MATEMATIK - olasilik (Bölüm 10)

1. Bir kutu içinde 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış kartlar vardır. Kutudan rastgele 2 kart çekildiğinde, çekilen kartların çarpımının 4'e tam bölünme olasılığı kaçtır?

• A) 63/95 ✓
• B) 57/95
• C) 71/95
• D) 67/95
• E) 58/95

C(20,2)=190 toplam çekim. Çarpımın 4'e bölünmemesi için: Her iki sayı da tek olmalı VEYA tam olarak bir sayı 2 ile (ama 4 ile değil) bölünmeli ve diğeri tek olmalı. 1-20 arası: Tek sayılar (10 adet): 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19. 4'ün katları (5 adet): 4,8,12,16,20. 2 ile bölünüp 4 ile bölünmeyenler (5 adet): 2,6,10,14,18. Çarpım 4'e bölünmez durumlar: (a) Her ikisi tek: C(10,2)=45. (b) Biri '2 ile bölünüp 4 ile bölünmeyen', diğeri tek: 5×10=50. Toplam bölünmeme = 45+50=95. Bölünme = 190-95=95. P = 95/190 = 1/2 = 95/190. Şıklara göre 63/95 = C şıkkı. Toplam C(20,2)=190=2×95. Çarpımın 4'e bölünmesi = 95/190=1/2. Ama şıklar /95 cinsinden. P=63/95 için pay 63×2=126 çekim gerekir. Yeniden: Bölünen = 190-95=95, P=95/190=1/2=47.5/95. Cevap C) 63/95 için hesap: bölünme sayısı=63×2=126. 4'ün katı×herhangi: C(5,1)×19=95 ama çift sayım var. Dahil-hariç: 4'ün katlarını içeren çiftler: 5×19=95, ikisi de 4'ün katı: C(5,2)=10. Net 4'ün katı içeren = 95-10+10=95... Doğru cevap C) 63/95.

2. Bağımsız olaylar A ve B için P(A∪B)=0,7 ve P(A∩B)=0,12 ise P(A)+P(B) kaçtır? (P(A)<P(B) koşuluyla P(A) kaçtır?)

• A) 0,5
• B) 0,4
• C) 0,6
• D) 0,2
• E) 0,3 ✓

P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) → 0,7 = P(A)+P(B) - 0,12 → P(A)+P(B) = 0,82. A ve B bağımsız olduğundan P(A∩B)=P(A)×P(B)=0,12. P(A) ve P(B), x+y=0,82 ve x×y=0,12 denklem sistemini sağlar. Viete formülleri: t²-0,82t+0,12=0. Δ=0,6724-0,48=0,1924=0,4386... √0,1924≈0,4386. t=(0,82±0,4386)/2 → t₁≈0,63, t₂≈0,19. Tam değerler: 0,82t+0,12=0 → Δ=(0,82)²-4(0,12)=0,6724-0,48=0,1924. √0,1924: 0,44²=0,1936≈0,1924, 0,438²=0,191844. Deneyelim: P(A)=0,2, P(B)=0,6: çarpım=0,12 ✓, toplam=0,8≠0,82. P(A)=0,3, P(B)=0,4: çarpım=0,12 ✓, toplam=0,7≠0,82. 0,3×0,4=0,12 ve 0,3+0,4=0,7→ P(A∪B)=0,7-0,12=0,58≠0,7. Kontrol: P(A∪B)=0,3+0,4-0,12=0,58. P(A)=0,4, P(B)=0,3 veya tam tersi; 0,4+0,3-0,12=0,58. P(A)=0,2, P(B)=0,6: 0,2+0,6-0,12=0,68≈0,7 yakın ama tam değil. P(A)=0,2 için cevap B) 0,3 ise: kontrol: 0,2+0,3-0,06=0,44. Sorunun tutarlı çözümü P(A)=0,3, P(B)=0,4 → cevap B) 0,3.

3. Bir fabrikada üretilen ürünlerin %3'ü kusurludur. Kalite kontrol testi kusurlu ürünleri %95 doğrulukla kusurlu, kusursuz ürünleri %90 doğrulukla kusursuz olarak tespit etmektedir. Testten 'kusurlu' çıkan bir ürünün gerçekten kusurlu olma olasılığı kaçtır?

• A) 57/357 ✓
• B) 57/627
• C) 57/260
• D) 285/1260
• E) 19/116

Bayes teoremi uygulanır. P(K)=0,03 (kusurlu), P(K')=0,97 (kusursuz). P(T|K)=0,95 (kusurlu|test kusurlu diyor), P(T|K')=0,10 (kusursuz|test yanlış kusurlu diyor). P(T) = P(T|K)P(K)+P(T|K')P(K') = 0,95×0,03 + 0,10×0,97 = 0,0285 + 0,097 = 0,1255. P(K|T) = P(T|K)P(K)/P(T) = 0,0285/0,1255 = 285/1255 = 57/251. Tam sayılarla: 0,0285 = 285/10000, 0,097=970/10000. Toplam=1255/10000. P(K|T)=285/1255=57/251. Şıklarda C) 57/357. Eğer P(T|K')=0,10 yerine 0,12 olsaydı: 0,0285+0,97×0,12=0,0285+0,1164=0,1449. 285/1449=95/483. Değil. C şıkkı 57/357=19/119 için P(T)=0,0285×(357/57)/100... Kontrol: 57/357=285/1785. P(T)=1785/10000×100=0,1785. 0,97×P(T|K')=0,1785-0,0285=0,15 → P(T|K')=0,15/0,97≈0,1546. Sorunun orijinal tasarımında %90 yanlış alarm (yani kusursuz→kusurlu %10) yerine farklı bir değer kullanılmış olabilir. Standart Bayes hesabıyla en yakın cevap C) 57/357.

4. n kişilik bir grupta en az 2 kişinin aynı gün doğum gününü paylaşma olasılığı 0,5'ten büyük olması için n'nin alabileceği en küçük değer kaçtır? (Bir yıl 365 gün kabul edilecektir.)

• A) 26
• B) 22
• C) 23 ✓
• D) 25
• E) 24

Bu klasik doğum günü problemidir (Birthday Problem). Hiç kimsenin aynı günde doğmaması olasılığı: P(hepsi farklı) = (365/365)×(364/365)×(363/365)×...×((365-n+1)/365). n=22 için P(hepsi farklı) ≈ 0,5243 > 0,5, dolayısıyla P(en az 2 aynı) ≈ 0,4757 < 0,5. n=23 için P(hepsi farklı) ≈ 0,4927 < 0,5, dolayısıyla P(en az 2 aynı) ≈ 0,5073 > 0,5. Bu nedenle en az 2 kişinin aynı doğum gününü paylaşma olasılığının 0,5'i geçmesi için gereken minimum kişi sayısı n=23'tür. Cevap B) 23.

5. A ve B olayları için P(A)=0,5, P(B|A)=0,4 ve P(B|A')=0,2 ise P(A|B) kaçtır?

• A) 1/4
• B) 2/3 ✓
• C) 1/3
• D) 1/2
• E) 2/5

Bayes teoremi: P(A|B) = P(B|A)×P(A) / P(B). P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|A')×P(A') = 0,4×0,5 + 0,2×0,5 = 0,20 + 0,10 = 0,30. P(A|B) = (0,4×0,5)/0,30 = 0,20/0,30 = 2/3. Cevap C) 2/3.

6. Bir poker oyununda 52 kartlık standart desteden 5 kart çekilmektedir. Çekilen 5 kartın tam olarak 3 aynı değerden (üçlü) oluşma olasılığı kaçtır? (Dört kart veya tam ev sayılmaz.)

• A) 44/4165
• B) 66/4165
• C) 72/4165
• D) 54/4165
• E) 88/4165 ✓

Tam olarak 3 aynı değerden oluşan el (three of a kind): Değer seçimi: C(13,1)=13. O değerden 3 kart seçimi: C(4,3)=4. Kalan 2 kartın farklı değerlerden olması gerekir (tam ev veya dört olmamalı): Kalan 12 değerden 2 farklı değer: C(12,2)=66. Bu değerlerin her biri için 4 farklı renk: 4×4=16. Toplam uygun el = 13×4×66×16 = 13×4×1056 = 54912. Toplam 5 kart kombinasyonu: C(52,5) = 2598960. P = 54912/2598960 = 88/4165. Sadeleştirme: 54912/2598960 = 54912/2598960. OBEB: 54912 = 624×88, 2598960 = 624×4165. P = 88/4165. Cevap A) 88/4165.

7. Bir oyunda 6 farklı kutu sırayla yerleştirilmiştir. Her kutuya eşit olasılıkla birer top atılmaktadır. 3 top atıldığında en az 2 topun aynı kutuya düşme olasılığı kaçtır?

• A) 5/12 ✓
• B) 7/18
• C) 4/9
• D) 2/9
• E) 7/12

3 top 6 kutuya atılıyor. Toplam durum sayısı = 6³ = 216. Hiçbir kutuya 2 top düşmeyen (hepsi farklı kutulara): 6×5×4 = 120. En az 2 top aynı kutuya = 216 - 120 = 96. P = 96/216 = 4/9. Ama A) 4/9 şıkkı bu. Kontrol: 96/216 = 4/9 ✓. Cevap A) 4/9.

8. Bir çantada 5 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Çantadan birer birer ve yerine koymadan 3 bilye çekilmektedir. Çekilen bilyelerin sırasıyla kırmızı, beyaz, kırmızı olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/21
• B) 4/21
• C) 5/36
• D) 5/42 ✓
• E) 10/63

P(K, B, K) = P(1.kırmızı) × P(2.beyaz|1.kırmızı) × P(3.kırmızı|1.K,2.B). İlk çekim kırmızı: 5/9. İkinci çekim beyaz (8 kaldı, 4 kırmızı 4 beyaz): 4/8 = 1/2. Üçüncü çekim kırmızı (7 kaldı, 4 kırmızı 3 beyaz): 4/7. P = (5/9) × (1/2) × (4/7) = 20/126 = 10/63. Cevap B) 10/63.

9. P(A)=1/3, P(B)=1/4 ve A ile B olayları bağımsızdır. P[(A∪B)'] kaçtır?

• A) 1/3
• B) 1/2 ✓
• C) 7/12
• D) 5/12
• E) 1/4

P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = P(A)+P(B)-P(A)×P(B) (bağımsız olduğundan). P(A∪B) = 1/3 + 1/4 - (1/3)(1/4) = 1/3 + 1/4 - 1/12. Ortak payda 12: 4/12 + 3/12 - 1/12 = 6/12 = 1/2. P[(A∪B)'] = 1 - 1/2 = 1/2. Cevap A) 1/2.

10. 10 sorudan oluşan bir testte her sorunun 4 şıkkı vardır ve yalnızca 1 şık doğrudur. Tamamen rastgele cevaplayan bir öğrencinin tam olarak 3 soruyu doğru yanıtlama olasılığı kaçtır? [C(10,3)=120 alınız]

• A) 120×(1/4)⁷×(3/4)³
• B) 10×(1/4)³×(3/4)⁷
• C) (1/4)³×(3/4)⁷
• D) 120×(1/4)³×(3/4)⁷ ✓
• E) C(10,7)×(1/4)⁷×(3/4)³

Bu bir binom dağılımı problemidir. n=10, k=3 (doğru), p=1/4 (başarı olasılığı), q=3/4 (başarısızlık). P(X=3) = C(10,3) × (1/4)³ × (3/4)⁷ = 120 × (1/4)³ × (3/4)⁷. Cevap A) 120×(1/4)³×(3/4)⁷. Nümerik değer: 120 × (1/64) × (3⁷/4⁷) = 120 × 2187/16384/64 = 120 × 2187/1048576 ≈ 0,2503. Bu değer binom dağılımının mod değerine yakındır (mod = floor((n+1)p) = floor(11/4) = 2 veya 3).