Kesir ve Yaş Problemleri
(Kesir Denklemleri, Havuz-Kapasite Problemleri, Yaş İlişkileri, Geçmiş-Gelecek Sistemleri — İleri Seviye)
1. Konunun Mantığı
Kesir problemleri "bütünün parçası" mantığıyla, yaş problemleri ise ZAMAN kaydırmalı (geçmiş/gelecek) sistem kurma becerisiyle çözülür. İleri seviyede asıl zorluk, yaş problemlerinde İKİ FARKLI zaman noktasından (geçmiş VE gelecek) iki denklem kurup SİSTEM çözmektir.
2. Sıfırdan Tam Konu Anlatımı
Kesir problemleri: "Bir sayının $k/n$'i $m$'dir" → $x\cdot\frac kn=m$. Kapasitenin bir kısmı biliniyorsa, KALAN kesri bulup orantı kur.
Yaş problemleri: Bugünkü yaşları $B,O$ olsun. "$t$ yıl önce" $\to B-t,O-t$; "$t$ yıl sonra" $\to B+t,O+t$. Her koşulu ayrı denklem yap, SİSTEM çöz.
3. İleri Düzey Ayrıntılar
- İki kişinin YAŞ FARKI zamanla DEĞİŞMEZ; bu, birçok yaş probleminde en hızlı kısayoldur.
- Kesirli işlemlerde "paya X eklenip paydadan Y çıkarılırsa kesir 1 olur" türü sorularda $b-a=X+Y$ eşitliği kilit noktadır.
- Havuz/musluk problemleri iş-zaman mantığıyla (birim zamanda doldurulan kesir) çözülür; bu, Konu 7'deki (Oran-Orantı) bileşik orantı tekniğiyle birebir örtüşür.
4. Ezber Teknikleri
Yaş farkı SABİTTİR — her zaman kontrol için kullan: "Baba-oğul yaş farkı hem bugün hem 10 yıl önce hem 10 yıl sonra AYNIDIR."
5. Karşılaştırma Tabloları
| İfade | Anlamı |
|---|---|
| $t$ yıl önce | Yaş $-t$ |
| $t$ yıl sonra | Yaş $+t$ |
| Yaş farkı | Zamanla değişmez |
6. Sınıflandırma Şeması
Yaş problemi gördüğünde: 1) Bugünkü yaşları değişken olarak tanımla → 2) Her zaman ifadesini (önce/sonra) o değişkenler cinsinden yaz → 3) Cümledeki koşulları denklemlere çevir → 4) Sistemi çöz, YAŞ FARKI ile kontrol et.
7. En Çok Karıştırılan Noktalar
"$t$ yıl önce" ile "$t$ yıl sonra" işaretlerini karıştırmak en sık yapılan hatadır; her zaman BUGÜNÜ referans alıp yönü (geçmiş: çıkar, gelecek: ekle) net biçimde belirle.
8. ÖSYM Analizi
KPSS'de yaş problemleri genelde İKİ zaman koşulu (hem geçmiş hem gelecek) içeren, sistem kurmayı gerektiren sorular olarak gelir; kesir problemleri ise havuz/kapasite senaryolarıyla iç içedir.
9. Soru Çözüm Stratejileri
Yaş probleminde bulduğun sonucu MUTLAKA yaş farkıyla çapraz kontrol et; farkın hem başta hem sonda aynı çıkması, çözümün doğruluğunu hızlı biçimde teyit eder.
10. Çözümlü Örnek Sorular (30 Soru — Yükseltilmiş Zorluk)
🟢 Orta-Kolay (1-10)
Bir sayının $\frac25$'i 20'dir. Sayı kaçtır?
A) 50 B) 40 C) 45 D) 55 E) 60
Çözüm: $x\times\frac25=20\Rightarrow x=50$. Doğru cevap: A.
Bir havuzun $\frac38$'i doludur. 45 litre daha eklenince tam doluyor. Havuzun kapasitesi kaç litredir?
A) 72 B) 64 C) 80 D) 56 E) 90
Çözüm: Kalan kesir $\frac58=45\Rightarrow$ kapasite $=45\times\frac85=72$. Doğru cevap: A.
Ali'nin yaşı, Veli'nin yaşının 2 katıdır. Yaşları toplamı 36 ise Ali kaç yaşındadır?
A) 24 B) 18 C) 20 D) 22 E) 26
Çözüm: $V+2V=36\Rightarrow V=12$; Ali $=24$. Doğru cevap: A.
Bir sınıfın $\frac34$'ü kızdır. Kız öğrenci sayısı 24 ise sınıf mevcudu kaçtır?
A) 32 B) 28 C) 30 D) 36 E) 26
Çözüm: $x\times\frac34=24\Rightarrow x=32$. Doğru cevap: A.
Ayşe bugün 15 yaşındadır. 5 yıl sonra kaç yaşında olur?
A) 20 B) 18 C) 22 D) 25 E) 19
Çözüm: $15+5=20$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin pay ve paydasının toplamı 20'dir; kesir $\frac23$'e eşittir. Payı kaçtır?
A) 8 B) 12 C) 6 D) 10 E) 9
Çözüm: $2k+3k=20\Rightarrow k=4$; pay $=8$. Doğru cevap: A.
Baba, oğlundan 24 yaş büyüktür. Baba bugün 40 yaşında ise oğul kaç yaşındadır?
A) 16 B) 14 C) 18 D) 20 E) 12
Çözüm: $40-24=16$. Doğru cevap: A.
$\frac35$'i 30 olan sayı kaçtır?
A) 50 B) 45 C) 55 D) 40 E) 60
Çözüm: $x=30\times\frac53=50$. Doğru cevap: A.
Bir kitabın $\frac27$'si okunmuş, kalan 100 sayfa ise kitap toplam kaç sayfadır?
A) 140 B) 120 C) 150 D) 130 E) 160
Çözüm: Kalan kesir $\frac57=100\Rightarrow$ toplam $=140$. Doğru cevap: A.
Ahmet'in yaşı, kardeşinin yaşının 3 katıdır. Kardeş 6 yaşında ise Ahmet kaç yaşındadır?
A) 18 B) 15 C) 21 D) 12 E) 24
Çözüm: $3\times6=18$. Doğru cevap: A.
🟡 Orta-Zor (11-20)
Bir havuzun $\frac23$'ü dolu iken 20 litre boşaltılıyor, havuz $\frac12$ dolu kalıyor. Havuzun kapasitesi kaç litredir?
A) 120 B) 100 C) 140 D) 90 E) 150
Çözüm: $(\frac23-\frac12)V=20\Rightarrow\frac16V=20\Rightarrow V=120$. Doğru cevap: A.
Bugün baba 50, oğul 20 yaşındadır. Kaç yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıydı?
A) 10 B) 8 C) 12 D) 15 E) 6
Çözüm: $50-x=4(20-x)\Rightarrow50-x=80-4x\Rightarrow3x=30\Rightarrow x=10$. Doğru cevap: A.
$\dfrac5{11}$ kesrinin payına 3 eklenip paydasından 3 çıkarılırsa sonuç kaçtır?
A) 1 B) 2 C) $\frac12$ D) $\frac23$ E) $\frac8{11}$
Çözüm: $\frac{5+3}{11-3}=\frac88=1$. Doğru cevap: A.
10 yıl sonra Ali'nin yaşı, bugünkü yaşının 2 katı olacaktır. Ali bugün kaç yaşındadır?
A) 10 B) 8 C) 12 D) 15 E) 20
Çözüm: $x+10=2x\Rightarrow x=10$. Doğru cevap: A.
Bir sınıfta erkek/kız oranı $\frac57$'dir. Toplam öğrenci 48 ise kız öğrenci sayısı kaçtır?
A) 28 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36
Çözüm: $5k+7k=48\Rightarrow k=4$; kız $=28$. Doğru cevap: A.
Ayşe'nin yaşı kardeşinin yaşının 2 katından 3 fazladır. Toplam yaşları 33 ise kardeşin yaşı kaçtır?
A) 10 B) 8 C) 12 D) 9 E) 11
Çözüm: $2k+3+k=33\Rightarrow3k=30\Rightarrow k=10$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin payı ile paydası toplamı 14'tür; payda, paydan 2 fazladır. Paya 1 eklenip paydadan 1 çıkarılırsa kesir 1 olur. Payı kaçtır?
A) 6 B) 7 C) 5 D) 8 E) 4
Çözüm: $a+(a+2)=14\Rightarrow a=6$; kontrol: $\frac{6+1}{8-1}=\frac77=1$ ✓. Doğru cevap: A.
4 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 5 katıydı; 4 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır. Bugün ikisinin yaş toplamı kaçtır?
A) 56 B) 52 C) 60 D) 48 E) 64
Çözüm: $B-4=5(O-4)\Rightarrow B=5O-16$; $B+4=3(O+4)\Rightarrow B=3O+8$; $5O-16=3O+8\Rightarrow O=12,B=44$; toplam $=56$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin payı, paydasının %60'ıdır. Pay ile payda toplamı 40 ise pay kaçtır?
A) 15 B) 12 C) 18 D) 20 E) 10
Çözüm: $0,6b+b=40\Rightarrow1,6b=40\Rightarrow b=25,a=15$. Doğru cevap: A.
Kardeşler A ve B'nin yaş toplamı 40'tır. A, B'den 8 yaş büyüktür. A kaç yaşındadır?
A) 24 B) 22 C) 26 D) 20 E) 28
Çözüm: $A=\frac{40+8}2=24$. Doğru cevap: A.
🔴 Zor (21-30)
Bir havuzu birinci musluk 4 saatte, ikinci musluk 6 saatte dolduruyor. İkisi birlikte açılıp 2 saat sonra ikinci musluk kapatılıyor. Havuzun tamamının doldurulması için birinci musluğun tek başına ek olarak kaç saat daha çalışması gerekir?
A) $\frac23$ saat B) 1 saat C) $\frac12$ saat D) $\frac34$ saat E) $\frac56$ saat
Çözüm: 2 saatte dolan $=2(\frac14+\frac16)=2\times\frac5{12}=\frac56$; kalan $=\frac16$; birinci musluk hızı $\frac14$; süre $=\frac{1/6}{1/4}=\frac23$ saat. Doğru cevap: A.
Bugün Ali'nin yaşı, Veli'nin yaşının 3 katıdır. 8 yıl sonra Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 2 katı olacaktır. Bugün Ali kaç yaşındadır?
A) 24 B) 20 C) 28 D) 18 E) 30
Çözüm: $A=3V$; $A+8=2(V+8)\Rightarrow3V+8=2V+16\Rightarrow V=8,A=24$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin payı 2 katına, paydası 1,5 katına çıkarılırsa yeni kesir eski kesrin kaç katı olur?
A) $\frac43$ katı B) $\frac34$ katı C) 2 katı D) $\frac32$ katı E) 1 katı (değişmez)
Çözüm: $\dfrac{2a}{1,5b}=\dfrac43\times\dfrac ab$. Doğru cevap: A.
6 yıl önce babanın yaşı oğlunun yaşının 7 katıydı. Bugün babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katıdır. Bugün baba kaç yaşındadır?
A) 27 B) 24 C) 30 D) 21 E) 33
Çözüm: $B=3O$; $B-6=7(O-6)\Rightarrow3O-6=7O-42\Rightarrow4O=36\Rightarrow O=9,B=27$. Doğru cevap: A.
Bir sayının $\frac34$'ünün $\frac25$'i 24'tür. Sayı kaçtır?
A) 80 B) 60 C) 100 D) 90 E) 70
Çözüm: $x\times\frac34\times\frac25=24\Rightarrow x\times\frac3{10}=24\Rightarrow x=80$. Doğru cevap: A.
A, B, C üç kardeşin yaşları oranı $2:3:4$'tür, toplamları 45'tir. En büyüğü kaç yaşındadır?
A) 20 B) 15 C) 18 D) 25 E) 22
Çözüm: $9k=45\Rightarrow k=5$; en büyük $=4\times5=20$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin payı ile paydası arasındaki fark 12'dir; kesir $\frac37$'ye eşittir. Payı kaçtır?
A) 9 B) 12 C) 15 D) 6 E) 21
Çözüm: $a=3k,b=7k$; $b-a=4k=12\Rightarrow k=3$; pay $=9$. Doğru cevap: A.
Bugün bir baba ile oğlunun yaş toplamı 50'dir. 10 yıl önce babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katıydı. Bugün baba kaç yaşındadır?
A) 34 B) 32 C) 36 D) 30 E) 38
Çözüm: $B+O=50$; $B-10=4(O-10)\Rightarrow B=4O-30$; $4O-30+O=50\Rightarrow5O=80\Rightarrow O=16,B=34$. Doğru cevap: A.
Bir kesrin karesi $\dfrac49$'dur. Kesir pozitif ise kesrin kendisi kaçtır?
A) $\frac23$ B) $\frac49$ C) $\frac43$ D) $\frac89$ E) $\frac13$
Çözüm: $\sqrt{4/9}=\frac23$. Doğru cevap: A.
Üç kardeşin yaşları toplamı 60'tır; en büyüğü ortancadan 5, ortanca en küçükten 5 fazladır. En küçüğün yaşı kaçtır?
A) 15 B) 10 C) 20 D) 12 E) 18
Çözüm: Küçük $=x$, ortanca $=x+5$, büyük $=x+10$; $3x+15=60\Rightarrow x=15$. Doğru cevap: A.
11. Mini Deneme (20 Soru — Yüksek Zorluk)
- Bir sayının $\frac37$'si 21'dir. Sayı kaçtır?
A) 49 B) 42 C) 56 D) 45 E) 63 - Bir havuzun $\frac14$'ü dolu, 30 litre eklenince tam doluyor. Kapasite kaçtır?
A) 40 B) 35 C) 45 D) 50 E) 38 - Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 3 katı, toplamları 40 ise Ali kaç yaşındadır?
A) 30 B) 25 C) 28 D) 32 E) 27 - Bir sınıfın $\frac25$'i erkektir. Erkek sayısı 12 ise sınıf mevcudu kaçtır?
A) 30 B) 28 C) 25 D) 32 E) 24 - Bugün 12 yaşında olan biri 8 yıl sonra kaç yaşında olur?
A) 20 B) 18 C) 22 D) 16 E) 24 - Bir kesrin pay-payda toplamı 24, kesir $\frac13$'e eşittir. Payı kaçtır?
A) 6 B) 8 C) 4 D) 12 E) 9 - Baba oğuldan 30 yaş büyük, baba 50 ise oğul kaç yaşındadır?
A) 20 B) 18 C) 22 D) 15 E) 25 - $\frac49$'u 36 olan sayı kaçtır?
A) 81 B) 72 C) 90 D) 63 E) 99 - Bir kitabın $\frac38$'i okunmuş, kalan 100 sayfa ise kitap kaç sayfadır?
A) 160 B) 150 C) 140 D) 170 E) 130 - Mehmet'in yaşı kardeşinin yaşının 4 katı, kardeş 5 yaşında ise Mehmet kaç yaşındadır?
A) 20 B) 18 C) 22 D) 16 E) 24 - Bir havuzun $\frac34$'ü dolu iken 10 litre boşaltılıyor, havuz $\frac12$ dolu kalıyor. Kapasite kaçtır?
A) 40 B) 35 C) 45 D) 30 E) 50 - Bugün baba 40, oğul 10 yaşındadır. Kaç yıl önce baba yaşı oğul yaşının 7 katıydı?
A) 5 B) 4 C) 6 D) 3 E) 7 - $\frac7{15}$ kesrinin payına 3 eklenip paydasından 3 çıkarılırsa sonuç kaç olur?
A) $\frac56$ B) $\frac23$ C) 1 D) $\frac34$ E) $\frac45$ - 6 yıl sonra Elif'in yaşı bugünkü yaşının 2 katı olacaktır. Elif bugün kaç yaşındadır?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12 - Bir sınıfta erkek/kız oranı $\frac35$'tir, toplam 40 öğrenci var. Kız sayısı kaçtır?
A) 25 B) 20 C) 15 D) 30 E) 22 - Zeynep'in yaşı kardeşinin yaşının 2 katından 5 fazladır. Toplam yaşları 35'tir. Kardeşin yaşı kaçtır?
A) 10 B) 8 C) 12 D) 9 E) 11 - Bir kesrin paydası payından 3 fazladır. Paya 1 eklenip paydadan 1 çıkarılırsa kesir 1 olur; pay ile payda toplamı 11'dir. Payı kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2 - 4 yıl önce baba yaşı oğul yaşının 8 katıydı; 4 yıl sonra baba yaşı oğul yaşının 4 katı olacak. Bugün toplam yaşları kaçtır?
A) 62 B) 58 C) 66 D) 54 E) 70 - Bir kesrin payı, paydasının %75'idir. Pay ile payda toplamı 35 ise pay kaçtır?
A) 15 B) 12 C) 18 D) 20 E) 10 - Üç kardeşin yaş toplamı 48'dir; en büyük ortancadan 4, ortanca küçükten 4 fazladır. En küçüğün yaşı kaçtır?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 8 E) 16
12. Cevap Anahtarı
1. A — $x=21\times7/3=49$.
2. A — Kalan $\frac34=30\Rightarrow V=40$.
3. A — $V+3V=40\Rightarrow V=10$; Ali $=30$.
4. A — $x\times\frac25=12\Rightarrow x=30$.
5. A — $12+8=20$.
6. A — $k+3k=24\Rightarrow k=6$; pay $=6$.
7. A — $50-30=20$.
8. A — $x=36\times9/4=81$.
9. A — Kalan $\frac58=100\Rightarrow$ toplam $=160$.
10. A — $4\times5=20$.
11. A — $(\frac34-\frac12)V=10\Rightarrow\frac14V=10\Rightarrow V=40$.
12. A — $40-x=7(10-x)\Rightarrow40-x=70-7x\Rightarrow6x=30\Rightarrow x=5$.
13. A — $\frac{10}{12}=\frac56$.
14. A — $x+6=2x\Rightarrow x=6$.
15. A — $3k+5k=40\Rightarrow k=5$; kız $=25$.
16. A — $2k+5+k=35\Rightarrow k=10$.
17. A — $a+(a+3)=11\Rightarrow a=4$.
18. A — $B-4=8(O-4)\Rightarrow B=8O-28$; $B+4=4(O+4)\Rightarrow B=4O+12$; $8O-28=4O+12\Rightarrow O=10,B=52$; toplam $=62$.
19. A — $0,75b+b=35\Rightarrow1,75b=35\Rightarrow b=20,a=15$.
20. A — $3x+12=48\Rightarrow x=12$.
13. Ultra Özet
KESİR VE YAŞ PROBLEMLERİ — TEK SAYFA
1. Kesir problemi: "$x$'in $k/n$'i $m$" → $x\cdot(k/n)=m$; kalan kesri bulup orantı kur.
2. Yaş problemi: bugünkü yaşları değişken al; "$t$ yıl önce" $\to-t$, "$t$ yıl sonra" $\to+t$.
3. Yaş farkı ZAMANLA DEĞİŞMEZ — sonuç kontrolü için kullan.
4. "Paya $X$ eklenip paydadan $Y$ çıkarılırsa kesir 1 olur" → $b-a=X+Y$.
5. Havuz/musluk problemleri, birim zamanda doldurulan/boşaltılan KESİR üzerinden çözülür.
14. Son Gün Tekrarı
• Yaş farkı sabittir, her zaman kontrol için kullan.
• "Önce" çıkar, "sonra" ekle — yönü karıştırma.
• Kesir problemlerinde kalan kesri bulup orantı kur.
• İki koşullu yaş problemlerinde MUTLAKA sistem (2 denklem) kur.