Oran-Orantı
(Doğru-Ters Orantı, Bileşik Orantı, Oran Zincirleri, Ortaklık Problemleri — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Oran-orantı, KPSS sayısal bölümünün en çok problem türüne (işçi-havuz, karışım, ortaklık, ölçek) altyapı sağlayan konudur. İleri seviyede asıl beceri, bir problemde DOĞRU orantı mı TERS orantı mı kurulacağını saniyeler içinde ayırt etmek ve BİLEŞİK (çok değişkenli) orantıları tek denklemde toplayabilmektir.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Doğru orantı: Biri artarken diğeri de artar, oranı ($x/y$) SABİTTİR.
Ters orantı: Biri artarken diğeri azalır, çarpımı ($x\cdot y$) SABİTTİR.
Bileşik orantı: Birden fazla değişken (işçi sayısı, gün, saat) aynı anda değişirken iş miktarı sabit kalıyorsa: $a_1\cdot b_1\cdot c_1=a_2\cdot b_2\cdot c_2$.
Oran zincirleri: $a:b=m:n$ ve $b:c=p:q$ verildiğinde, ORTAK olan $b$ değerini eşitleyerek $a:b:c$ üçlü oranı kurulur.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- Ortaklık (kâr paylaşım) problemlerinde süre de bir çarpan olarak orana dahil edilir: pay oranı $=$ (sermaye × süre).
- Ters orantılı paylaştırma, sayıların TERSLERİYLE doğru orantılı paylaştırma anlamına gelir: $n_1,n_2,n_3$'e ters orantılı paylaşım $=\frac1{n_1}:\frac1{n_2}:\frac1{n_3}$ oranında yapılır.
- $a$ doğru orantılı $b^2$ ile, $b$ ters orantılı $c$ ile gibi ZİNCİRLEME bağıntılarda, önce sabitleri (k değerlerini) bulup sonra istenen değeri hesapla.
4. Ezber Teknikleri
"İşçi artar, gün azalır" → TERS orantı (çarpım sabit). "Yol artar, süre artar (sabit hızda)" → DOĞRU orantı (oran sabit). Cümledeki fiili "birlikte mi büyüyor yoksa ters mi hareket ediyor" diye oku.
5. Karşılaştırma Tabloları
| Tür | Sabit Kalan | Örnek |
|---|---|---|
| Doğru orantı | $x/y$ | Yol-zaman (sabit hız) |
| Ters orantı | $x\cdot y$ | İşçi sayısı-gün sayısı |
| Bileşik orantı | Çarpımların tümü | İşçi×saat×gün |
6. Sınıflandırma Şeması
Oran problemi gördüğünde: 1) Değişkenler AYNI YÖNDE mi değişiyor (doğru) yoksa TERS YÖNDE mi (ters)? → 2) Birden fazla değişken varsa hepsini tek eşitlikte BİLEŞİK olarak yaz → 3) Zincirleme oran varsa ORTAK terimi eşitleyerek birleştir → 4) Paylaştırma problemiyse "ters orantılı paylaştırma = terslerin oranında doğru paylaştırma" kuralını uygula.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
"Ters orantılı paylaştırma" ifadesi görülünce sayıları DOĞRUDAN oran olarak kullanmak büyük hatadır; önce TERSLERİNİ almak, sonra bu tersleri doğru orantı gibi kullanmak gerekir.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de oran-orantı, işçi-havuz problemleri ve karışım/ortaklık problemleriyle iç içe, bileşik orantı gerektiren sorular olarak sıkça gelir.
9. Soru Çözüm Stratejileri
Bileşik orantı sorularında tüm değişkenleri bir tabloya yaz (işçi | gün | saat), hangisinin sabit iş miktarını temsil ettiğini belirle, iki durumun çarpımlarını eşitle.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
$\dfrac ab=\dfrac34$ ve $a+b=28$ ise $a$ kaçtır?
A) 12 B) 16 C) 9 D) 21 E) 15
Çözüm: $a=3k,b=4k$; $7k=28\Rightarrow k=4\Rightarrow a=12$. Doğru cevap: A.
$a:b:c=2:3:5$ ve $a+b+c=100$ ise $b$ kaçtır?
A) 20 B) 30 C) 50 D) 40 E) 25
Çözüm: $10k=100\Rightarrow k=10\Rightarrow b=30$. Doğru cevap: B.
$x$ ile $y$ doğru orantılı, $x=6$ iken $y=15$. $x=10$ iken $y$ kaçtır?
A) 20 B) 22 C) 25 D) 18 E) 30
Çözüm: Oran $=\frac{15}6=2,5$; $y=10\times2,5=25$. Doğru cevap: C.
$x$ ile $y$ ters orantılı, $x=4$ iken $y=9$. $x=6$ iken $y$ kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 12 D) 4 E) 9
Çözüm: $xy=36$ sabit; $y=36/6=6$. Doğru cevap: A.
$\dfrac a3=\dfrac b5=\dfrac c7$ ve $a+b+c=45$ ise $c$ kaçtır?
A) 15 B) 21 C) 18 D) 25 E) 9
Çözüm: $15k=45\Rightarrow k=3\Rightarrow c=21$. Doğru cevap: B.
12 işçi bir işi 8 günde bitiriyor. 16 işçi aynı işi kaç günde bitirir?
A) 6 B) 10 C) 8 D) 4 E) 12
Çözüm: $12\times8=16\times d\Rightarrow d=6$. Doğru cevap: A.
Bir haritada 1 cm gerçekte 50 km'yi temsil ediyor. Harita üzerinde 7 cm olan mesafe gerçekte kaç km'dir?
A) 350 B) 300 C) 400 D) 250 E) 500
Çözüm: $7\times50=350$. Doğru cevap: A.
$a:b=2:5$ ve $b:c=3:4$ ise $a:b:c$ nedir?
A) $6:15:20$ B) $2:5:4$ C) $6:20:15$ D) $2:15:20$ E) $8:15:20$
Çözüm: $b$'yi eşitle: $2:5=6:15$, $3:4=15:20$; $a:b:c=6:15:20$. Doğru cevap: A.
Doğru orantılı $a,b$ için $a=8,b=12$ iken oran $a:b$ nedir?
A) $2:3$ B) $3:2$ C) $1:2$ D) $3:4$ E) $4:3$
Çözüm: $8:12=2:3$. Doğru cevap: A.
%20 kârla satılan bir malın alış fiyatı 500 TL ise satış fiyatı kaçtır?
A) 520 B) 600 C) 550 D) 580 E) 650
Çözüm: $500\times1,2=600$. Doğru cevap: B.
🟡 Orta-Zor (11-20)
A bir işi tek başına 12 günde, B tek başına 18 günde bitiriyor. Birlikte çalışırlarsa kaç günde biter?
A) 7,2 B) 8 C) 6 D) 9 E) 7,5
Çözüm: $\frac1{12}+\frac1{18}=\frac3{36}+\frac2{36}=\frac5{36}$; gün $=\frac{36}5=7,2$. Doğru cevap: A.
$a:b:c=3:4:5$ ve $a+b+c=144$ ise $c-a$ kaçtır?
A) 24 B) 12 C) 36 D) 48 E) 18
Çözüm: $12k=144\Rightarrow k=12$; $c-a=2k=24$. Doğru cevap: A.
10 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyor. 12 işçi günde 5 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?
A) 15 B) 12 C) 18 D) 10 E) 20
Çözüm: $10\times6\times15=12\times5\times d\Rightarrow900=60d\Rightarrow d=15$. Doğru cevap: A.
Bir karışımda şeker:su oranı $2:7$'dir. Toplam karışım 45 kg ise şeker kaç kg'dır?
A) 10 B) 14 C) 9 D) 12 E) 15
Çözüm: $9k=45\Rightarrow k=5\Rightarrow$ şeker $=2\times5=10$. Doğru cevap: A.
Bir ortaklıkta A 3000 TL, B 5000 TL sermaye koyuyor. 1600 TL kâr sermaye oranında paylaşılırsa A'nın payı kaçtır?
A) 600 B) 500 C) 700 D) 800 E) 1000
Çözüm: Oran $3:5$, toplam 8 birim $=1600$, birim $=200$; A $=3\times200=600$. Doğru cevap: A.
$x$, $y^2$ ile doğru orantılı; $y=3$ iken $x=18$. $y=5$ iken $x$ kaçtır?
A) 50 B) 30 C) 45 D) 60 E) 40
Çözüm: $x=ky^2$; $18=9k\Rightarrow k=2$; $x=2\times25=50$. Doğru cevap: A.
Bir araç 90 km yolu 1,5 saatte alıyor. Aynı hızla 150 km yolu kaç saatte alır?
A) 2,5 B) 2 C) 3 D) 2,25 E) 2,75
Çözüm: Hız $=60$ km/s; süre $=150/60=2,5$. Doğru cevap: A.
$\dfrac ab=\dfrac57$ ve $b-a=18$ ise $a+b$ kaçtır?
A) 108 B) 90 C) 126 D) 72 E) 144
Çözüm: $a=5k,b=7k$; $2k=18\Rightarrow k=9$; $a+b=12k=108$. Doğru cevap: A.
$p$ ile $q$ ters orantılı, $p=15$ iken $q=8$. $q=24$ olması için $p$ kaç olmalıdır?
A) 5 B) 6 C) 4 D) 10 E) 3
Çözüm: $pq=120$ sabit; $p=120/24=5$. Doğru cevap: A.
Bir sınıftaki kız:erkek oranı $3:4$'tür. Sınıfa 6 kız daha katılırsa oran $1:1$ olacaktır. Sınıfın ilk mevcudu kaçtır?
A) 42 B) 35 C) 49 D) 28 E) 56
Çözüm: $3k+6=4k\Rightarrow k=6$; ilk mevcut $=7k=42$. Doğru cevap: A.
🔴 Zor (21-30)
8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyor. 10 işçi günde 4 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?
A) 18 B) 20 C) 16 D) 15 E) 24
Çözüm: $8\times6\times15=10\times4\times d\Rightarrow720=40d\Rightarrow d=18$. Doğru cevap: A.
1300 TL, 2, 3, 4 sayılarına TERS orantılı olarak paylaştırılıyor. En büyük pay kaçtır?
A) 600 B) 400 C) 300 D) 500 E) 700
Çözüm: Terslerin oranı $\frac12:\frac13:\frac14=6:4:3$ (ortak payda 12), toplam 13 birim; en büyük pay (2'nin tersi en büyük) $=\frac6{13}\times1300=600$. Doğru cevap: A.
Bir havuzu dolduran musluk 6 saatte, boşaltan musluk 9 saatte havuzu boşaltıyor. İkisi birlikte açılırsa (dolu havuz için boşaltan, boş havuz için dolduran çalışırken) havuz kaç saatte dolar?
A) 18 B) 15 C) 12 D) 21 E) 24
Çözüm: $\frac16-\frac19=\frac3{18}-\frac2{18}=\frac1{18}$; havuz $18$ saatte dolar. Doğru cevap: A.
$a:b=2:3$, $b:c=4:5$, $c:d=3:2$ ise $a:b:c:d$ nedir?
A) $8:12:15:10$ B) $2:3:4:5$ C) $8:12:5:10$ D) $6:12:15:10$ E) $8:12:15:6$
Çözüm: $a:b=2:3=8:12$; $b:c=4:5=12:15$; $c:d=3:2=15:10$; birleştirince $a:b:c:d=8:12:15:10$. Doğru cevap: A.
Bir sayının %60'ı, başka bir sayının %40'ına eşittir. Bu iki sayının oranı (birinci:ikinci) nedir?
A) $2:3$ B) $3:2$ C) $3:5$ D) $4:5$ E) $5:4$
Çözüm: $0,6a=0,4b\Rightarrow\frac ab=\frac{0,4}{0,6}=\frac23$. Doğru cevap: A.
$x$ ile $y$ ters orantılıdır. $x$ %25 artarsa $y$ yüzde kaç azalır?
A) %20 B) %25 C) %15 D) %30 E) %10
Çözüm: $x_{yeni}=1,25x$; $y_{yeni}=\frac{k}{1,25x}=0,8y$; azalma $=\%20$. Doğru cevap: A.
A ortağı 5 ay boyunca 4000 TL, B ortağı 8 ay boyunca 3000 TL sermaye ile ortaklık kuruyor. Kâr sermaye×süre oranında paylaşılıyor. Toplam kâr 2200 TL ise B'nin payı kaçtır?
A) 1200 B) 1000 C) 1100 D) 1300 E) 900
Çözüm: A:B oranı $=(4000\times5):(3000\times8)=20000:24000=5:6$; toplam 11 birim $=2200$, birim $=200$; B $=6\times200=1200$. Doğru cevap: A.
$a:b:c=3:4:5$ ve $a^2+b^2+c^2=50$ ise $a$ kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2
Çözüm: $k^2(9+16+25)=50\Rightarrow50k^2=50\Rightarrow k=1\Rightarrow a=3$. Doğru cevap: A.
900 TL, 3, 4, 6 sayılarına TERS orantılı paylaştırılıyor. En büyük pay kaçtır?
A) 400 B) 300 C) 200 D) 450 E) 350
Çözüm: Terslerin oranı $\frac13:\frac14:\frac16$; ortak payda 12: $4:3:2$, toplam 9 birim $=900$, birim $=100$; en büyük pay (3'ün tersi en büyük) $=4\times100=400$. Doğru cevap: A.
$a$, $b^2$ ile doğru orantılı; $b$, $c$ ile ters orantılıdır. $b=4,c=5$ iken $a=32$. $c=10$ olduğunda $a$ kaçtır?
A) 8 B) 16 C) 4 D) 10 E) 6
Çözüm: $b=k_2/c\Rightarrow4=k_2/5\Rightarrow k_2=20$; $a=k_1b^2\Rightarrow32=16k_1\Rightarrow k_1=2$; $c=10$ iken $b=20/10=2$; $a=2\times4=8$. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- $a/b=4/5$ ve $a+b=36$ ise $b$ kaçtır?
A) 20 B) 16 C) 24 D) 18 E) 25 - $a:b:c=1:2:3$ ve $a+b+c=42$ ise $c$ kaçtır?
A) 21 B) 14 C) 18 D) 24 E) 12 - Doğru orantılı $x=8,y=20$; $x=12$ iken $y$ kaçtır?
A) 30 B) 25 C) 28 D) 32 E) 24 - Ters orantılı $x=5,y=12$; $x=10$ iken $y$ kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 24 D) 4 E) 10 - $a/2=b/3=c/4$ ve $a+b+c=27$ ise $b$ kaçtır?
A) 9 B) 6 C) 12 D) 15 E) 8 - 15 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. 25 işçi kaç günde bitirir?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12 - Haritada 1 cm = 20 km. 8 cm gerçekte kaç km'dir?
A) 160 B) 140 C) 180 D) 120 E) 200 - $a:b=3:4$, $b:c=2:5$ ise $a:b:c$ nedir?
A) $6:8:20$ B) $3:4:5$ C) $6:8:10$ D) $3:8:20$ E) $6:4:20$ - Doğru orantılı $a=9,b=15$; oran $a:b$ nedir?
A) $3:5$ B) $5:3$ C) $2:3$ D) $3:4$ E) $1:2$ - %15 zam sonrası fiyatı 460 TL olan bir ürünün zamdan önceki fiyatı kaçtır?
A) 400 B) 420 C) 390 D) 410 E) 450 - A bir işi 15 günde, B 10 günde bitiriyor. Birlikte kaç günde bitirirler?
A) 6 B) 8 C) 5 D) 7 E) 12 - $a:b:c=2:5:7$ ve $a+b+c=112$ ise $c-a$ kaçtır?
A) 40 B) 35 C) 45 D) 30 E) 50 - 9 işçi günde 5 saat çalışarak bir işi 20 günde bitiriyor. 6 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirir?
A) 25 B) 20 C) 30 D) 15 E) 24 - Bir karışımda oran $3:5$'tir. Toplam 40 kg ise küçük bileşen kaç kg'dır?
A) 15 B) 10 C) 20 D) 12 E) 25 - A 2000 TL, B 3000 TL sermaye koyuyor; 1000 TL kâr sermaye oranında paylaşılırsa A'nın payı kaçtır?
A) 400 B) 500 C) 300 D) 600 E) 350 - $x=ky^2$, $y=2$ iken $x=12$; $y=4$ iken $x$ kaçtır?
A) 48 B) 24 C) 36 D) 60 E) 20 - Bir araç 120 km yolu 2 saatte alıyor. Aynı hızla 180 km yolu kaç saatte alır?
A) 3 B) 2,5 C) 3,5 D) 2,75 E) 4 - $a/b=3/8$ ve $b-a=25$ ise $a+b$ kaçtır?
A) 55 B) 50 C) 45 D) 60 E) 65 - Ters orantılı $p=10,q=6$; $q=15$ olması için $p$ kaç olmalıdır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 8 - Bir sınıftaki kız:erkek oranı $3:5$'tir. Sınıfa 4 kız katılırsa oran $1:1$ olacaktır. İlk mevcut kaçtır?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 12 E) 18
12. Cevap Anahtarı
1. A — $4k+5k=9k=36\Rightarrow k=4\Rightarrow b=20$.
2. A — $6k=42\Rightarrow k=7\Rightarrow c=21$.
3. A — Oran $20/8=2,5$; $y=12\times2,5=30$.
4. A — $xy=60$; $y=60/10=6$.
5. A — $9k=27\Rightarrow k=3\Rightarrow b=9$.
6. A — $15\times10=25\times d\Rightarrow d=6$.
7. A — $8\times20=160$.
8. A — $3:4=6:8$, $2:5=8:20$; $a:b:c=6:8:20$.
9. A — $9:15=3:5$.
10. A — $460/1,15=400$.
11. A — $\frac1{15}+\frac1{10}=\frac2{30}+\frac3{30}=\frac5{30}=\frac16$; 6 gün.
12. A — $14k=112\Rightarrow k=8$; $c-a=5k=40$.
13. A — $9\times5\times20=6\times6\times d\Rightarrow900=36d\Rightarrow d=25$.
14. A — $8k=40\Rightarrow k=5$; küçük $=3\times5=15$.
15. A — Oran $2:3$, toplam 5 birim $=1000$, birim $=200$; A $=400$.
16. A — $12=4k\Rightarrow k=3$; $x=3\times16=48$.
17. A — Hız $=60$; süre $=180/60=3$.
18. A — $a=3k,b=8k$; $5k=25\Rightarrow k=5$; $a+b=11k=55$.
19. A — $pq=60$; $p=60/15=4$.
20. A — $3k+4=5k\Rightarrow2k=4\Rightarrow k=2$; ilk mevcut $=(3+5)k=16$.
13. Ultra Özet
ORAN-ORANTI — TEK SAYFA
1. Doğru orantı: oran ($x/y$) sabit. Ters orantı: çarpım ($xy$) sabit.
2. Bileşik orantı: tüm çarpanları (işçi×gün×saat) iki durum için eşitle.
3. Zincirleme oran: ortak terimi EŞİTLEYEREK birleştir.
4. Ters orantılı paylaştırma = TERSLERİN oranında doğru paylaştırma.
5. Ortaklık kârı: sermaye×süre oranında paylaşılır.
14. Son Gün Tekrarı
• Doğru orantı = oran sabit; ters orantı = çarpım sabit.
• Bileşik orantıda tüm çarpanları tabloya yaz, çarpımları eşitle.
• "Ters orantılı paylaştır" görünce önce TERSİNİ al.
• Ortaklıkta süre de sermaye gibi bir çarpandır.