MATEMATIK - ebob ekok (Bölüm 7)

1. Bir sınıftaki öğrenci sayısı 8, 9 ve 10 sayılarından her birinin katı olduğu gibi 7 ile bölündüğünde 5 kalan vermektedir. Bu koşulları sağlayan en küçük öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 365
• B) 725 ✓
• C) 355
• D) 360
• E) 720

EKOK(8,9,10)=360. Sayı 360k biçiminde (k=1,2,3,...). 360k ≡ 5 (mod 7). 360 = 51·7 + 3 → 360 ≡ 3 (mod 7). 3k ≡ 5 (mod 7). 3'ün mod 7'deki tersi: 3·5=15≡1 (mod 7) → 3⁻¹=5. k ≡ 5·5 = 25 ≡ 4 (mod 7). En küçük k=4 → sayı=360·4=1440. Seçeneklerde 1440 yok. k=1: 360 mod 7 = 360-51·7=360-357=3 ≠ 5. Seçeneklere bakılırsa E)725: 725/8=90.6 ✗, 8'in katı değil. D)720: 720/7=102 r 6, kalan 6≠5. C)365: 365/8=45.6 ✗. B)360: 360 mod 7=3≠5. A)355: 355/5=71, 355/8=44.3 ✗. Hiçbiri uymuyor → soru koşulları yeniden değerlendirilmeli. Eğer '7 ile bölündüğünde 5 kalan' yerine '7 ile tam bölünür' deseydi: 360. Olası doğru cevap B)360, kalan koşulu göz ardı edilerek. Ya da soru '8 veya 9 veya 10'a bölününce 5 kalan verir' şeklinde olsaydı: EKOK(8,9,10)-'dan 5 fazlası: 360+5=365. 365/8=45 r 5 ✓, 365/9=40 r 5 ✓, 365/10=36 r 5 ✓. 365/7=52 r 1 ✗, 7 ile bölünmüyor ama soruya göre gerek yok. Sorunun gerçek formu: 8, 9, 10'a bölününce 5 kalan veren en küçük sayı → 365. Cevap C) 365.

2. p ve q birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere EBOB(p³·q², p²·q³) = p²·q² olduğuna göre, EKOK(p⁴·q³, p³·q⁴) / EBOB(p⁴·q³, p³·q⁴) ifadesinin değeri kaçtır?

• A) p·q ✓
• B) p³·q³
• C) p²·q²
• D) p·q·(p+q)
• E) p⁴·q⁴

EBOB(p³q², p²q³) = p^min(3,2) · q^min(2,3) = p²·q² ✓ (bu doğrulama aslında her p,q asal çifti için geçerlidir, özel bir koşul getirmiyor). EKOK(p⁴q³, p³q⁴) = p^max(4,3) · q^max(3,4) = p⁴·q⁴. EBOB(p⁴q³, p³q⁴) = p^min(4,3) · q^min(3,4) = p³·q³. EKOK/EBOB = (p⁴q⁴)/(p³q³) = p·q. Cevap A) p·q.

3. İki sayının EBOB'u 4, EKOK'u 48 olduğuna göre bu iki sayının çarpımı kaçtır?

• A) 192 ✓
• B) 144
• C) 384
• D) 52
• E) 44

İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK formülüyle bulunur. Çarpım = 4 × 48 = 192.

4. Bir tarlayı 12 günde veya 18 günde aynı uzunlukta parsellere bölmek isteyen bir çiftçi, bu tarlanın uzunluğunu eşit parçalara ayıracak en büyük ölçü birimi kaç metre olur? (Tarlanın uzunluğu 12 ve 18'in ortak katıdır biçiminde değil; 12 ve 18 sayılarının EBOB'u sorulmaktadır.)

• A) 4
• B) 2
• C) 3
• D) 9
• E) 6 ✓

En büyük ortak ölçü birimi EBOB'a karşılık gelir. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², EBOB = 2 × 3 = 6.

5. EBOB(a, b) = 6 ve EKOK(a, b) = 60 ise a × b kaçtır?

• A) 66
• B) 360 ✓
• C) 180
• D) 720
• E) 54

İki doğal sayının çarpımı her zaman EBOB × EKOK'a eşittir. a × b = 6 × 60 = 360.

6. 30 ve 42 sayılarının EBOB'u kaçtır?

• A) 6 ✓
• B) 5
• C) 3
• D) 7
• E) 2

30 = 2 × 3 × 5, 42 = 2 × 3 × 7 şeklinde ayrışır. Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3. EBOB = 2 × 3 = 6.

7. 8 ve 12 sayılarının EKOK'u kaçtır?

• A) 24 ✓
• B) 16
• C) 96
• D) 4
• E) 2

8 = 2³, 12 = 2² × 3 şeklinde ayrışır. EKOK = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.

8. İki sayının EBOB'u 5, sayılardan biri 15 olduğuna göre diğer sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

• A) 20 ✓
• B) 25
• C) 10
• D) 30
• E) 5

EBOB(15, x) = 5 olabilmesi için x'in 5'in katı olması ve 15 ile EBOB'unun tam olarak 5 çıkması gerekir. 20 = 2² × 5 ve EBOB(15, 20) = 5'tir, yani 20 mümkündür. Ancak 20, 15'in katı değil diye değil; seçenekleri teker teker kontrol edince: EBOB(15,5)=5 ✓, EBOB(15,10)=5 ✓, EBOB(15,20)=5 ✓, EBOB(15,25)=5 ✓, EBOB(15,30)=15 ✗. 30 için EBOB(15,30)=15≠5 olduğundan 30 olamaz.

9. Aralarında asal olan iki sayının EKOK'u 90 ise bu iki sayının çarpımı kaçtır?

• A) 90 ✓
• B) 8100
• C) 45
• D) 810
• E) 180

Aralarında asal olan iki sayının EBOB'u 1'dir. Çarpım = EBOB × EKOK = 1 × 90 = 90.

10. 18 ve 24 sayılarının EBOB ve EKOK'larının toplamı kaçtır?

• A) 72
• B) 78 ✓
• C) 48
• D) 66
• E) 84

18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3. EBOB = 2 × 3 = 6, EKOK = 2³ × 3² = 72. Toplam = 6 + 72 = 78.

11. 56 ve 84 sayılarının EBOB'u kaçtır?

• A) 4
• B) 14
• C) 28 ✓
• D) 7
• E) 42

56 = 2³ × 7, 84 = 2² × 3 × 7 şeklinde ayrışır. EBOB = 2² × 7 = 4 × 7 = 28.

12. 3, 4 ve 6 sayılarının EKOK'u kaçtır?

• A) 24
• B) 6
• C) 72
• D) 8
• E) 12 ✓

3 = 3, 4 = 2², 6 = 2 × 3 şeklinde ayrışır. EKOK = 2² × 3 = 12. 12, 3'e, 4'e ve 6'ya tam bölünür.

13. Bir markette 36 elma ve 48 portakal eşit sayıda meyve içerecek şekilde mümkün olan en az sayıda sepete paylaştırılacaktır. Her sepette aynı türden meyve bulunacak ve tüm meyveler kullanılacaktır. Buna göre en fazla kaç sepet kullanılır?

• A) 4
• B) 16
• C) 8
• D) 12 ✓
• E) 6

Her sepette tek tür meyve olacak ve tüm meyveler eşit bölüştürülecekse sepet sayısı maksimum olmalıdır. Bu, her iki meyve sayısının da tam bölüneceği en büyük sayı, yani EBOB(36, 48) = 12 sepettir. 36 ÷ 12 = 3 elma ve 48 ÷ 12 = 4 portakal her sepete konulur.

14. Birbirine göre asal olan iki sayının EBOB'u kaçtır?

• A) 2
• B) 1 ✓
• C) Her zaman farklıdır
• D) 0
• E) Sayıların toplamı

Birbirine göre asal iki sayının ortak böleni yalnızca 1'dir. Bu nedenle EBOB'ları her zaman 1'dir. Örneğin 8 ve 9 birbirine göre asaldır; EBOB(8,9) = 1.

15. 56 ve 84'ün EBOB'u kaçtır?

• A) 21
• B) 42
• C) 28 ✓
• D) 7
• E) 14

56 = 2³ × 7, 84 = 2² × 3 × 7. Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetleri: 2² × 7 = 4 × 7 = 28.

16. 20 ve 30'un EKOK'u kaçtır?

• A) 30
• B) 120
• C) 60 ✓
• D) 90
• E) 10

20 = 2² × 5, 30 = 2 × 3 × 5. EKOK = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60.

17. İki sayının EBOB'u 5, EKOK'u 150 ise bu sayıların EKOK/EBOB oranı kaçtır?

• A) 30 ✓
• B) 20
• C) 50
• D) 10
• E) 25

EKOK / EBOB = 150 / 5 = 30.

18. EBOB(36, 48) değeri kaçtır?

• A) 6
• B) 16
• C) 12 ✓
• D) 24
• E) 8

36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3. Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetleri: 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12.

19. Uzunlukları 16 cm ve 24 cm olan iki şerit, eşit parçalara bölünecektir. Parçalar mümkün olan en uzun boyda olacaksa her parça kaç cm olmalıdır?

• A) 12
• B) 6
• C) 2
• D) 4
• E) 8 ✓

İki şeridin de tam bölüneceği en uzun parça boyunu bulmak için EBOB alınır. EBOB(16, 24) = 8. Her parça 8 cm olmalıdır.

20. Her 4 günde bir A şehrine, her 6 günde bir B şehrine giden bir kişi bugün her iki şehre aynı anda gitmektedir. Bu kişi en erken kaç gün sonra yeniden her iki şehre aynı anda gidecektir?

• A) 8
• B) 10
• C) 16
• D) 24
• E) 12 ✓

Her iki şehre aynı anda tekrar gidebilmek için EKOK alınmalıdır. EKOK(4, 6) = 12. 12 gün sonra her iki şehre aynı anda gidecektir.

21. 75 ve 100 sayılarının EBOB'u ile EKOK'unun farkı kaçtır?

• A) 285
• B) 275 ✓
• C) 295
• D) 300
• E) 250

75 = 3 × 5², 100 = 2² × 5². EBOB = 5² = 25. EKOK = 2² × 3 × 5² = 300. Fark = 300 - 25 = 275.

22. EBOB(a, b) = 8 olduğuna göre a ve b sayıları aşağıdakilerden hangisi olamaz?

• A) 8 ve 16
• B) 24 ve 32
• C) 8 ve 24
• D) 16 ve 36 ✓
• E) 16 ve 24

EBOB(8, 24) = 8 ✓, EBOB(16, 24) = 8 ✓, EBOB(24, 32) = 8 ✓, EBOB(16, 36) = 4 ✗ (8'in 36'yı tam bölememesi nedeniyle EBOB 8 olamaz), EBOB(8, 16) = 8 ✓. Doğru cevap D şıkkıdır.

23. İki sayının toplamı 90, EBOB'ları 18 ise bu sayıların EKOK'u kaçtır?

• A) 180
• B) 90 ✓
• C) 36
• D) 108
• E) 72

EBOB = 18 olduğundan sayılar 18a ve 18b şeklinde yazılır (a ve b birbirine asal). 18a + 18b = 90 → a + b = 5. a ve b birbirine asal ve toplamları 5 olan çiftler: (1,4) veya (2,3). (2,3) çifti birbirine asaldır. Sayılar: 36 ve 54. EKOK = 18 × 2 × 3 = 108. Kontrol: EKOK × EBOB = 108 × 18 = 1944 = 36 × 54 ✓.

24. İki doğal sayının EBOB'u 4, EKOK'u 48 olduğuna göre bu iki sayının çarpımı kaçtır?

• A) 96
• B) 288
• C) 216
• D) 144
• E) 192 ✓

İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK formülü kullanılır. Çarpım = 4 × 48 = 192'dir. Bu formül yalnızca iki sayı için geçerlidir.

25. Bir kasaptaki etler 6 kg, 9 kg ve 15 kg'lık paketler hâlinde satılmaktadır. Bu paketlerin en büyük ortak ağırlıklarla tartılabilmesi için terazi en az kaç kg'lık ölçeğe sahip olmalıdır?

• A) 1
• B) 2
• C) 4
• D) 3 ✓
• E) 6

Bu problem 6, 9 ve 15 sayılarının EBOB'unu sormaktadır. 6 = 2 × 3, 9 = 3², 15 = 3 × 5 olduğundan EBOB = 3'tür. Terazi 3 kg'lık ölçeğe sahip olmalıdır.