MATEMATIK - kumeler (Bölüm 2)

1. Bir sınıftaki 30 öğrencinin 18'i matematik, 15'i fizik kursu almaktadır. Her iki kursu da alan öğrenci sayısı 7 ise hiçbir kurs almayan öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 4 ✓
• B) 3
• C) 2
• D) 5
• E) 6

En az bir kurs alan öğrenci sayısı: n(M ∪ F) = 18 + 15 - 7 = 26'dır. Hiçbir kurs almayan = 30 - 26 = 4 öğrencidir.

2. A = {a, b, c} kümesinin kaç tane boş olmayan alt kümesi vardır?

• A) 7 ✓
• B) 9
• C) 8
• D) 6
• E) 4

3 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısı 2³ = 8'dir. Boş küme çıkarıldığında boş olmayan alt küme sayısı 8 - 1 = 7 olur.

3. İki küme A ve B birbirinden ayrık (kesişimleri boş) ise n(A) = 5 ve n(B) = 4 olduğunda n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 1
• B) 8
• C) 9 ✓
• D) 4
• E) 5

Ayrık kümeler için A ∩ B = ∅ olduğundan n(A ∩ B) = 0'dır. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - 0 = 5 + 4 = 9 olur.

4. A = {x | x² - 5x + 6 = 0} kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 2 ✓
• B) 3
• C) 0
• D) 1
• E) 4

x² - 5x + 6 = 0 denklemi çözülür: (x - 2)(x - 3) = 0 → x = 2 veya x = 3. Bu nedenle A = {2, 3} kümesi 2 elemanlıdır.

5. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} olduğuna göre Aᶜ hangi kümedir?

• A) {2, 4, 6, 8}
• B) {1, 3, 5, 7, 9}
• C) {1, 3, 5, 7} ✓
• D) {5, 6, 7, 8}
• E) {1, 2, 3, 4}

Tümleme E - A işlemiyle bulunur. E - A = {1, 3, 5, 7} olduğundan Aᶜ = {1, 3, 5, 7}'dir.

6. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} için A ∪ B kaç elemanlıdır?

• A) 4
• B) 3
• C) 7
• D) 5 ✓
• E) 6

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} olduğundan 5 elemanlıdır. 3 her iki kümede de olmasına rağmen birleşimde bir kez yazılır.

7. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre A − B kümesi hangisidir?

• A) {6, 7}
• B) {1, 2, 3} ✓
• C) {1, 2, 3, 6, 7}
• D) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• E) {4, 5}

A − B, A'da bulunup B'de bulunmayan elemanlardır. 1, 2, 3 yalnızca A'da olduğundan A − B = {1, 2, 3}'tür.

8. İki küme A ve B ayrık (A ∩ B = ∅) ise n(A) = 5 ve n(B) = 4 olduğunda n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 5
• B) 8
• C) 4
• D) 9 ✓
• E) 1

Ayrık kümeler için n(A ∩ B) = 0'dır. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − 0 = 5 + 4 = 9 olur.

9. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4} olduğuna göre (A ∪ B)ᶜ kümesi hangisidir?

• A) {6} ✓
• B) {2, 4}
• C) {3}
• D) {1, 2, 3, 4, 5}
• E) {1, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} bulunur. (A ∪ B)ᶜ = E − (A ∪ B) = {6} olur.

10. A = {x | x² − 5x + 6 = 0} kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 3
• B) 4
• C) 0
• D) 2 ✓
• E) 1

x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 veya x = 3. Bu nedenle A = {2, 3} kümesi 2 elemanlıdır.

11. Aşağıdakilerden hangisi boş kümenin bir alt kümesidir?

• A) Yalnızca boş küme ✓
• B) Her küme
• C) Hiçbir küme
• D) Yalnızca evrensel küme
• E) Yalnızca doğal sayılar kümesi

Boş küme (∅), yalnızca kendisinin alt kümesidir. Başka bir deyişle ∅ ⊆ ∅ doğrudur. Her kümenin alt kümesi olan boş kümedir, ancak soru boş kümenin alt kümesini soruyor. Boş kümenin tek alt kümesi yine kendisidir.

12. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 25
• B) 16
• C) 64
• D) 32 ✓
• E) 10

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. A kümesi 5 elemanlı olduğundan alt küme sayısı 2⁵ = 32'dir.

13. A = {a, b, c} ve B = {c, d, e} ise A ∪ B (A birleşim B) kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 4
• B) 6
• C) 3
• D) 2
• E) 5 ✓

Birleşim kümesi, her iki kümede bulunan tüm elemanlardan oluşur (ortak elemanlar tek kez yazılır). A ∪ B = {a, b, c, d, e} olur ve bu küme 5 elemanlıdır. c elemanı her iki kümede de bulunmasına rağmen birleşimde yalnızca bir kez yazılır.

14. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} ise Aᶜ (A'nın tümleyeni) hangi kümedir?

• A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• B) {1, 3, 5, 7} ✓
• C) ∅
• D) {1, 3, 5, 7, 9}
• E) {2, 4, 6, 8}

Bir kümenin tümleyeni, evrensel kümede bulunup söz konusu kümede bulunmayan elemanlardır. U = {1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinde A = {2,4,6,8} dışında kalan elemanlar {1,3,5,7}'dir. Dolayısıyla Aᶜ = {1, 3, 5, 7} olur.

15. A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin eleman sayısı n(A) = 5 olduğuna göre, bu kümenin boş küme dahil kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 25
• B) 10
• C) 5
• D) 32 ✓
• E) 64

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. n(A) = 5 olduğundan alt küme sayısı 2⁵ = 32'dir. Bu sayıya boş küme de dahildir.

16. n(A) = 8, n(B) = 6 ve n(A ∩ B) = 3 ise n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 9
• B) 5
• C) 17
• D) 14
• E) 11 ✓

Birleşim kümesinin eleman sayısı için n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) formülü kullanılır. Buna göre n(A ∪ B) = 8 + 6 − 3 = 11 olur. Bu formülde ortak elemanlar iki kez sayıldığından bir kez çıkarılır.

17. Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) A ∩ B = A ∪ B ise A = B'dir ✓
• B) A ⊂ B ise A = B'dir
• C) Her küme kendisinin öz alt kümesidir
• D) A ⊆ B ise B ⊆ A'dır
• E) n(A) > n(B) ise A ⊃ B'dir

A ∩ B = A ∪ B eşitliği yalnızca A = B olduğunda gerçekleşir. Çünkü A ∩ B ⊆ A ∪ B her zaman doğrudur; eşitlik ancak iki kümenin aynı olmasıyla sağlanır. Diğer seçenekler yanlıştır: A ⊆ B, B ⊆ A anlamına gelmez; A ⊂ B (öz alt küme) ise A ≠ B demektir; eleman sayısı fazla olmak içerme anlamına gelmez; hiçbir küme kendisinin öz alt kümesi olamaz.

18. A = {x | x ∈ ℕ, x < 5} kümesinin elemanları hangi seçenekte doğru verilmiştir? (ℕ: Doğal sayılar kümesi, 0 dahil)

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• C) {0, 1, 2, 3, 4} ✓
• D) {0, 1, 2, 3}
• E) {1, 2, 3, 4, 5}

Kümeler teorisinde ℕ genellikle 0'ı da kapsar. x < 5 koşulunu sağlayan doğal sayılar 0, 1, 2, 3, 4'tür. 5 dahil değildir çünkü koşul 'x < 5' şeklindedir (≤ 5 değil). Bu nedenle A = {0, 1, 2, 3, 4} olur.

19. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümelerine göre A \ B (A fark B) kümesi hangisidir?

• A) {4, 5}
• B) {1, 2, 3, 4, 5}
• C) {1, 2} ✓
• D) {3}
• E) {1, 2, 4, 5}

A \ B fark kümesi; A'da bulunup B'de bulunmayan elemanlardan oluşur. A = {1, 2, 3} kümesinde B ile ortak olan eleman 3'tür. 3 çıkarıldığında geriye {1, 2} kalır. Dolayısıyla A \ B = {1, 2} olur.

20. Bir sınıftaki 40 öğrencinin 25'i matematik, 20'si fizik dersini seviyor. Her iki dersi de seven öğrenci sayısı 10 ise hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 15
• B) 5 ✓
• C) 25
• D) 10
• E) 20

n(M ∪ F) = n(M) + n(F) − n(M ∩ F) = 25 + 20 − 10 = 35 öğrenci en az bir dersi seviyor. Toplam öğrenci sayısı 40 olduğundan hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı 40 − 35 = 5 olur.

21. A ∩ B = ∅ (boş küme) olması ne anlama gelir?

• A) B, A'nın alt kümesidir
• B) A veya B boş kümedir
• C) A ile B'nin ortak elemanı yoktur ✓
• D) A = B'dir
• E) A, B'nin alt kümesidir

A ∩ B = ∅ ifadesi, A ile B kümelerinin hiçbir ortak elemanı olmadığı anlamına gelir. Bu durumda A ve B 'ayrık kümeler' (veya 'kesişmeyen kümeler') olarak adlandırılır. A veya B'nin boş küme olması kesin değildir; boş olmayan iki küme de kesişmeyebilir.

22. A = {x | x, 12'nin pozitif tam sayı bölenidir} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 5
• B) 8
• C) 7
• D) 4
• E) 6 ✓

12'nin pozitif tam sayı bölenlerini bulalım: 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4. Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu nedenle A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} olur ve n(A) = 6'dır.

23. Aşağıdaki kümelerden hangisi {2, 4, 8}'in bir alt kümesi değildir?

• A) ∅
• B) {2}
• C) {2, 6} ✓
• D) {4, 8}
• E) {2, 4, 8}

Bir kümenin alt kümesi olabilmek için o kümedeki tüm elemanların ana kümede de bulunması gerekir. {2, 6} kümesinin elemanı olan 6, ana küme {2, 4, 8}'de yer almamaktadır. Bu nedenle {2, 6}, {2, 4, 8}'in alt kümesi değildir. Diğer seçeneklerdeki kümeler (boş küme, {2}, {4,8}, {2,4,8}) hepsi alt kümedir.

24. n(A) = 12, n(A ∪ B) = 20 ve n(A ∩ B) = 4 ise n(B) kaçtır?

• A) 16
• B) 14
• C) 12 ✓
• D) 8
• E) 10

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) formülünden n(B) değerini bulabiliriz: 20 = 12 + n(B) − 4 → 20 = 8 + n(B) → n(B) = 12 olur.

25. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {2, 4, 6, 8, 10} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 8 ✓
• B) 7
• C) 10
• D) 11
• E) 9

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. A'da 6 eleman, B'de 5 eleman vardır. A ∩ B = {2, 4, 6} → 3 ortak eleman. n(A ∪ B) = 6 + 5 - 3 = 8.