için) ya da tam küp (küpkök için) bir çarpana ayrılarak dışarı çıkarılır. Örneğin √50 ifadesinde 50 = 25.2 olduğundan √50 = √(25.2) = 5√2 olur; benzer şekilde ∛24 ifadesinde 24=8.3 olduğundan ∛24 = 2∛3 bulunur.
• Toplama ve çıkarma: Yalnızca kök derecesi ve kök içi (radikand) aynı olan köklü terimler toplanıp çıkarılabilir; bu işlemde yalnızca katsayılar toplanır/çıkarılır, kök içi değişmez. Örneğin 3√2 + 5√2 = 8√2 olur, ama 3√2 + 5√3 sadeleştirilemez çünkü kök içleri farklıdır.
• Çarpma ve bölme: √a . √b = √(a.b) ve √a : √b = √(a/b) (a,b≥0, b≠0) kuralları geçerlidir. Kök dereceleri farklı olan ifadelerde önce ortak bir kök derecesine getirilmesi gerekir. Kök içinde kök varsa (iç içe kökler) kök dereceleri çarpılır: n√(m√a) = (n.m)√a.
• Rasyonelleştirme (paydayı köklü sayıdan kurtarma): a/√b biçimindeki bir ifadede pay ve payda √b ile çarpılarak payda tam sayıya dönüştürülür: a/√b = a√b/b. Payda √a ± √b ya da √a ± b biçimindeyse, pay ve payda ifadenin eşleniği (işareti ters çevrilmiş hâli) ile çarpılır; bu durumda (x+y)(x-y)=x^2-y^2 özdeşliği payda köklerden arındırır.
• Köklü sayılarda özdeşlikler: (√a - √b)(√a + √b) = a - b ve (√a + √b)^2 = a + b + 2√(a.b) gibi cebirsel özdeşlikler köklü ifadeler için de geçerlidir ve sınavda ifadeleri hızlıca açmak için kullanılır.
• Köklü sayılarla ilgili sorularda dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, sadeleştirme yaparken tam kare/tam küp çarpanların doğru bulunmasıdır; aksi hâlde işlemler kâğıt üzerinde doğru yapılsa bile sonuç yanlış çıkar.
• En sık düşülen tuzaklardan biri, toplama işlemini kök içine dağıtmaktır: √a + √b, √(a+b)'YE EŞİT DEĞİLDİR (kökler yalnızca ÇARPMA ve BÖLMEDE dağılır, toplama-çıkarmada değil). Örneğin √9+√16=3+4=7'dir, oysa √(9+16)=√25=5'tir; bu iki sonuç birbirinden FARKLIDIR ve bu fark, kök içinin toplanabileceği yanılgısına karşı somut bir kanıttır.
• Negatif sayıların köklü ifadeleri kök derecesine göre farklı davranır: çift dereceden kökler (karekök, dördüncü kök vb.) negatif bir sayı için gerçek sayılar kümesinde TANIMSIZDIR (örneğin √(-4) gerçek sayı değildir), ancak tek dereceden kökler (küpkök, beşinci kök vb.) negatif sayılar için tanımlıdır ve sonuç negatif çıkar (örneğin ∛(-8) = -2, çünkü (-2)³=-8). Bu ayrım, kök içindeki ifadenin işaretine ve kök derecesinin tek/çift olmasına birlikte bakmayı gerektirir.
• İç içe kök içeren özel bir ifade türü olan 'birleşik köklü' ifadeler (√(a ± 2√b) biçiminde) pratik bir yöntemle sadeleştirilebilir: eğer x+y=a ve x×y=b olacak şekilde x,y bulunabiliyorsa, √(a + 2√b) = √x + √y ve √(a − 2√b) = √x − √y (x>y kabul edilerek) yazılabilir. Örnek: √(7 + 2√10) ifadesinde x+y=7 ve x×y=10 olacak şekilde x=5, y=2 bulunur (5+2=7, 5×2=10), dolayısıyla √(7+2√10) = √5+√2'dir.

Anahtar Noktalar

• √a . √a = a (a≥0)
• √a . √b = √(a.b)
• c√a ± d√a = (c±d)√a (yalnızca aynı köklüler toplanır)
• a/√b = a√b / b (rasyonelleştirme)
• 1/(√a - b) = (√a + b)/(a - b^2) (eşlenikle çarpma)
• n√(m√a) = (n.m)√a
• (√a + √b)(√a - √b) = a - b
• (√a + √b)^2 = a + b + 2√(a.b)
• √a + √b ≠ √(a+b); kökler toplamada değil yalnızca çarpma/bölmede dağılır
• Çift dereceden kökte negatif radikand gerçek sayılarda tanımsızdır; tek dereceden kökte negatif sonuç mümkündür
• √(a+2√b) = √x+√y (x+y=a, xy=b olacak şekilde x,y bulunursa)

Konu Özeti

• Tanım: f: A → B fonksiyonunda A tanım kümesindeki her x elemanı, B görüntü (değer) kümesinde tek bir f(x) elemanına karşılık gelir. Bir elemanın birden fazla görüntüsü olması fonksiyon tanımına aykırıdır. f(x) = ax + b (a≠0) biçimindeki fonksiyonlara doğrusal (birinci dereceden) fonksiyon denir ve grafikleri bir doğrudur.
• Fonksiyon değeri bulma: f(x) kuralı verildiğinde belirli bir x0 değeri için f(x0) hesaplanırken, kuralda x'in bulunduğu her yere x0 yazılır ve işlem sırasına (önce parantez/üs, sonra çarpma-bölme, en son toplama-çıkarma) dikkat edilerek sonuç bulunur.
• Bileşke fonksiyon: (f∘g)(x) = f(g(x)) ifadesi, önce g fonksiyonunun uygulanıp çıkan sonucun f fonksiyonunda yerine konulması anlamına gelir. Genel olarak f∘g ile g∘f fonksiyonları birbirinden farklı sonuçlar verir; bu yüzden işlem sırası (önce hangi fonksiyonun uygulandığı) her zaman dikkatle takip edilmelidir.
• Ters fonksiyon: f(x) = ax + b (a≠0) fonksiyonunun tersi f^-1(x) = (x-b)/a şeklindedir. Bu, y=f(x) yazılıp denklemde x ile y'nin yerleri değiştirilerek yeni denklemden y'nin (yani x cinsinden ifade edilen tersin) çekilmesiyle bulunur. f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x özdeşliği her zaman sağlanır ve çözümü kontrol etmek için kullanılabilir.
• Tanım kümesi kısıtları: Bir kesrin paydası sıfır olamayacağı için f(x) = 1/(x-a) türündeki bir fonksiyonda x=a değeri tanım kümesine dahil edilmez; fonksiyon bu noktada tanımsızdır. Kareköklü ifadeler içeren fonksiyonlarda ise kök içinin negatif olmaması gerektiği unutulmamalıdır.
• İkinci dereceden fonksiyonlar: f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0) biçimindeki fonksiyonlarda da belirli bir x0 için f(x0) değeri, kuralda x yerine x0 yazılarak aynı mantıkla hesaplanır; burada üslü terimin doğru hesaplanmasına özellikle dikkat edilmelidir.
• Sabit fonksiyon: f(x) = c (c bir sabit) biçimindeki fonksiyonlarda x'in aldığı değerden bağımsız olarak f her zaman aynı c değerini üretir; bu tür fonksiyonların grafiği yatay bir doğrudur.
• Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını grafik üzerinden anlamanın pratik bir yolu 'dikey doğru testi'dir: grafik üzerinde herhangi bir yerden çizilen dikey (x eksenine dik) bir doğru, grafiği yalnızca BİR noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur; birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon değildir (çünkü bir x değerinin birden fazla görüntüsü olduğu anlamına gelir). Örneğin bir çemberin grafiği fonksiyon değildir, çünkü dikey bir doğru çemberi genellikle iki noktada keser.
• Fonksiyonlarda bire bir (injektif) olma özelliği, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntü kümesinde de farklı elemanlara karşılık gelmesi anlamına gelir: x1≠x2 iken f(x1)≠f(x2) olmalıdır. Örten (surjektif) olma özelliği ise görüntü kümesindeki her elemanın, tanım kümesinden en az bir eleman tarafından görüntülenmiş olması demektir. Bir fonksiyon hem bire bir hem örten ise 'birebir eşleme' (bijeksiyon) adını alır ve YALNIZCA böyle bir fonksiyonun tersi tam anlamıyla tanımlıdır.
• Doğrusal fonksiyon f(x)=ax+b'de eğim katsayısı olan a'nın işareti fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu belirler: a>0 ise fonksiyon x arttıkça artar (artan fonksiyon), a<0 ise x arttıkça azalır (azalan fonksiyon), a=0 ise fonksiyon sabittir. Bu bilgi, iki fonksiyon değerini hesaplamadan büyüklük karşılaştırması yapmak için hızlı bir kısayoldur.

Anahtar Noktalar

• f(x0): kuralda x yerine x0 yazılır
• (f∘g)(x) = f(g(x)): önce g, sonra f uygulanır
• f∘g ≠ g∘f (genellikle)
• f(x) = ax + b ⇒ f^-1(x) = (x-b)/a
• f(f^-1(x)) = x
• 1/(x-a) tipi fonksiyon x=a için tanımsızdır
• Doğrusal fonksiyonun grafiği bir doğrudur
• a≠0 iken f(x)=ax+b'nin her zaman bir tersi vardır
• Dikey doğru testi: grafiği bir dikey doğru birden çok noktada kesiyorsa fonksiyon değildir
• Bire bir (injektif): farklı x'ler farklı görüntü verir; örten (surjektif): her görüntü elemanına ulaşılır
• f(x)=ax+b'de a>0 ise fonksiyon artandır, a<0 ise azalandır

Konu Özeti

• Sayı dizisi sorularında ilk yapılması gereken, ardışık terimler arasındaki farkı (ya da oranı) incelemektir. Fark sabitse dizi aritmetik dizidir ve n. terimi a_n = a1 + (n-1).d formülüyle bulunur; burada a1 ilk terim, d ise ortak farktır.
• Ardışık terimlerin birbirine oranı sabitse dizi geometrik dizidir ve n. terimi a_n = a1 . r^(n-1) formülüyle bulunur; burada r ortak çarpandır (oran).
• Bazı dizilerde birinci farklar sabit değildir, fakat farkların kendi arasındaki fark (ikinci fark) sabittir; bu durumda dizi ikinci dereceden (kareye bağlı) bir kuralla ilerler. Bu tip dizilerde bir sonraki terimi bulmak için önce fark dizisi yazılır, ikinci farkın sabit değeri son farka eklenerek yeni fark bulunur, bu yeni fark da son terime eklenir.
• Fibonacci tipi dizilerde her terim, kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir: a_n = a_(n-1) + a_(n-2). Bu tip sorularda dizinin ilk iki terimi verilir ve istenen terime kadar toplama işlemi tekrarlanarak ilerlenir.
• Bazı dizilerde terimler bir işlem zinciriyle üretilir; örneğin her terim bir önceki terimin belirli bir sayı ile çarpılıp üzerine (ya da çıkarılarak) sabit bir değer eklenmesiyle elde edilir. Bu tip sorularda kural, verilen ilk birkaç terimden ters mühendislikle çıkarılıp sonraki terime uygulanır.
• Sayı bulmaca sorularında ifade önce cebirsel bir denkleme çevrilir: bilinmeyen sayı x kabul edilir, cümledeki 'katı', 'fazlası', 'eksiği', 'yarısı' gibi ifadeler sırasıyla matematiksel işlemlere dönüştürülür. Örneğin 'bir sayının 3 katının 5 fazlası 26'dır' ifadesi 3x + 5 = 26 denklemine karşılık gelir ve buradan x = 7 bulunur.
• Bu soru tipinde en kritik adım, cümledeki ifadelerin doğru sırayla denkleme aktarılmasıdır; 'fazlası' ifadesi toplamayı, 'eksiği' çıkarmayı, 'katı' çarpmayı, 'yarısı' ise ikiye bölmeyi temsil eder ve bu işlemlerin cümledeki sıraya uygun şekilde denkleme yazılması gerekir.
• İki sayının toplamı ve farkı birlikte verildiğinde, tek tek denklem çözmeye gerek kalmadan doğrudan kullanılabilecek pratik bir kısayol vardır: büyük sayı = (toplam + fark) / 2, küçük sayı = (toplam − fark) / 2. Örnek: iki sayının toplamı 50, farkı 12 ise büyük sayı = (50+12)/2=31, küçük sayı = (50−12)/2=19'dur (Kontrol: 31+19=50, 31−19=12).
• Sayı dizisi sorularında yalnızca ilk iki veya üç terime bakarak kuralı genellemek riskli bir kısayoldur; farklı örüntüler bazen ilk birkaç terimde aynı görünüp sonradan ayrışabilir. Güvenli yöntem, en az 4-5 terimi incelemek ve ardışık farkları (ya da oranları) sistematik olarak yazıp sabit bir örüntü olup olmadığını doğrulamaktır; yalnızca 2 terimden bir kural çıkarmak (örneğin 2, 4 dizisinden 'her terim ikiye katlanıyor' sonucuna hemen varmak) yanlış genellemeye yol açabilir, çünkü dizi 2,4,6,8 (aritmetik, +2) da olabilir, 2,4,8,16 (geometrik, ×2) da olabilir.
• Bazı sayısal mantık soruları harf/sembollerle kurulmuş basit denklem sistemleri (kriptaritmetik) şeklinde karşımıza çıkar; burada her farklı harf farklı bir rakamı temsil eder ve toplama/çarpma işleminin basamak basamak tutarlı olması gerekir. Bu tip sorularda en kısıtlayıcı basamaktan (genellikle en soldaki veya elde/taşıma oluşan basamaktan) başlayarak olası rakamları eleyerek ilerlemek en sistematik çözüm yoludur.

Anahtar Noktalar

• Sabit fark → aritmetik dizi: a_n = a1 + (n-1).d
• Sabit oran → geometrik dizi: a_n = a1 . r^(n-1)
• Fark dizisi sabit değilse ikinci farklara bakılır
• Fibonacci tipi: a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
• '...katının ...fazlası/eksiği' ifadeleri doğrudan denkleme çevrilir
• Örüntü kuralı ilk terimlerden çıkarılıp devam ettirilir
• İşlem önceliğine (parantez, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) dikkat edilmeli
• Toplamı ve farkı verilen iki sayı: büyük=(toplam+fark)/2, küçük=(toplam-fark)/2
• Örüntüyü yalnızca 2 terimden genellemek risklidir; en az 4-5 terime bakılmalıdır
• Kriptaritmetik sorularda en kısıtlayıcı (elde/taşıma oluşan) basamaktan başlanır

Konu Özeti

• Bir küme, elemanları süslü parantez { } içinde listelenerek ya da ortak bir özellik belirtilerek (örn. A = {x : x, 10'dan küçük çift doğal sayı}) tanımlanır. Bir kümenin eleman sayısı n(A) ya da s(A) şeklinde gösterilir.
• A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinde de bulunuyorsa A, B'nin alt kümesidir ve A⊆B şeklinde gösterilir. n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^n, kümenin kendisi hariç tutulan öz alt küme sayısı ise 2^n - 1'dir.
• Birleşim (A∪B): A veya B kümesinde (ya da her ikisinde birden) bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Kesişim (A∩B): hem A hem de B kümesinde ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. Fark (A-B): A kümesinde olup B kümesinde bulunmayan elemanlardan oluşur; A-B ile B-A genellikle birbirinden farklıdır.
• İki kümenin eleman sayısı formülü şu şekildedir: n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B). Bu formül, A ve B'de ortak olan elemanların iki kez sayılmasını önlemek için kesişimin bir kez çıkarılmasına dayanır.
• Üç küme söz konusu olduğunda benzer mantıkla şu formül kullanılır: n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C). Burada ikili kesişimler bir kez çıkarılır, üçlü kesişim ise son adımda tekrar eklenir.
• Evrensel küme U içinde, A kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye A'nın tümleyeni denir ve A' = U - A şeklinde gösterilir; n(A') = n(U) - n(A) olur. Venn şemalarında 'yalnızca A'da olanlar' n(A) - n(A∩B) ile, 'ne A ne de B'de olanlar' ise n(U) - n(A∪B) ile hesaplanır.
• Kartezyen çarpım A×B, A kümesinin her elemanı ile B kümesinin her elemanının oluşturduğu sıralı ikililerden (a,b) meydana gelir; bu kümenin eleman sayısı n(A×B) = n(A) . n(B) formülüyle bulunur.
• İki küme arasındaki 'eşit küme' ve 'denk küme' kavramları karıştırılmamalıdır: iki küme, tamamen aynı elemanlara sahipse (sırası önemli değil) eşit kümedir (A=B); eleman sayıları eşit fakat elemanları farklı olabilen kümelere ise denk küme denir (A~B, yalnızca n(A)=n(B) gerekir). Örneğin A={1,2,3} ve B={3,1,2} eşit kümedir (aynı elemanlar), A={1,2,3} ve C={a,b,c} ise denktir (eleman sayısı aynı) ama eşit değildir.
• Simetrik fark (A∆B), iki kümenin yalnızca birinde bulunan (ortak olmayan) elemanların tamamından oluşur ve A∆B = (A-B) ∪ (B-A) şeklinde tanımlanır; kesişimdeki ortak elemanlar bu kümeye dahil edilmez. Eleman sayısı n(A∆B) = n(A)+n(B)-2×n(A∩B) formülüyle de hesaplanabilir (ortak elemanlar iki kez çıkarılır çünkü ne A-B'de ne B-A'da yer almazlar).
• De Morgan kuralları, birleşim ve kesişimin tümleyenini almak için kullanılan iki temel özdeşliktir: (A∪B)' = A'∩B' (birleşimin tümleyeni, tümleyenlerin kesişimidir) ve (A∩B)' = A'∪B' (kesişimin tümleyeni, tümleyenlerin birleşimidir). Bu kurallar, 'ne A ne B'de olmayanlar' ya da 'A'da olmayıp B'de de olmayanlar' gibi karmaşık ifadeleri sadeleştirmede kullanılır.

Anahtar Noktalar

• n elemanlı kümenin alt küme sayısı: 2^n
• n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
• n(A∪B∪C) formülünde ikili kesişimler çıkarılır, üçlü kesişim geri eklenir
• Yalnız A'da olanlar: n(A) - n(A∩B)
• Ne A ne B'de olanlar: n(U) - n(A∪B)
• n(A×B) = n(A) . n(B)
• A⊆B ise n(A) ≤ n(B)
• Boş küme her kümenin alt kümesidir
• Eşit küme: tüm elemanlar aynı (A=B); denk küme: yalnızca eleman SAYISI aynı (A~B)
• Simetrik fark: A∆B=(A-B)∪(B-A); n(A∆B)=n(A)+n(B)-2×n(A∩B)
• De Morgan: (A∪B)'=A'∩B' ve (A∩B)'=A'∪B'

Konu Özeti

• Temel sayma prensibi (çarpma kuralı): Birbirinden bağımsız ardışık seçimlerde, birinci seçim m farklı şekilde, ikinci seçim n farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu iki seçim birlikte (art arda) m.n farklı şekilde yapılabilir. Üç ya da daha fazla bağımsız seçim olduğunda da aynı mantıkla tüm seçenek sayıları çarpılır.
• Permütasyon (sıralamanın önemli olduğu durumlar): n farklı elemanın tamamının sıralanma (dizilme) sayısı n! (n faktöriyel) ile gösterilir ve n! = n.(n-1).(n-2)...2.1 şeklinde hesaplanır. n elemanlı bir kümeden r tanesinin seçilip sıralı biçimde dizilme sayısı P(n,r) = n!/(n-r)! formülüyle bulunur.
• Dairesel permütasyon: n farklı elemanın bir daire (örneğin yuvarlak masa) etrafına dizilme sayısı (n-1)! formülüyle hesaplanır. Bunun nedeni, dairesel düzende bir sıralamanın döndürülmesiyle elde edilen tüm düzenlerin aynı kabul edilmesidir.
• Bazı elemanların daima yan yana bulunması istenen dizilişlerde, yan yana olması gereken elemanlar tek bir blok olarak kabul edilip diğer elemanlarla birlikte sıralanır (bu sıralama sayısı bulunur); ardından blok içindeki elemanların kendi aralarındaki sıralamaları ayrıca hesaplanıp bu iki sayı çarpılır.
• Kombinasyon (sıralamanın önemli olmadığı, yalnızca seçimin yapıldığı durumlar): n elemanlı bir kümeden r tanesinin sırasız olarak seçilme sayısı C(n,r) = n! / (r!.(n-r)!) formülüyle hesaplanır. C(n,r) = C(n,n-r) özdeşliği her zaman geçerlidir, yani r eleman seçmek ile geriye kalan (n-r) elemanı seçmemek aynı sayıda yolla yapılabilir.
• Olasılık: Bir olayın olasılığı, istenen (uygun) durum sayısının, tüm olası durum sayısına oranı olarak tanımlanır: P(olay) = (istenen durum sayısı) / (tüm durum sayısı). Olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ≤ P ≤ 1); P=0 olayın imkânsız, P=1 olayın kesin olduğunu gösterir.
• Birden fazla elemanın aynı anda (sırasız) seçildiği olasılık sorularında hem istenen durum sayısı hem de tüm durum sayısı kombinasyon formülüyle hesaplanır; örneğin bir torbadan aynı anda çekilen birkaç topun belirli renklerde olma olasılığı, uygun renk kombinasyonlarının tüm kombinasyonlara oranı alınarak bulunur.
• Aralarında birbirinin AYNISI (özdeş) olan elemanlar varsa, sıralama sayısı klasik n! formülünden daha küçük çıkar; bu durumda tekrarlı permütasyon formülü kullanılır: n tane elemandan p tanesi birbirinin aynısı, q tanesi birbirinin aynısı (vs.) ise farklı diziliş sayısı n!/(p!×q!×...) olur. Örnek: 'ANANAS' kelimesindeki harflerin farklı dizilişi, kelimede 6 harf (A 3 kez, N 2 kez, S 1 kez) olduğundan 6!/(3!×2!×1!) = 720/12 = 60'tır. Ayrıca 0! = 1 olarak tanımlanır; bu tanım, P(n,0)=1 ve C(n,0)=1 sonuçlarının (bir kümeden hiç eleman seçmemenin tek bir yolu vardır) formülle tutarlı olmasını sağlar.
• Bir olayın olasılığı ile o olayın GERÇEKLEŞMEME olasılığı (tümleyeni) arasında P(A) + P(A') = 1 ilişkisi vardır; yani P(A') = 1 − P(A). Bu kural, 'en az bir kere...' türü karmaşık olasılık sorularında büyük kolaylık sağlar: doğrudan 'en az bir' durumunu saymak yerine, tam tersi olan 'hiç olmama' durumunun olasılığı bulunup 1'den çıkarılır. Örnek: bir zar iki kez atıldığında en az bir kez 6 gelme olasılığı, doğrudan hesaplamak yerine 'hiç 6 gelmeme' olasılığı (5/6×5/6=25/36) bulunup 1'den çıkarılarak 1−25/36=11/36 olarak bulunur.
• Olaylar arasında bağımsızlık önemli bir ayrımdır: bir topu çekip TEKRAR torbaya koyarak (iadeli çekiliş) ikinci bir top çekmek, iki olayı BAĞIMSIZ kılar (ilk çekilişin sonucu ikinci çekilişin olasılığını etkilemez); ancak çekilen topu torbaya geri KOYMADAN ikinci topu çekmek olayları BAĞIMLI kılar (ilk çekilişten sonra torbadaki toplam top sayısı ve renk dağılımı değişir, bu da ikinci çekilişin olasılığını etkiler). Bu ayrımı doğru yapmak, çok adımlı olasılık sorularının doğru kurulması için gereklidir.

Anahtar Noktalar

• Çarpma kuralı: bağımsız seçimler çarpılır
• n farklı elemanın sıralanışı: n!
• P(n,r) = n! / (n-r)! (sıralı seçim)
• C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) (sırasız seçim)
• Dairesel permütasyon: (n-1)!
• C(n,r) = C(n,n-r)
• P(olay) = istenen / toplam, 0 ≤ P(olay) ≤ 1
• Yan yana olma şartı: blok mantığı + blok içi sıralama
• Tekrarlı elemanların permütasyonu: n! / (p!×q!×...) (özdeş elemanlar için)
• 0! = 1 (tanım gereği); bu, P(n,0)=1 ve C(n,0)=1 ile tutarlıdır
• P(A) + P(A') = 1; 'en az bir' sorularında P(A)=1-P(hiç olmama) kısayolu kullanılır
• İadeli çekilişte olaylar bağımsız, iadesiz çekilişte olaylar bağımlıdır

Konu Özeti

• Doğal sayılar 0, 1, 2, 3, 4... şeklinde devam eden, eksi (negatif) olmayan sayılardır. Tam sayılar ise doğal sayılara negatif sayıları da (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) ekleyerek elde edilir. Bir sayının 'basamak değeri', o rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değerdir. Örneğin 4restoran 538 sayısında 5 rakamı yüzler basamağındadır ve basamak değeri 5×100=500'dür. Aynı şekilde 3 rakamının basamak değeri 3×10=30, 8 rakamının basamak değeri 8×1=8'dir. Bir sayının rakamları toplamı ise sadece rakamların kendisini (basamak değerlerini değil) toplamaktır: 538 sayısında rakamlar toplamı 5+3+8=16'dır.
• Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını gösterir ve her zaman pozitiftir ya da sıfırdır; |−5|=5 ve |5|=5'tir. Üslü sayılarda taban aynıyken çarpma işleminde üsler toplanır (a^m × a^n = a^(m+n)), bölme işleminde ise üsler çıkarılır (a^m ÷ a^n = a^(m-n)). Örnek: 2^5 × 2^3 ÷ 2^4 işleminde önce üsler toplanır (5+3=8), sonra çıkarılır (8-4=4), sonuç 2^4=16 olur.
• Taban aritmetiği, günlük hayatta kullandığımız 10'luk (ondalık) sistemin dışında sayı yazma biçimleridir. 5 tabanında yazılan (234)5 sayısını 10'luk tabana çevirmek için her basamağı, bulunduğu konumun taban üzerinden kuvvetiyle çarpıp toplarız: (234)5 = 2×5² + 3×5¹ + 4×5⁰ = 2×25 + 3×5 + 4×1 = 50+15+4 = 69. Bu mantık her taban için aynı şekilde işler; sadece taban sayısı (5 yerine 6, 7 gibi) değişir.
• Ardışık sayılar, birbirini takip eden sayılardır (örnek: 7, 8, 9 ardışık doğal sayılardır). Ardışık iki sayı toplamı verildiğinde, küçük sayıyı x, büyük sayıyı x+1 alarak denklem kurulur ve çözülür. Bu tip sorularda sistematik olarak denklem kurma alışkanlığı kazanmak çok önemlidir. Ardışık çift ya da ardışık tek sayılarda ise aradaki fark 1 değil 2'dir; küçük sayı x ise bir sonraki ardışık çift/tek sayı x+2 ile gösterilir. Örnek: ardışık iki çift sayının toplamı 46 ise x+(x+2)=46 → 2x=44 → x=22; sayılar 22 ve 24'tür.
• Ardışık sayı toplamlarında pratik bir kısayol vardır: n tane ardışık sayının toplamı, ortanca terim ile terim sayısının çarpımına eşittir. Terim sayısı tek ise ortanca, dizinin tam ortasındaki terimdir; örneğin 7,8,9 sayılarının toplamı 8×3=24'tür (gerçekten 7+8+9=24). Terim sayısı çift ise ortanca, ortadaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır. Bu kısayol, sınavda uzun toplama işlemi yapmadan hızlı sonuca ulaşmayı sağlar.
• Basamak sayısı ile basamak değeri sıkça karıştırılan iki farklı kavramdır: basamak sayısı, bir sayının kaç haneden oluştuğunu (örneğin 538 sayısının basamak sayısı 3'tür), basamak değeri ise bir rakamın bulunduğu konuma göre aldığı değeri ifade eder. n basamaklı en küçük doğal sayı 10^(n-1) iledir (örneğin 4 basamaklı en küçük sayı 10³=1000), en büyük n basamaklı sayı ise 10^n − 1'dir (4 basamaklı en büyük sayı 10⁴−1=9999). Ayrıca 'rakam' tek bir haneyi (0'dan 9'a kadar 10 rakam vardır), 'sayı' ise bir veya daha fazla rakamın yan yana yazılmasıyla oluşan bütünü ifade eder; sınavda bu iki terimin birbirinin yerine kullanılmaması gerekir.
• Taban aritmetiğinde sık yapılan bir hata, bir basamağa taban sayısından büyük veya eşit bir rakam yazmaktır; oysa n tabanında kullanılabilecek rakamlar yalnızca 0'dan (n-1)'e kadardır. Örneğin 5 tabanında yazılan bir sayıda yalnızca 0,1,2,3,4 rakamları bulunabilir; '5' ya da daha büyük bir rakam 5 tabanında geçersizdir. Sıfır ile ilgili bir başka özel durum: 0 sayısı çift bir doğal sayıdır, fakat ne pozitiftir ne de negatiftir; ayrıca en küçük doğal sayı 0 iken tam sayılar kümesinde ne bir en küçük ne de bir en büyük eleman vardır, çünkü tam sayılar negatif yönde de pozitif yönde de sonsuza uzanır.

Anahtar Noktalar

• Basamak değeri = rakam × basamağın taban kuvveti (birler=1, onlar=10, yüzler=100...)
• Rakamlar toplamı ≠ basamak değerleri toplamı; rakamlar toplamında sadece rakamlar toplanır
• a^m × a^n = a^(m+n) (üs toplama kuralı, taban aynı olmalı)
• a^m ÷ a^n = a^(m-n) (üs çıkarma kuralı, taban aynı olmalı)
• Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır: |x| ≥ 0
• Taban dönüşümünde her basamak, taban sayısının kuvvetiyle çarpılıp toplanır
• Ardışık sayı problemlerinde küçüğü x, bir sonrakini x+1 ile ifade et
• En küçük 4 basamaklı doğal sayı 1000, en büyük 3 basamaklı doğal sayı 999'dur
• Ardışık çift/tek sayılarda adım 2'dir: küçüğü x ise bir sonraki x+2'dir
• n tane ardışık sayının toplamı = ortanca terim × terim sayısı
• n basamaklı en küçük sayı = 10^(n-1); n basamaklı en büyük sayı = 10^n − 1
• n tabanındaki bir sayıda kullanılabilecek rakamlar yalnızca 0 ile (n-1) arasındadır
• 0 çift bir doğal sayıdır ama pozitif de negatif de değildir
• 'Rakam' tek bir haneyi, 'sayı' bir veya daha çok rakamın oluşturduğu bütünü ifade eder

Konu Özeti

• Bölünebilme kuralları, bir sayıyı bölme işlemi yapmadan başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamamızı sağlar. 2 ile bölünebilme: sayının son rakamı çift olmalı (0,2,4,6,8). 3 ile bölünebilme: rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı. 4 ile bölünebilme: son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e tam bölünmeli. 5 ile bölünebilme: son rakam 0 veya 5 olmalı. 9 ile bölünebilme: rakamlar toplamı 9'un katı olmalı. 10 ile bölünebilme: son rakam 0 olmalı. Örnek: 4356 sayısı 3'e bölünür mü? Rakamlar toplamı 4+3+5+6=18, 18 ise 3'ün katıdır, dolayısıyla 4356 da 3'e tam bölünür.
• EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki ya da daha fazla sayıyı aynı anda tam bölen sayıların en büyüğüdür. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise iki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. EBOB bulmak için sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak olan asal çarpanlar en küçük üsleriyle çarpılır; EKOK için ise ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanlar en büyük üsleriyle çarpılır. Örnek: 24=2³×3, 36=2²×3². EBOB(24,36)=2²×3=12. EKOK(24,36)=2³×3²=72.
• Önemli bir kural: iki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir. Yani EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b. Bu formül, EBOB veya EKOK'tan biri bilinmiyorsa diğerini bulmamıza yardımcı olur. Örnek: EBOB'u 6, EKOK'u 72 olan iki sayıdan biri 18 ise diğeri = (6×72)/18 = 24'tür.
• EBOB problemleri genelde 'en büyük... eşit parçalara bölme' veya 'aynı anda olabilecek en büyük grup' şeklinde, EKOK problemleri ise 'kaç günde tekrar buluşurlar' veya 'aynı anda gerçekleşen en küçük ortak zaman' şeklinde sorulur.
• Daha az bilinen ama sınavda çıkabilen bölünebilme kuralları da vardır: 6 ile bölünebilme için sayının HEM 2'ye HEM de 3'e aynı anda tam bölünmesi gerekir (yalnızca birinin sağlanması yeterli değildir). 8 ile bölünebilme kuralı: sayının son ÜÇ basamağının oluşturduğu sayı 8'e tam bölünmelidir. 11 ile bölünebilme kuralı: sayının rakamları sondan başlanarak tek ve çift sıradakiler ayrı ayrı toplanır, bu iki toplam arasındaki fark 0 ya da 11'in katı ise sayı 11'e tam bölünür. Örnek: 3729 sayısı için sondan tek sıradakiler (9+7=16), çift sıradakiler (2+3=5); fark 16−5=11, dolayısıyla 3729, 11'e tam bölünür.
• Sınavda en sık yapılan hatalardan biri, 6 ile bölünebilme kuralını uygularken sadece 2'ye ya da sadece 3'e bakıp diğerini kontrol etmeyi unutmaktır; örneğin 42 sayısı çift olduğu için 2'ye bölünür ve rakamları toplamı (4+2=6) 3'ün katı olduğu için 3'e de bölünür, dolayısıyla 42, 6'ya da tam bölünür. Ancak 34 sayısı çift olmasına rağmen rakamlar toplamı (3+4=7) 3'ün katı olmadığından 6'ya bölünmez.
• Büyük sayılarda EBOB bulmak için çarpanlara ayırmak yerine 'ardışık bölme yöntemi' (Öklid algoritması) daha pratik olabilir: büyük sayı küçük sayıya bölünür, kalan bulunur; sonra küçük sayı bu kalana bölünür ve işlem kalan sıfır olana kadar tekrarlanır. Kalanın sıfır olduğu son bölüm, aranan EBOB'tur. Örnek: EBOB(84,126) için 126=84×1+42, sonra 84=42×2+0; kalan sıfır olduğunda son bölen olan 42, EBOB'tur.
• İki sayının EBOB'u 1 ise bu sayılara 'aralarında asal' denir (örneğin 8 ile 15 aralarında asaldır, ortak asal çarpanları yoktur); bu durumda EBOB(a,b)×EKOK(a,b)=a×b formülünden EKOK(a,b), doğrudan a×b'ye eşit olur.

Anahtar Noktalar

• 2,4,5,10 kuralları sayının SON rakam(lar)ına; 3,9 kuralları rakamlar TOPLAMINA bakar
• EBOB: ortak asal çarpanların KÜÇÜK üslüsü; EKOK: tüm asal çarpanların BÜYÜK üslüsü
• EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b (çok kullanışlı kısayol formülü)
• 'Eşit paylara ayırma, en büyük grup' sorularında EBOB aranır
• 'Birlikte/yeniden buluşma, ortak periyot' sorularında EKOK aranır
• EBOB her zaman sayılardan küçük veya eşit, EKOK her zaman sayılardan büyük veya eşittir
• Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünür; 1 asal sayı değildir
• 6 ile bölünebilme: sayı HEM 2'ye HEM 3'e birlikte bölünmeli (biri tek başına yetmez)
• 8 ile bölünebilme: sayının son ÜÇ basamağı 8'e tam bölünmeli
• 11 ile bölünebilme: sondan tek/çift sıradaki rakam toplamları farkı 0 veya 11'in katı olmalı
• Öklid algoritması: büyük sayı küçüğe bölünür, kalanla işlem tekrarlanır, kalan 0 olunca son bölen EBOB'tur
• EBOB'u 1 olan iki sayıya 'aralarında asal' denir; bu durumda EKOK = a × b'dir

Konu Özeti

• Rasyonel sayı, a/b şeklinde yazılabilen (b≠0) sayıdır; a'ya pay, b'ye payda denir. Kesirlerde toplama ve çıkarma yapmak için paydaların eşit (ortak payda) olması gerekir. Örnek: 3/4 + 1/6 işleminde paydaların ortak katı (EKOK) 12'dir. 3/4=9/12, 1/6=2/12 olur. Toplam: 9/12+2/12=11/12. Kesirlerde çarpma işleminde paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır: 3/4 × 2/9 = (3×2)/(4×9) = 6/36 = 1/6 (sadeleştirildi). Bölme işleminde ise ikinci kesirin (bölen) payı ve paydası yer değiştirilip çarpma yapılır: 5/6 ÷ 5/12 = 5/6 × 12/5 = 60/30 = 2.
• Basit kesir, payı paydasından küçük olan kesirdir (örnek: 3/4). Bileşik kesir, payı paydasından büyük veya eşit olan kesirdir (örnek: 7/3). Tam sayılı kesir (örnek: 2 tam 1/3), bir tam sayı ile bir basit kesrin bir arada yazılmasıdır ve bileşik kesre çevrilebilir: tam sayı × payda + pay, payda aynı kalır. 2 tam 1/3 = (2×3+1)/3 = 7/3.
• Ondalık sayılar, kesirlerin virgüllü gösterimidir. Bir kesri ondalık sayıya çevirmek için pay paydaya bölünür: 2/5 = 2÷5 = 0,4. Ondalık sayıyı kesre çevirmek için ise virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un kuvveti paydaya yazılır ve sadeleştirilir: 0,75 = 75/100 = 3/4 (25 ile sadeleştirildi). Ondalık sayılarda toplama-çıkarma yaparken virgüller alt alta gelecek şekilde işlem yapılır: 1,20 + 0,35 = 1,55.
• Kesirleri karşılaştırırken ortak payda bulmak ya da her birini ondalık sayıya çevirmek pratik yöntemlerdir. Örnek: 3/5=0,6 ; 2/3≈0,667 ; 7/10=0,7. Küçükten büyüğe sıralama: 3/5 < 2/3 < 7/10. Alternatif bir hızlı yöntem 'çapraz çarpma'dır: iki kesir karşılaştırılırken a/b ile c/d için a×d ile b×c çarpımları karşılaştırılır (b,d pozitif kabul edilirse); büyük çarpımın bulunduğu tarafın payı, büyük kesri verir. Örnek: 3/5 ile 2/3 için 3×3=9 ve 5×2=10; 10>9 olduğundan 2/3 > 3/5'tir.
• Rasyonel sayılar negatif de olabilir; negatif bir kesirde eksi işareti paya, paydaya veya kesrin tamamının önüne yazılabilir, üçü de aynı değeri ifade eder: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). İki negatif kesir toplanırken sonuç yine negatiftir; işaretli kesirlerde toplama-çıkarma yapmadan önce işaretleri netleştirmek hataları azaltır. Ayrıca her rasyonel sayı, iki tam sayının oranı olarak yazılabildiği için ondalık açılımı ya sonlu basamaklıdır ya da belirli bir örüntüyle sürekli tekrar eder (devirli ondalık); √2 veya π gibi kesir olarak yazılamayan ve ondalık açılımı hiç tekrar etmeyen sayılar ise irrasyoneldir ve rasyonel sayılar kümesine dahil değildir.
• Sınavda en sık yapılan hata, kesir toplarken 'pay paya, payda paydaya' kuralını çarpma kuralıyla karıştırıp doğrudan a/b + c/d = (a+c)/(b+d) şeklinde işlem yapmaktır; bu KESİNLİKLE yanlıştır, çünkü toplama-çıkarmada mutlaka ortak payda bulunmalıdır. Bu kuralın yalnızca çarpma işleminde (pay paya, payda paydaya) geçerli olduğu unutulmamalıdır. Bir diğer pratik kısayol, çarpma işleminden önce çaprazlama sadeleştirme yapmaktır: 3/4 × 2/9 işleminde çarpmadan önce 3 ile 9'u 3'e bölerek sadeleştirebiliriz (3/4 × 2/9 = 1/4 × 2/3 = 2/12 = 1/6), böylece büyük sayılarla çarpım yapmaktan kaçınılır.

Anahtar Noktalar

• Kesir toplama/çıkarma: önce ortak payda (paydaların EKOK'u) bulunur
• Kesir çarpma: pay paya, payda paydaya çarpılır
• Kesir bölme: ikinci kesir ters çevrilip çarpılır ('bölü' → 'çarpı ve ters')
• Basit kesir: pay < payda; bileşik kesir: pay ≥ payda
• Tam sayılı kesri bileşiğe çevirme: (tam sayı × payda + pay) / payda
• Ondalığı kesre çevirme: virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır paydaya yazılır
• Kesri ondalığa çevirme: pay paydaya bölünür
• Karşılaştırmada ortak paydaya getirmek ya da ondalığa çevirmek en güvenli yoldur
• Çapraz çarpma ile karşılaştırma: a/b ile c/d için a×d ve b×c karşılaştırılır (b,d>0)
• a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d); bu hatalı kısayol yalnızca çarpma kuralı ile karıştırılmamalı
• Her rasyonel sayının ondalık açılımı ya sonludur ya da devirlidir; √2, π gibi sayılar irrasyoneldir
• Negatif kesirde eksi işareti paya, paydaya ya da kesrin önüne yazılabilir, değer değişmez
• Çarpmadan önce çaprazlama sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır

Konu Özeti

• Yüzde (%) ifadesi, bir bütünün 100 eş parçasından kaç tanesi anlamına gelir; %20 demek 20/100 = 0,20 demektir. Bir sayının yüzdesini bulmak için sayı, yüzde oranıyla (ondalık hale getirilerek) çarpılır. Örnek: 250'nin %20'si = 250 × 0,20 = 50. İndirim problemlerinde, indirimli fiyat = orijinal fiyat − (orijinal fiyat × indirim oranı) şeklinde hesaplanır. Örnek: 400 TL'lik bir ürün %15 indirimle satılırsa: 400 − (400×0,15) = 400 − 60 = 340 TL.
• Kâr-zarar problemlerinde, kâr = satış fiyatı − alış fiyatı'dır (satış > alış ise kârdır). Kâr yüzdesi = (kâr / alış fiyatı) × 100 formülüyle bulunur. Örnek: 800 TL'ye alınan bir mal 920 TL'ye satılırsa kâr = 920−800=120 TL'dir. Kâr yüzdesi = (120/800)×100 = %15. Tersine, alış fiyatı bilinmeyip satış fiyatı ve kâr yüzdesi verilirse: alış fiyatı = satış fiyatı / (1 + kâr oranı). Örnek: %25 kârla 500 TL'ye satılan bir ürünün alış fiyatı = 500 / 1,25 = 400 TL.
• Basit faiz problemlerinde faiz tutarı = anapara × faiz oranı × süre (yıl) formülüyle hesaplanır. Örnek: Yıllık %10 faiz oranıyla 2000 TL, 3 yılda ne kadar faiz getirir? Faiz = 2000 × 0,10 × 3 = 600 TL.
• Yaş problemlerinde, kişilerin bugünkü yaşları bilinmeyen olarak (x, y gibi) tanımlanır ve sorudaki ilişkiler (kaç kat, kaç yıl sonra/önce) denklem haline getirilir. Örnek: Babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır (baba=4x, oğul=x). 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır: 4x+5 = 3(x+5) → 4x+5=3x+15 → x=10. Oğul 10, baba 40 yaşındadır.
• Zarar durumunda formüller kâr formülleriyle simetriktir: Zarar = alış fiyatı − satış fiyatı (alış > satış ise zarardır) ve Zarar yüzdesi = (zarar / alış fiyatı) × 100'dür. Zararlı satışta satış fiyatı = alış fiyatı × (1 − zarar oranı) formülüyle bulunur; örneğin %12 zararla satılan 1500 TL'lik bir eşyanın satış fiyatı 1500×(1−0,12)=1500×0,88=1320 TL'dir. Kârda çarpan (1+oran), zararda ise (1−oran) kullanıldığı unutulmamalıdır.
• Art arda (ardışık) yüzde değişimlerinde yüzdeler birbirine doğrudan toplanıp çıkarılamaz; her değişim bir önceki sonuç üzerinden çarpımsal olarak uygulanır. Örnek: 200 TL'lik bir ürüne önce %20 zam, sonra %10 indirim yapılırsa: önce 200×1,20=240 TL, sonra 240×0,90=216 TL olur. Sonuç, doğrudan %10 zam yapılmış gibi (200×1,10=220 TL) DEĞİLDİR; bu, KPSS'de en sık düşülen tuzaklardan biridir çünkü %20 zam ve %10 indirimin net etkisi %20−%10=%10 zam değildir, gerçek net değişim burada %8'dir (216 TL, 200 TL'nin %108'idir).
• Basit faiz ile bileşik faiz kavramsal olarak farklıdır: basit faizde her yıl faiz, sabit anapara üzerinden hesaplanır (Faiz = anapara × oran × yıl), bileşik faizde ise bir önceki yılın faizi de anaparaya eklenerek bir sonraki yılın faizi büyümüş anapara üzerinden hesaplanır (Toplam tutar = anapara × (1+oran)^yıl). KPSS Genel Yetenek'te ağırlıklı olarak basit faiz sorulur, ancak iki kavramın birbirine karıştırılmaması gerekir; bileşik faizde kazanç, basit faize göre daha hızlı büyür.

Anahtar Noktalar

• %a = a/100 = a'nın ondalık karşılığı (örnek: %20 = 0,20)
• İndirimli fiyat = fiyat − (fiyat × indirim oranı)
• Kâr = satış fiyatı − alış fiyatı; Kâr yüzdesi = (kâr/alış fiyatı)×100
• Alış fiyatı = satış fiyatı / (1 + kâr oranı) [kârlı satışta]
• Basit faiz = anapara × oran × yıl
• Yaş problemlerinde 'x yıl sonra' ifadesi her iki kişinin yaşına da aynı x eklenir
• Yaş farkı zamanla DEĞİŞMEZ, sadece yaşların kendisi değişir
• KDV dahil fiyat = KDV hariç fiyat × (1 + KDV oranı)
• Zarar = alış fiyatı − satış fiyatı; Zarar yüzdesi = (zarar/alış fiyatı)×100
• Zararlı satışta satış fiyatı = alış fiyatı × (1 − zarar oranı)
• Art arda yüzde değişimleri TOPLANMAZ, çarpımsal olarak (her biri bir önceki sonuca) uygulanır
• %a zam + %b indirim ardışık uygulandığında net değişim genellikle a−b değildir
• Bileşik faizde tutar = anapara × (1+oran)^yıl; basit faizden daha hızlı büyür

Konu Özeti

• Hareket problemlerinin temel formülü: Hız = Yol / Zaman, buradan Yol = Hız × Zaman ve Zaman = Yol / Hız türetilir. Örnek: 240 km yolu 4 saatte alan bir aracın hızı = 240/4 = 60 km/saat. Birim dönüşümü de önemlidir: km/saat'i m/saniye'ye çevirmek için 1000'e çarpılıp 3600'e bölünür (ya da kısaca 3,6'ya bölünür). Örnek: 72 km/saat = 72×1000/3600 = 20 m/saniye.
• İki araç birbirine zıt yönden hareket ediyorsa ve aralarındaki mesafeyi kapatıyorlarsa, hızları toplanır: buluşma zamanı = toplam mesafe / (hız1+hız2). Aynı yönde hareket edip biri diğerini yakalıyorsa hızları çıkarılır: yakalama zamanı = mesafe / (hız farkı). Örnek: 280 km arayla, birbirine doğru 60 km/saat ve 80 km/saat hızla giden iki tren kaç saatte karşılaşır? 280/(60+80) = 280/140 = 2 saat.
• İşçi-havuz problemlerinde, bir işi tek başına tamamlayan birinin 'birim zamanda yaptığı iş oranı' 1/süre olarak ifade edilir. Birlikte çalışıldığında oranlar toplanır. Örnek: Bir işi A 6 günde, B 12 günde bitiriyor. Birlikte çalışırlarsa: A'nın hızı 1/6, B'nin hızı 1/12. Toplam hız: 1/6+1/12 = 2/12+1/12=3/12=1/4. Süre = 1/(1/4) = 4 gün.
• Havuzu dolduran ve boşaltan musluklar birlikte açıldığında, doldurma hızından boşaltma hızı çıkarılır. Örnek: Dolduran musluk 5 saatte, boşaltan musluk 8 saatte havuzu bitiriyor. Birlikte açılırsa net hız = 1/5 − 1/8 = 8/40−5/40=3/40. Havuz 40/3 saatte (yani 13 saat 20 dakikada) dolar.
• Tren-köprü (uzunluğu olan cisim) problemlerinde, bir trenin sabit bir noktayı (örneğin bir direği) geçme süresinde alınan yol yalnızca trenin kendi boyudur; ancak trenin bir köprüyü ya da tüneli baştan sona geçme süresinde alınan yol, trenin boyu İLE köprünün/tünelin uzunluğunun TOPLAMINA eşittir. Örnek: 150 m uzunluğundaki bir tren, 20 m/saniye hızla 450 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç saniyede geçer? Toplam alınan yol = 150+450=600 m; süre = 600/20 = 30 saniye.
• Dairesel pist problemlerinde iki hareketli aynı noktadan aynı anda harekete başlarsa: zıt yönlerde hareket ediyorlarsa ilk karşılaşma süresi = pist uzunluğu / (hız1+hız2)'dir (hızlar toplanır, tıpkı doğrusal yolda karşıdan karşıya gelme gibi). Aynı yönde hareket ediyorlarsa hızlı olan yavaş olanı tur farkı kadar geçene dek hızlar farkına göre yol kat eder; ilk yakalama (bir tur farkı atma) süresi = pist uzunluğu / (hız farkı)'dır. Bu mantık, doğrusal yoldaki kovalama problemleriyle birebir aynıdır, tek fark yolun bir çember oluşturmasıdır.
• Ortalama hız hesabında yapılan en yaygın hata, gidiş ve dönüş hızlarının basit aritmetik ortalamasını almaktır (örneğin (90+60)/2=75 km/saat DEMEK YANLIŞTIR); doğru yöntem her zaman toplam yolun toplam zamana bölünmesidir, çünkü gidiş ve dönüşte geçen süreler eşit değildir (hız arttıkça süre kısalır). Yalnızca gidiş ve dönüşte EŞİT SÜRE geçirilmişse aritmetik ortalama doğru sonucu verir; eşit YOL alındığında ise (yukarıdaki gibi) mutlaka toplam yol/toplam zaman yöntemi kullanılmalıdır.

Anahtar Noktalar

• Hız = Yol / Zaman, Yol = Hız × Zaman, Zaman = Yol / Hız
• Zıt yönde hareket: hızlar TOPLANIR (buluşma için)
• Aynı yönde hareket (kovalama): hızlar ÇIKARILIR (yakalama için)
• Bir işi x günde bitiren kişinin günlük iş hızı = 1/x
• Birlikte çalışmada iş hızları TOPLANIR: 1/x + 1/y = 1/birlikte süre
• Dolduran ve boşaltan musluk birlikteyse: doldurma hızı − boşaltma hızı
• km/saat'ten m/saniye'ye çevirmek için 3,6'ya bölünür
• Ortalama hız = TOPLAM yol / TOPLAM zaman (hızların ortalaması DEĞİL)
• Trenin sabit noktayı geçme yolu = tren boyu; köprü/tünel geçme yolu = tren boyu + köprü/tünel boyu
• Dairesel pistte zıt yönde ilk karşılaşma = çevre / (hız1+hız2)
• Dairesel pistte aynı yönde ilk yakalama (bir tur farkı) = çevre / (hız farkı)
• Hızların aritmetik ortalaması yalnızca EŞİT SÜRELERDE geçerlidir, EŞİT YOLDA değil

Konu Özeti

• Oran, iki niceliğin birbirine bölünmesiyle elde edilen ifadedir ve a:b veya a/b şeklinde yazılır. Orantı ise iki oranın birbirine eşitlenmesidir: a/b = c/d. Doğru orantıda bir nicelik artarken diğeri de aynı oranda artar (ya da biri azalırken diğeri de azalır). Ters orantıda ise bir nicelik artarken diğeri aynı oranda azalır (çarpımları sabit kalır).
• Doğru orantı örneği: Bir araç sabit hızla 5 saatte 350 km yol alıyorsa, 8 saatte kaç km yol alır? Hız sabit olduğundan yol ile zaman doğru orantılıdır: 350/5 = x/8 → x = 350×8/5 = 560 km. Ters orantı örneği: 8 işçi bir işi 15 günde bitiriyorsa, aynı işi 12 işçi kaç günde bitirir? İşçi sayısı arttıkça süre azalacağından (işçi sayısı × gün = sabit): 8×15 = 12×x → x = 120/12 = 10 gün.
• Paylaştırma problemlerinde bir miktar, verilen orana göre parçalara bölünür. a:b oranında paylaştırma yapılırken toplam (a+b) parçaya bölünüp her birim k ile çarpılır. Örnek: 60 TL, 2:3 oranında paylaştırılıyor. Toplam oran parçası: 2+3=5. Her birim: 60/5=12. Küçük pay: 2×12=24, büyük pay: 3×12=36.
• Üç veya daha fazla sayının oranı da aynı mantıkla çözülür: x:y:z=2:3:5 ve toplamları 100 ise, toplam parça 2+3+5=10, birim=100/10=10. Buna göre x=20, y=30, z=50.
• Bir problemin doğru mu yoksa ters orantı mı içerdiğini belirlemenin en güvenli yolu, iki niceliğin GERÇEKTEN nasıl ilişkili olduğunu mantıkla kontrol etmektir: 'bir nicelik artınca öteki de artıyor mu (doğru orantı), yoksa artınca öteki azalıyor mu (ters orantı)?' sorusunu sormak yeterlidir. Örneğin 'daha çok işçi çalıştırılırsa iş daha kısa sürede biter' cümlesinde işçi sayısı artarken süre azaldığından bu ters orantıdır; 'daha uzun yol gidilirse daha çok yakıt harcanır' cümlesinde ise ikisi birlikte arttığından bu doğru orantıdır. Sadece anahtar kelimelere değil, ilişkinin mantığına bakmak hataları önler.
• Sürekli orantı (geometrik orantı), a/b = b/c biçiminde ortadaki terimin hem önceki hem sonraki terimle oranlı olduğu özel bir orantı türüdür; burada b'ye a ile c'nin 'orta orantılısı' denir ve b² = a×c eşitliği sağlanır. Örnek: 4/b = b/9 orantısında b² = 4×9=36 → b=6 (b pozitif alınır).
• Oran ile kesir kavramsal olarak yakın ama aynı şey değildir: bir kesir (a/b) tek bir sayıyı ifade ederken, bir oran (a:b) iki büyüklüğü karşılaştırır; ancak işlemsel olarak a:b oranı a/b kesri gibi ele alınıp sadeleştirilebilir. Örnek: 12:18 oranı, EBOB'a (6) bölünerek 2:3 şeklinde en sade hâline getirilir. Paylaştırma problemlerinde oranın sadeleştirilmiş hâliyle çalışmak sayıları küçültüp işlemi kolaylaştırır.

Anahtar Noktalar

• Doğru orantı: a/b=c/d (biri artarken diğeri de aynı yönde artar)
• Ters orantı: a×b=c×d (biri artarken diğeri azalır, çarpım sabit kalır)
• Paylaştırmada: toplam parça sayısı = oranların toplamı, birim = toplam miktar/toplam parça
• İşçi sayısı ile süre TERS orantılıdır (daha çok işçi = daha az gün)
• Hız sabitken yol ile zaman DOĞRU orantılıdır
• Harita ölçeği problemleri doğru orantı ile çözülür
• a:b:c oranında paylaştırmada her bir pay = (o terimin oranı × toplam miktar) / (oranlar toplamı)
• Doğru/ters orantı ayrımı: 'birlikte mi artıyor (doğru), yoksa biri artarken öteki mi azalıyor (ters)?'
• Sürekli orantıda a/b=b/c ise b² = a×c (b, a ile c'nin orta orantılısıdır)
• Bir oran, EBOB'a bölünerek en sade hâline (asal oran) getirilebilir

Konu Özeti

• Çevre, bir şeklin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır. Dikdörtgenin çevresi: 2×(uzun kenar + kısa kenar). Karenin çevresi: 4×kenar. Alan ise bir şeklin kapladığı yüzey miktarıdır. Dikdörtgenin alanı: uzun kenar × kısa kenar. Karenin alanı: kenar × kenar. Örnek: Kenarları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgenin çevresi 2×(6+9)=30 cm'dir.
• Üçgenin alanı = (taban × yükseklik) / 2 formülüyle hesaplanır. Örnek: tabanı 10 cm, yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı (10×6)/2=30 cm²'dir. Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir; tepe açısı = 180 − 2×(taban açısı). Örnek: taban açısı 70° olan ikizkenar üçgende tepe açısı = 180−2×70=40°'dir.
• Yamuğun alanı = ((taban1+taban2)/2) × yükseklik formülüyle bulunur. Örnek: taban uzunlukları 8 cm ve 12 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı = ((8+12)/2)×5 = 10×5=50 cm². Paralelkenarın alanı = taban × yükseklik'tir (dikdörtgenle aynı mantık, çünkü paralelkenar 'eğilmiş dikdörtgen' gibi düşünülebilir). Çemberin çevresi = 2×π×yarıçap formülüyle hesaplanır; π yaklaşık 22/7 veya 3,14 alınır.
• Pisagor teoremi, dik üçgenlerde kullanılan temel bir kuraldır: dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki en uzun kenar) karesine eşittir: a²+b²=c². En sık kullanılan Pisagor üçlüsü 3-4-5'tir: 3²+4²=9+16=25=5². Hacim ise üç boyutlu cisimlerin kapladığı uzaydır; dikdörtgenler prizmasının hacmi = en × boy × yükseklik'tir.
• Çemberin alanı = π × yarıçap² formülüyle hesaplanır (çevre formülüyle karıştırılmamalıdır: çevrede yarıçapın 1. kuvveti, alanda 2. kuvveti kullanılır). Örnek: yarıçapı 7 cm olan bir çemberin alanı, π=22/7 alınarak (22/7)×7²=(22/7)×49=22×7=154 cm²'dir. Açı türleri de sık karşılaşılan bir konudur: 90°'den küçük açılara dar açı, 90°'ye eşit açıya dik açı, 90°'den büyük 180°'den küçük açılara geniş açı denir. İki açının toplamı 90° ise bu açılara tümler açı, toplamı 180° ise bütünler açı denir.
• Üç boyutlu cisimlerde hacmin yanında yüzey alanı da hesaplanabilir: dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı = 2×(en×boy + boy×yükseklik + yükseklik×en) formülüyle, kenar uzunluğu a olan küpün hacmi = a³ ve yüzey alanı = 6×a² formülüyle bulunur (küpün 6 eş kare yüzeyi olduğu için). Örnek: bir kenarı 4 cm olan küpün hacmi 4³=64 cm³, yüzey alanı 6×4²=96 cm²'dir.
• Alan ve çevre hesaplarında en sık yapılan hata, farklı birimlerle (örneğin bir kenar cm, diğeri m cinsinden verilmişken) doğrudan işlem yapmaktır; işleme başlamadan önce TÜM uzunluklar aynı birime çevrilmelidir. Ayrıca bir dörtgenin iç açıları toplamının her zaman 360° olduğu (üçgenin 180° olmasının iki katı, çünkü her dörtgen bir köşegenle iki üçgene ayrılabilir) unutulmamalıdır; bu kural kare, dikdörtgen, yamuk, paralelkenar gibi tüm dörtgenler için geçerlidir.

Anahtar Noktalar

• Dikdörtgen çevresi=2×(a+b), alanı=a×b; Kare çevresi=4×a, alanı=a²
• Üçgen alanı = (taban × yükseklik) / 2
• Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir
• İkizkenar üçgende taban açıları eşittir, tepe açısı=180−2×taban açısı
• Yamuk alanı = ((taban1+taban2)/2) × yükseklik
• Paralelkenar alanı = taban × yükseklik
• Çember çevresi = 2×π×yarıçap (π≈22/7 veya 3,14)
• Pisagor teoremi: a²+b²=c² (sadece dik üçgende geçerli); 3-4-5 en bilinen üçlü
• Çember alanı = π × yarıçap² (çevre formülünden farklı, yarıçap karesi kullanılır)
• Dar açı<90°, dik açı=90°, geniş açı 90°-180° arası; tümler açı toplamı 90°, bütünler açı toplamı 180°
• Her dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir (iki üçgene bölünebildiği için 2×180°)
• Küp hacmi = a³, yüzey alanı = 6×a²; prizma yüzey alanı = 2×(en×boy+boy×yük+yük×en)
• Hesaba başlamadan önce tüm uzunluk birimleri (cm, m vb.) eşitlenmelidir

Konu Özeti

• Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Örnek: 5 öğrencinin notları 60, 70, 80, 90, 100 ise ortalama = (60+70+80+90+100)/5 = 400/5 = 80. Ağırlıklı ortalama ise her değerin ağırlığıyla (frekansıyla) çarpılıp toplamının toplam frekansa bölünmesiyle elde edilir: 3 kez 60, 2 kez 80 ve 1 kez 100 alınan notların ağırlıklı ortalaması = (3×60 + 2×80 + 1×100)/(3+2+1) = (180+160+100)/6 = 440/6 ≈ 73,3.
• Ortanca (medyan), veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada yer alan değerdir. Tek sayıda veri varsa ortanca doğrudan ortadaki değerdir; çift sayıda veri varsa ortanca, ortadaki iki değerin aritmetik ortalamasıdır. Örnek: 3, 5, 7, 9, 11 serisi için ortanca = 7 (3. değer); 3, 5, 7, 9 serisi için ortanca = (5+7)/2 = 6. Mod (tepe değeri) ise serinin en çok tekrarlanan değeridir. Birden fazla mod olabilir (çift modlu seri); hiçbir değer tekrarlanmıyorsa mod yoktur.
• Frekans tablosu, veri gruplarını ve her grubun kaç kez tekrarlandığını (frekansını) gösteren tablodur. Göreli frekans = o grubun frekansı / toplam frekans şeklinde hesaplanır ve yüzde olarak da ifade edilebilir. Kümülatif frekans, belirli bir değere kadar olan toplam frekanstır.
• Grafik yorumlama: Sütun grafikleri miktarları, çizgi grafikleri değişim eğilimini, pasta grafikleri oranları gösterir. Bir pasta grafiğinde bir dilimin açısı = (o dilimin değeri / toplam değer) × 360°. Okuma yanlışlıklarına dikkat: grafiklerde eksen başlangıcının 0'dan değil farklı bir değerden başlaması, görsel yanıltmaya yol açabilir.
• Açıklık (ranj/range), bir veri setinin en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farktır ve verinin ne kadar yayıldığını gösteren en basit ölçüdür: Açıklık = en büyük değer − en küçük değer. Örnek: 60, 70, 80, 90, 100 verisinde açıklık 100−60=40'tır. Açıklık, uç (aşırı) değerlere çok duyarlıdır; tek bir aşırı değer açıklığı büyük ölçüde değiştirebilir.
• Ortalamanın aşırı (uç) değerlerden nasıl etkilendiğine dair somut bir örnek: 60, 70, 80, 90, 100 verisinin ortalaması 80'dir; ancak son değer 100 yerine 900 olsaydı ortalama (60+70+80+90+900)/5=1200/5=240 olurdu — tek bir aşırı değer ortalamayı büyük ölçüde saptırmıştır. Oysa aynı veri setinde ortanca (medyan) yine 80 olarak kalır, çünkü ortanca yalnızca sıralamadaki konuma bakar, değerin büyüklüğüne değil. Bu yüzden uç değer içeren verilerde ortanca, ortalamadan daha güvenilir bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
• Mod ile ilgili özel durumlar dikkat gerektirir: bir veri setinde iki farklı değer eşit sıklıkta en çok tekrarlanıyorsa seri 'iki modlu' (bimodal) kabul edilir; hiçbir değer birden fazla tekrarlanmıyorsa serinin modu yoktur (mod her zaman var olmak zorunda değildir). Sütun grafiği ile histogram sık karıştırılır: sütun grafiği kategorik (birbirinden ayrık) verileri karşılaştırırken kullanılır ve sütunlar arasında boşluk bırakılır; histogram ise sürekli sayısal verinin belirli aralıklara (sınıflara) göre dağılımını gösterir ve sütunlar bitişik çizilir.

Anahtar Noktalar

• Aritmetik ortalama = toplam / veri sayısı
• Ortanca: sıralı veride tam ortadaki değer; çift sayıda veride iki ortanın ortalaması
• Mod: en çok tekrarlanan değer; olmayabilir veya birden fazla olabilir
• Ağırlıklı ortalama = Σ(değer × frekans) / Σfrekans
• Pasta grafiğinde bir dilimin açısı = (dilim değeri / toplam) × 360°
• Göreli frekans = bir grubun frekansı / toplam frekans (0 ile 1 arasında)
• Kümülatif frekans = o değere kadar olan tüm frekansların toplamı
• Aritmetik ortalama aşırı değerlerden etkilenir; ortanca daha kararlıdır
• Açıklık (ranj) = en büyük değer − en küçük değer; aşırı değerlere çok duyarlıdır
• Bir seride birden fazla mod olabilir (bimodal) ya da hiç mod olmayabilir
• Sütun grafiği kategorik veriyi (sütunlar ayrık), histogram sürekli veriyi (sütunlar bitişik) gösterir

Konu Özeti

• Asal sayı, 1'den büyük ve yalnızca 1 ile kendisine tam bölünebilen doğal sayıdır. İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Dikkat: 1 asal sayı değildir. 2, tek çift asal sayıdır. 100'e kadar toplam 25 asal sayı vardır.
• Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, o sayının kareköküne kadar olan asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakılır. Örneğin 97'nin asal olduğunu kontrol etmek için √97 ≈ 9,8 olduğundan 2, 3, 5, 7'ye (9'a kadar olan asallar) bölünüp bölünmediğine bakılır. 97 bunların hiçbirine tam bölünmediğinden asaldır.
• Çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı olarak ifade etmektir. Yöntem: sayı sürekli en küçük asal sayıya bölünür. Örnek: 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 2 × 3 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Çarpan sayısı formülü: a^m × b^n biçimindeki bir sayının bölen sayısı = (m+1)(n+1) şeklinde hesaplanır.
• İki sayının EBOB ve EKOK'u çarpanlara ayırmayla kolayca bulunur. Asal çarpan ayrışımından birleşik sayı oluşturulabilir; asal olmayan sayılar 'bileşik sayı' olarak adlandırılır. Asal sayıların çarpımıyla her pozitif tam sayı temsil edilebilir (aritmetiğin temel teoremi).
• Eratosthenes kalburu, belirli bir sayıya kadar olan tüm asal sayıları bulmak için kullanılan klasik bir yöntemdir: 1 elenir (asal değildir), sonra 2 asal kabul edilip 2'nin tüm katları (4,6,8...) elenir, kalan en küçük elenmemiş sayı olan 3 asal kabul edilip onun katları elenir, bu işlem √n'e kadar devam eder; elenmeden kalan sayıların tamamı asaldır. Bu yöntem, büyük olmayan aralıklarda (örneğin 1-100 arası) asal sayıları hızlıca listelemek için pratiktir.
• KPSS'de sık düşülen bir tuzak, 'tek sayı olan her sayı asaldır' şeklindeki yanlış varsayımdır; oysa 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35 gibi birçok tek sayı asal DEĞİLDİR (bileşiktir). Örneğin 9=3×3, 15=3×5'tir. Asallık kontrolü her zaman gerçek bölünebilirlik testiyle (küçük asallara bölünüp bölünmediğine bakarak) yapılmalıdır, sayının tek ya da çift olması tek başına asallık göstergesi değildir (2 hariç).
• Bölen sayısı formülü üç veya daha fazla farklı asal çarpan içeren sayılar için de genelleşir: a^m × b^n × c^p biçimindeki bir sayının pozitif bölen sayısı (m+1)(n+1)(p+1) formülüyle hesaplanır. Örnek: 60 = 2²×3¹×5¹ sayısının bölen sayısı (2+1)(1+1)(1+1)=3×2×2=12'dir (gerçekten 60'ın 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 olmak üzere 12 pozitif böleni vardır). Bir sayının yalnızca 2 böleni (1 ve kendisi) varsa bu sayı asaldır; 1'in ise tek bir böleni (kendisi) vardır, bu yüzden 1 ne asal ne bileşiktir.

Anahtar Noktalar

• 1 asal değildir; en küçük asal sayı 2'dir
• 2, tek çift asal sayıdır; diğer tüm asallar tektir
• 100'e kadar 25 asal sayı vardır
• Asal olup olmadığı kontrol: √n'e kadar olan asallara bölünüp bölünmediğine bakılır
• Çarpanlara ayırma: sürekli en küçük asal bölenle böl (süzgeç yöntemi)
• a^m × b^n sayısının bölen sayısı = (m+1)(n+1)
• EBOB: asal çarpanlarda küçük üs; EKOK: asal çarpanlarda büyük üs
• Her bileşik sayı, asal çarpanların çarpımı olarak tek türlü yazılabilir (temel teorem)
• Eratosthenes kalburu: 2'den başlayarak her asalın katları elenir, elenmeyenler asaldır
• Her tek sayı asal değildir (9, 15, 21, 25, 27 gibi tek bileşik sayılar vardır)
• a^m×b^n×c^p sayısının bölen sayısı = (m+1)(n+1)(p+1)
• 1 sayısı ne asaldır ne bileşiktir; yalnızca kendisine bölünür