Temel Kavramlar, Sayı Basamakları ve Bölünebilme
(Asal Sayılar, Bölünebilme Kuralları, EBOB-EKOK, Basamak Analizi — İleri Seviye)
⚙️ Bu defterin matematik bölümü, konuyu zaten bilen ve hız/derinlik arayan adaylar için kalibre edilmiştir. Temel tanımlar hızlıca geçilecek, asıl ağırlık çok adımlı, birleştirilmiş (kombine) sorulara verilecektir. "Kolay" etiketi burada KPSS ortalamasına göre kolaydır, temelde her soru en az iki kavramı bir arada kullanır.
1. Konunun Mantığı
Bölünebilme ve sayı basamakları, sayısal bölümün İSKELET konusudur — EBOB-EKOK, denklemler, problemler gibi hemen her başlık bu temel üzerine kuruludur. KPSS'de bu başlıktan doğrudan gelen soru sayısı az görünse de (1-2), kuralları refleks hâline getirmemiş bir aday, diğer TÜM sayısal sorularda saniyeler kaybeder. ÖSYM'nin bu konudaki asıl sınadığı şey ezber değil, birden fazla kısıtı AYNI ANDA işletebilme becerisidir.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Asal sayı: 1'den büyük, sadece 1'e ve kendisine bölünen sayılar. 2, tek çift asaldır; 1 asal değildir.
Bölünebilme kuralları (mantığıyla):
| Bölen | Kural |
|---|---|
| 2 | Son basamak çift |
| 3 | Rakamlar toplamı 3'e bölünür |
| 4 | Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e bölünür |
| 5 | Son basamak 0 veya 5 |
| 6 | Hem 2 hem 3'e bölünür |
| 8 | Son üç basamak 8'e bölünür |
| 9 | Rakamlar toplamı 9'a bölünür |
| 11 | Sağdan +/- sırayla toplam 0 ya da 11'in katı |
EBOB × EKOK = a × b (iki sayı için). Altın tuzak: "Hem A'ya hem B'ye bölünüyorsa A×B'ye de bölünür" YANLIŞTIR — doğrusu EKOK(A,B)'ye bölünmesidir; A,B aralarında asalsa (ortak asal çarpanı yoksa) A×B = EKOK(A,B) olur, aksi hâlde olmaz.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- Ardışık $n$ tam sayının çarpımı her zaman $n!$'e bölünür (kombinasyon mantığı buradan gelir).
- $a^n - 1$ ifadesi her zaman $a-1$'e bölünür (geometrik seri özdeşliği: $a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+...+1)$).
- Bir sayının pozitif bölen sayısı: asal çarpanlara ayrılışı $p_1^{a_1}p_2^{a_2}...$ ise bölen sayısı $(a_1+1)(a_2+1)...$'dir.
- İki basamaklı bir sayı ile rakamları ters çevrilmiş hâli arasındaki fark her zaman 9'un katıdır: $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)$.
4. Ezber Teknikleri
Bölen sayısı formülü: "üsleri bir artır, çarp" — $72=2^3\cdot3^2$ → bölen sayısı $(3+1)(2+1)=12$.
Ters çevirme farkı = 9×(rakam farkı). $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)$; üç basamaklıda uç rakamlar farkı 99 katıdır.
5. Karşılaştırma Tabloları
| Kavram | Formül |
|---|---|
| EBOB | Ortak asal çarpanların EN KÜÇÜK üssü |
| EKOK | Tüm asal çarpanların EN BÜYÜK üssü |
| Bölen sayısı | $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$ |
| Pozitif bölenler toplamı | $\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\cdots$ |
6. Sınıflandırma Şeması
Çok kısıtlı bir sayı problemi gördüğünde: 1) En KISITLAYICI kuralı (genelde son basamak: 2/5/10) uygula, olası değerleri daralt → 2) Kalan kuralları (3/9 rakam toplamı) sırayla uygula → 3) EBOB/EKOK isteniyorsa asal çarpanlara ayır → 4) "Hem X hem Y" ifadesi geçiyorsa EKOK'a çevir, asla çarpma.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
"6'ya ve 10'a bölünen sayı 60'a da bölünür" YANLIŞ — EKOK(6,10)=30'dur, sadece 30'a bölünmesi garantidir.
4 ve 8 kuralı RAKAM TOPLAMINA değil, SON BASAMAKLARIN OLUŞTURDUĞU SAYIYA bakar; 3/9 kuralıyla karıştırılmasın.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de bu başlık genelde iki-üç kısıtın (bölünebilme + basamak toplamı + EBOB/EKOK) BİRLEŞTİRİLDİĞİ, tek başlığa indirgenmeyen kombine sorular olarak gelir; saf tanım sorusu neredeyse hiç çıkmaz.
9. Soru Çözüm Stratejileri
Bilinmeyen basamaklı sayı sorularında değişkeni izole et, en dar aralığı (genelde 0-9) tarayarak kısıtları sırayla ele; ilk kısıtı uygulamadan ikinciye geçme, gereksiz deneme sayısını katlar.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
$\overline{4x5y}$ dört basamaklı sayısı hem 9'a hem 5'e bölünüyor ve $x$'in alabileceği en büyük değer isteniyor. $y=0$ ise $x$ kaçtır?
A) 0 B) 3 C) 6 D) 9 E) 8
Çözüm: Rakamlar toplamı $4+x+5+0=9+x$, 9'a bölünmeli → $x\in\{0,9\}$; en büyük değer 9. Doğru cevap: D.
$120$ ve $180$ sayılarının EBOB'u kaçtır?
A) 20 B) 30 C) 60 D) 40 E) 12
Çözüm: $120=2^3\cdot3\cdot5$, $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ → EBOB $=2^2\cdot3\cdot5=60$. Doğru cevap: C.
72 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
Çözüm: $72=2^3\cdot3^2$ → $(3+1)(2+1)=12$. Doğru cevap: C.
Üç basamaklı $\overline{ab5}$ sayısı 11'e bölünüyor. $a=3$ ise $b$ kaçtır (11'e bölünme kuralına göre sağdan sıra ile $5-b+a$)?
A) 8 B) 6 C) 3 D) 0 E) 2
Çözüm: $5-b+3=8-b$ değeri 0 ya da 11'in katı olmalı; $0\le b\le9$ aralığında $8-b=0\Rightarrow b=8$. Doğru cevap: A.
$2^{10}$ ile $4^{6}$ sayılarından hangisi büyüktür?
A) $2^{10}$ B) $4^6$ C) Eşit D) Karşılaştırılamaz E) Hiçbiri
Çözüm: $4^6=2^{12}>2^{10}$. Doğru cevap: B.
15 ve 25'in EKOK'u kaçtır?
A) 50 B) 75 C) 100 D) 125 E) 150
Çözüm: $15=3\cdot5$, $25=5^2$ → EKOK $=3\cdot5^2=75$. Doğru cevap: B.
$\overline{7a4}$ üç basamaklı sayısı 4'e bölünüyorsa $a$ kaç farklı değer alır?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 10 E) 0
Çözüm: Son iki basamak $\overline{a4}$, 4'e bölünmeli: $a4$ değerleri 04,24,44,64,84 → 5 değer. Doğru cevap: C.
48 ile 60'ın EBOB'u × EKOK'u kaçtır?
A) 1440 B) 2880 C) 720 D) 960 E) 480
Çözüm: EBOB×EKOK$=a\cdot b=48\cdot60=2880$. Doğru cevap: B.
$n$ pozitif tam sayı olmak üzere $3^n$'in son rakamı 7 ise $n$ mod 4 kaçtır (3'ün kuvvetleri 3,9,7,1 döngüsü)?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Belirsiz
Çözüm: $3^1=3,3^2=9,3^3=27(7),3^4=81(1)$ döngüsü; son rakam 7 iken $n\equiv3\pmod4$. Doğru cevap: D.
$100!$ sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır (5'in kuvveti sayılır)?
A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 21
Çözüm: $\lfloor100/5\rfloor+\lfloor100/25\rfloor=20+4=24$. Doğru cevap: C.
🟡 Orta-Zor (11-20)
Bir sayı hem 12'ye hem 18'e bölünüyorsa kesinlikle hangi sayıya bölünür?
A) 216 B) 36 C) 6 D) 72 E) 108
Çözüm: EKOK(12,18): $12=2^2\cdot3$, $18=2\cdot3^2$ → EKOK$=2^2\cdot3^2=36$. Doğru cevap: B.
$\overline{2x3y}$ sayısı hem 3'e hem 8'e bölünüyor. $y$ çift olmalı (8 için); $y=4$ iken son üç basamak $\overline{x34}$'ün 8'e bölünmesi ve rakam toplamının 3'e bölünmesi koşuluyla $x$ kaçtır (tek çözüm)?
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Çözüm: $\overline{x34}$ 8'e bölünmeli: 134,334,534,734,934 içinde 8'e bölüneni ara: $934/8$ değil, $134/8$ değil... asıl kontrol: 8 için sadece son 3 basamağa bakılır; $x34$ formundan 8'e bölünen $x=7$ için $734=8\cdot91.75$ olmaz; deneyerek $x=5$: $534/8=66.75$ olmaz; $x=1$: $134/8=16.75$; $x=3$: $334/8=41.75$; $x=9$:$934/8=116.75$; hiçbiri tam bölünmüyor gibi göründüğünden $y=4$ yerine $y=6$ dene: $x36$ değerleri arasında $136/8=17$ tam! O hâlde $y=6,x=1$; rakam toplamı $2+1+3+6=12$, 3'e bölünür ✓. Doğru cevap: A.
Üç basamaklı en büyük sayı ile üç basamaklı en küçük sayının farkı hangi sayıya kesinlikle bölünür?
A) 899 B) 9 C) 100 D) 899'un tüm bölenlerine E) 7
Çözüm: $999-100=899=29\times31$; bu sayının tüm pozitif bölenlerine (1,29,31,899) bölünür. Doğru cevap: D.
$a$ ve $b$ aralarında asal iki pozitif tam sayı ve $a\cdot b=180$ ise $a+b$'nin alabileceği en küçük değer kaçtır ($a,b>1$)?
A) 17 B) 29 C) 41 D) 49 E) 13
Çözüm: $180=2^2\cdot3^2\cdot5$; aralarında asal çarpanlara bölünmeli, toplamı en küçültmek için birbirine en yakın çarpanları seç: $4\times45$(9+... aralarında asal değil), dene: $9\times20=180$, aralarında asal (9=3²,20=2²·5) ✓ toplam 29; $5\times36=180$ ama 36 ile 5 aralarında asal, toplam 41; $4\times45$ aralarında asal (4=2²,45=3²·5), toplam 49; en küçüğü 29. Doğru cevap: B.
$n$ ve $n+2$ ikiz asal olmak üzere $n>3$ ise $n+1$ kesinlikle hangi sayıya bölünür?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3
Çözüm: 3'ten büyük ikiz asallar arasındaki sayı her zaman 6'nın katıdır (asallar 6k±1 formundadır). Doğru cevap: C.
1'den 100'e kadar (100 dahil) kaç sayı hem 2 hem 3'e bölünmez (yani 6'nın katı değildir) VE aynı zamanda 5'in de katı değildir? (Yaklaşık/tam sayma sorusu — sadece 6'nın ve 5'in katlarını çıkarma mantığıyla)
A) 53 B) 60 C) 67 D) 73 E) 47
Çözüm: 6'nın katı: 16 tane, 5'in katı: 20 tane, ortak (30'un katı): 3 tane. İçerme-dışlama: $16+20-3=33$ sayı bu kümelerden en az birine ait; $100-33=67$ sayı hiçbirine ait değil. Doğru cevap: C.
$2^{100}$ sayısının birler basamağı kaçtır (2'nin kuvvetleri 2,4,8,6 döngüsü)?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0
Çözüm: Döngü uzunluğu 4; $100\mod4=0$ yani 4. kuvvete denk (döngünün son elemanı): $2^4=16\to6$. Doğru cevap: C.
$\overline{ab}$ iki basamaklı bir sayı, rakamları ters çevrildiğinde elde edilen $\overline{ba}$ sayısından 27 fazladır. $a-b$ kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 27
Çözüm: $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)=27\Rightarrow a-b=3$. Doğru cevap: C.
240 sayısının kaç tane çift pozitif böleni vardır ($240=2^4\cdot3\cdot5$)?
A) 15 B) 20 C) 16 D) 10 E) 12
Çözüm: Toplam bölen sayısı $(4+1)(1+1)(1+1)=20$; tek bölen sayısı ($2^0$ sabitken diğer üsler) $(1+1)(1+1)=4$; çift bölen $=20-4=16$. Doğru cevap: C.
$x$ pozitif tam sayı olmak üzere $\dfrac{x+7}{x-2}$ ifadesinin tam sayı olması için $x-2$ hangi sayının bir böleni olmalıdır?
A) 5 B) 7 C) 9 D) 2 E) 14
Çözüm: $\frac{x+7}{x-2}=\frac{(x-2)+9}{x-2}=1+\frac{9}{x-2}$; tam sayı olması için $x-2$, 9'un böleni olmalı. Doğru cevap: C.
🔴 Zor (21-30)
$n!$ ifadesinin 3'e bölünme kuvveti (Legendre formülü) $n=50$ için kaçtır?
A) 20 B) 22 C) 24 D) 16 E) 18
Çözüm: $\lfloor50/3\rfloor+\lfloor50/9\rfloor+\lfloor50/27\rfloor=16+5+1=22$. Doğru cevap: B.
$a,b,c$ pozitif tam sayılar, EBOB$(a,b)=6$, EBOB$(b,c)=10$ ise EBOB$(a,c)$ en fazla kaç olabilir (b'nin bu iki koşulu sağlayan en küçük değeri üzerinden)?
A) 2 B) 6 C) 10 D) 30 E) 60
Çözüm: $b$, 6'nın da 10'un da katı olmalı, en küçüğü EKOK(6,10)=30. $a$, 6'nın katı ama 30'un katı olmak zorunda değil (sadece EBOB(a,b)=6 olacak şekilde); benzer $c$ için. $a$ ve $c$'nin ortak çarpanı en fazla EBOB(6,10)=2 olabilir (6 ve 10'un ortak çarpanı 2'dir), çünkü $a$'nın 6 ile paylaştığı ve $c$'nin 10 ile paylaştığı ortaklık ancak 6 ile 10'un ortak çarpanı kadar örtüşebilir. Doğru cevap: A.
$\overline{abcabc}$ biçimindeki (6 basamaklı, ilk üç rakam tekrar eden) her sayı hangi sayıya kesinlikle bölünür?
A) 7 B) 11 C) 13 D) 1001 (=7×11×13) E) Hepsi
Çözüm: $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001=\overline{abc}\times7\times11\times13$; bu yüzden hem 7 hem 11 hem 13'e (dolayısıyla 1001'e) bölünür — en kapsayıcı doğru cevap 1001'dir ama aslında E de teknik olarak doğrudur; en spesifik/istenen cevap D'dir. Doğru cevap: D.
Pozitif tam sayı $n$ için $n^2+n$ ifadesi her zaman hangi sayıya bölünür?
A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6
Çözüm: $n^2+n=n(n+1)$, ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman 2'ye bölünür. Doğru cevap: C.
$2^n+1$ ifadesinin 3'e bölünmesi için $n$ hangi paritede olmalıdır?
A) n tek B) n çift C) n'in 3 katı D) Her zaman bölünür E) Hiçbir zaman bölünmez
Çözüm: $2\equiv-1\pmod3$, $2^n\equiv(-1)^n$; $n$ tekse $2^n\equiv-1\equiv2$, $2^n+1\equiv0\pmod3$ olur; $n$ tek olmalı. Doğru cevap: A.
Bir sayının 7'ye bölümünden kalan 3, 5'e bölümünden kalan 2'dir. Bu sayı 35 ile bölündüğünde alınabilecek en küçük pozitif kalan kaçtır (Çin Kalan Teoremi mantığıyla, en küçük pozitif çözüm)?
A) 17 B) 12 C) 22 D) 27 E) 32
Çözüm: $x\equiv3\pmod7$, $x\equiv2\pmod5$. 7'ye bölümü 3 kalanlılar: 3,10,17,24,31...; bunlardan 5'e bölümü 2 kalan olanı: 17 (17=5·3+2 ✓). Doğru cevap: A.
$3^{2024}$ sayısının 4'e bölümünden kalan kaçtır ($3\equiv-1\pmod4$)?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm: $3\equiv-1\pmod4$, $3^{2024}\equiv(-1)^{2024}=1\pmod4$. Doğru cevap: B.
EBOB$(a,b)=12$ ve $a\cdot b=864$ ise EKOK$(a,b)$ kaçtır?
A) 36 B) 72 C) 48 D) 60 E) 24
Çözüm: EBOB×EKOK$=a\cdot b\Rightarrow$ EKOK$=864/12=72$. Doğru cevap: B.
Dört basamaklı $\overline{9ab6}$ sayısı hem 4'e hem 9'a bölünüyor. $b$ çift olmalı (4 kuralı: $\overline{b6}$ 4'e bölünsün). $b6$ 4'e bölünen tek çift $b$ değeri için ($06,26,46,66,86$ içinden 4'e bölünenler: 06,26,46,66,86 → 4'e bölünenler: 08 yok, kontrol edelim: 06/4 hayır,26/4 hayır,46/4 hayır,66/4 hayır,86/4 hayır — hiçbiri! O yüzden 6 çift olsa da $\overline{b6}$'nın 4'e bölünmesi $b$ tek olsa da mümkün olabilir, çift kısıtı yanlış varsayım). Doğru yöntemle: $\overline{b6}$ değerleri 16,36,56,76,96 (b tek) 4'e bölünür mü? 16/4=4 ✓. O hâlde $b\in\{1,5,9\}$ (16,56,96 hepsi 4'e bölünür). Rakam toplamı $9+a+b+6=15+a+b$ 9'a bölünmeli. $b=1$ iken $a=2$ (15+2+1=18) tek çözüm mü? $a$ tek basamaklı olduğundan diğer $b$ değerleri için de kontrol gerekir ama soru $b=1$ verisiyle sınırlı düşünüldüğünde $a$ kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 8 D) 0 E) 11
Çözüm: $15+a+1=16+a$, 9'a bölünen en küçük uygun değer $a=2$ ($18/9=2$). Doğru cevap: A.
$N=2^a\cdot3^b$ biçimindeki bir sayının hem tam kare hem tam küp olması (yani 6. kuvvet olması) için $a$ ve $b$ nasıl olmalıdır?
A) İkisi de 6'nın katı olmalı B) İkisi de çift olmalı C) İkisi de tek olmalı D) Biri çift biri tek olmalı E) Hiçbir koşul gerekmez
Çözüm: Tam kare için üsler çift, tam küp için üsler 3'ün katı olmalı; ikisi birden için üsler HEM 2'nin HEM 3'ün katı, yani EKOK(2,3)=6'nın katı olmalıdır. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- $180$'in asal çarpanlarına ayrılışı nedir?
A) $2^2\cdot3^2\cdot5$ B) $2\cdot3^3\cdot5$ C) $2^3\cdot3\cdot5$ D) $2^2\cdot3\cdot5^2$ E) $2\cdot3^2\cdot5^2$ - EBOB$(84,126)$ kaçtır?
A) 21 B) 42 C) 14 D) 7 E) 63 - $n(n+1)(n+2)$ ifadesi her zaman hangi sayıya bölünür?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 - $5^{2025}$'in birler basamağı kaçtır?
A) 5 B) 1 C) 0 D) 25 E) belirsiz - 360'ın pozitif bölen sayısı kaçtır ($360=2^3\cdot3^2\cdot5$)?
A) 20 B) 24 C) 18 D) 30 E) 16 - $\overline{ab}-\overline{ba}=45$ ise $a-b$ kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 6 - Aralarında asal olmayan (ortak asal çarpanı olan) iki sayının EKOK'u ile çarpımları arasındaki ilişki nedir?
A) EKOK > çarpım B) EKOK < çarpım C) EKOK = çarpım D) İlişki yok E) Her zaman eşit - $7^{100}$'ün 3'e bölümünden kalan kaçtır ($7\equiv1\pmod3$)?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 100 - Üç basamaklı, rakamları farklı ve 5'e bölünen kaç sayı vardır (100-999 arası, son rakam 0 veya 5, ilk rakam 0 olamaz, rakamlar birbirinden farklı)?
A) 128 B) 136 C) 144 D) 152 E) 160 - $a\cdot b=EBOB(a,b)\cdot EKOK(a,b)$ özdeşliği hangi durumda $a=EBOB=EKOK=b$'ye indirgenir?
A) a=b olduğunda B) a,b aralarında asal olduğunda C) a=1 olduğunda D) Hiçbir zaman E) b=1 olduğunda - $n!$ içindeki 2'nin kuvveti $n=20$ için kaçtır?
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 10 - $120$ ile aralarında asal olan, $120$'den küçük pozitif tam sayı sayısı (Euler-phi mantığı) kaçtır? $120=2^3\cdot3\cdot5$
A) 32 B) 30 C) 36 D) 40 E) 24 - $x^2\equiv1\pmod8$ denklemini sağlayan $0\le x<8$ kaç değer vardır?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 - İki basamaklı kaç sayı hem 3'e hem 4'e bölünür (yani 12'nin katıdır)?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 - $N$ üç basamaklı bir sayı ve rakamları toplamı 24 ise $N$ kesinlikle hangi sayıya bölünür?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 - $2^{2024}+2^{2023}$ ifadesi $2^{2023}$ cinsinden nasıl sadeleşir?
A) $2^{2023}\cdot3$ B) $2^{4047}$ C) $2^{2024}$ D) $3^{2023}$ E) $2^{2025}$ - EBOB'u 8, EKOK'u 96 olan iki sayının çarpımı kaçtır?
A) 768 B) 384 C) 104 D) 12 E) 88 - $\overline{2a3}$ üç basamaklı sayı 3'e bölünüyorsa $a$ kaç farklı değer alabilir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 - Ardışık üç tek sayının toplamı her zaman hangi sayıya bölünür?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9 - $100$'e kadar (100 dahil) kaç asal sayı vardır?
A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29
12. Cevap Anahtarı
1. A — $180=4\cdot45=2^2\cdot3^2\cdot5$.
2. B — $84=2^2\cdot3\cdot7$, $126=2\cdot3^2\cdot7$ → EBOB$=2\cdot3\cdot7=42$.
3. C — Ardışık üç sayıdan biri 3'ün katı, en az biri çift → 6'ya bölünür.
4. A — 5'in kuvvetleri her zaman 5 ile biter.
5. B — $(3+1)(2+1)(1+1)=24$.
6. C — $9(a-b)=45\Rightarrow a-b=5$.
7. B — Ortak çarpan varsa EKOK, çarpımdan küçük olur (EBOB>1 olduğundan EBOB×EKOK=çarpım eşitliğinde EKOK=çarpım/EBOB<çarpım).
8. B — $7\equiv1\pmod3\Rightarrow7^{100}\equiv1$.
9. B — Detaylı sayma: son rakam 0 ise kalan 2 basamak 8×8=... standart kombinatorik sonucu 136'dır (ilk rakam 9 seçenek, ikinci 8, son 0/5 için ayrı hesap).
10. A — $a=b$ olduğunda EBOB=EKOK=a=b.
11. C — $\lfloor20/2\rfloor+\lfloor20/4\rfloor+\lfloor20/8\rfloor+\lfloor20/16\rfloor=10+5+2+1=18$.
12. A — Euler-phi: $120(1-\frac12)(1-\frac13)(1-\frac15)=120\cdot\frac12\cdot\frac23\cdot\frac45=32$.
13. B — $x\in\{1,3,5,7\}$ hepsi $x^2\equiv1\pmod8$ sağlar; 4 değer.
14. C — 12,24,36,48,60,72,84,96 → 8 tane.
15. B — Rakam toplamı 24, 3'e bölünür (9'a bölünmez çünkü 24, 9'un katı değil).
16. A — $2^{2023}(2+1)=3\cdot2^{2023}$.
17. A — EBOB×EKOK$=8\times96=768$.
18. B — $2+a+3=5+a$, 3'e bölünen $a$ değerleri: 1,4,7 → 3 değer.
19. B — Üç ardışık tek sayı: $n,n+2,n+4$ toplamı $3n+6=3(n+2)$; her zaman 3'e bölünür.
20. C — 1-100 arası 25 asal sayı vardır.
13. Ultra Özet
TEMEL KAVRAMLAR — TEK SAYFA
1. Bölünebilme: 2/5/10→son basamak, 3/9→rakam toplamı, 4/8→son 2/3 basamak, 11→sağdan +/- toplam.
2. EBOB=ortak asalların küçük üssü; EKOK=tüm asalların büyük üssü; EBOB×EKOK=a×b.
3. "Hem A hem B'ye bölünüyorsa A×B'ye bölünür" YANLIŞ — doğrusu EKOK(A,B).
4. Bölen sayısı formülü: üsleri 1 artır, çarp. $n!$ içindeki asal kuvveti: Legendre formülü ($\lfloor n/p\rfloor+\lfloor n/p^2\rfloor+...$).
5. $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)$; kalan aritmetiğinde (mod) döngüsel kalıpları (birler basamağı) kullan.
14. Son Gün Tekrarı
• EKOK tuzağına düşme: "hem...hem" = EKOK, çarpım değil.
• Legendre formülünü unutma: $n!$'deki p asalının kuvveti $=\sum\lfloor n/p^k\rfloor$.
• Birler basamağı sorularında kuvvet döngüsünü (genelde 4 uzunluklu) bul, mod al.
• Bölen sayısı: üsleri 1 artır çarp; tek/çift bölen ayrımında 2'nin üssünü izole et.