Olasılık
1 soruluk gerçek sınav dağılımı
Olasılık konusu, Matematik testleri içerisinde KPSS sınavlarında en çok belirleyici olan alanlardan biridir. Bu sayfada yer alan güncel sorular, çıkmış soru formatına uygun olarak uzman eğitmen kadromuz tarafından titizlikle hazırlanmıştır. Aşağıdaki konu anlatımlarını ve hap bilgileri okuduktan sonra sayfa altındaki konu testleriyle pratik yapabilir, KPSS sınav sayacı üzerinden hedefinize ne kadar kaldığını takip edebilir ve puan hesaplama motorumuz ile güncel performansınızı anında ölçebilirsiniz.
- Örnek Uzay
- Basit Olayların Olasılığı
- Koşullu Olasılık
Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık
KPSS Matematik’te permütasyon, kombinasyon ve olasılık; düzenleme, seçim ve ihtimal hesaplarıyla ilgili sorular içerir. Formüller ezberlenmeli, problem mantığı pekiştirilmelidir.
1. Permütasyon Kavramı
- n elemandan r tanesinin sıralı olarak dizilmesine permütasyon denir.
- Formül: P(n,r) = n! / (n-r)!
- Örn: 5 kişiden 3’ü sıraya dizilecek → P(5,3) = 5! / 2! = 60.
- Örn: 4 harfli şifre (0–9) → P(10,4) = 5040.
2. Kombinasyon Kavramı
- n elemandan r tanesinin seçilmesine kombinasyon denir (sıra önemli değil).
- Formül: C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]
- Örn: 10 öğrenciden 3 kişi seçilecek → C(10,3) = 120.
- Örn: 5 karttan 2’si seçilecek → C(5,2) = 10.
3. Permütasyon ve Kombinasyon Farkı
- Permütasyonda sıra ÖNEMLİDİR, kombinasyonda ÖNEMLİ DEĞİLDİR.
- Örn: Ali–Ayşe–Mehmet sırası farklı → permütasyon.
- Örn: 3 kişi seçilip komisyon kurulması → kombinasyon.
- P(n,r) = C(n,r) × r! bağıntısı vardır.
4. Olasılık Kavramı
- Bir olayın gerçekleşme şansı = İstenen durum / Tüm durum.
- 0 ≤ Olasılık ≤ 1.
- Örn: Zar atıldığında çift gelme ihtimali = 3/6 = 1/2.
- Örn: Deste karttan kupa çekilme ihtimali = 13/52 = 1/4.
5. Olasılık Hesaplamaları
- Tüm durumlar genellikle permütasyon veya kombinasyonla bulunur.
- Örn: Para 2 kez atılıyor, yazı gelme ihtimali = 1/2 × 1/2 = 1/4.
- Örn: 3 öğrenci arasından rastgele biri seçilir, Ali seçilme ihtimali = 1/3.
- Örn: Zar atıldığında asal sayı gelme = 2,3,5 → 3/6 = 1/2.
6. Bağımsız ve Bağımlı Olaylar
- Bağımsız olay: Biri diğerini etkilemez. (Zar ve para atma).
- Bağımlı olay: Bir olay diğerini etkiler. (Kart çekip yerine koymama).
- Örn: Para atma 2 kez → 1/2 × 1/2 = 1/4.
- Örn: 52 karttan 2 kupa çekme → (13/52) × (12/51) = 1/17.
7. Pratik Çözüm Teknikleri
- Seçim → kombinasyon, sıralama → permütasyon kullan.
- Olasılıkta → payda tüm durum, pay istenen durum.
- Soruda 've' geçiyorsa çarp, 'veya' geçiyorsa topla.
- Tekrar eden olaylarda kuvvet mantığını uygula. (Yazı–tura 3 kez → 2³=8 olasılık).
8. KPSS İçin Stratejik Taktikler
- Küçük sayılarda direkt sayarak çözüm yapabilirsin.
- Soruyu iyi oku → sıra önemli mi, değil mi belirle.
- Bağımsız olaylarda çarpma, bağımlı olaylarda dikkatli seçim yap.
- Sınavda işlem hataları çok oluyor → faktöriyel sadeleştirmelerine dikkat et.
9. Olasılık Uygulamaları
- Zar, para, kart soruları en çok gelen klasik uygulamalardır.
- Örn: Zar 2 kez atılıyor, toplam 7 gelme = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6/36=1/6.
- Örn: 10 öğrenciden başkan–başkan yardımcısı seçme → P(10,2) = 90.
- Örn: 6 kişilik ekipten 2 kişi seçme → C(6,2) = 15.
- Örn: Torbada 5 kırmızı, 3 mavi top var → mavi çekilme olasılığı = 3/8.
Olasılık, Permütasyon ve Kombinasyon
Sayma yöntemleri (permütasyon, kombinasyon) ile olasılık hesaplama, KPSS'de sıklıkla birlikte sorulan, temel sayma prensibine dayanan konulardır.
Konu Özeti
- Temel sayma prensibi (çarpma kuralı): Birbirinden bağımsız ardışık seçimlerde, birinci seçim m farklı şekilde, ikinci seçim n farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu iki seçim birlikte (art arda) m.n farklı şekilde yapılabilir. Üç ya da daha fazla bağımsız seçim olduğunda da aynı mantıkla tüm seçenek sayıları çarpılır.
- Permütasyon (sıralamanın önemli olduğu durumlar): n farklı elemanın tamamının sıralanma (dizilme) sayısı n! (n faktöriyel) ile gösterilir ve n! = n.(n-1).(n-2)...2.1 şeklinde hesaplanır. n elemanlı bir kümeden r tanesinin seçilip sıralı biçimde dizilme sayısı P(n,r) = n!/(n-r)! formülüyle bulunur.
- Dairesel permütasyon: n farklı elemanın bir daire (örneğin yuvarlak masa) etrafına dizilme sayısı (n-1)! formülüyle hesaplanır. Bunun nedeni, dairesel düzende bir sıralamanın döndürülmesiyle elde edilen tüm düzenlerin aynı kabul edilmesidir.
- Bazı elemanların daima yan yana bulunması istenen dizilişlerde, yan yana olması gereken elemanlar tek bir blok olarak kabul edilip diğer elemanlarla birlikte sıralanır (bu sıralama sayısı bulunur); ardından blok içindeki elemanların kendi aralarındaki sıralamaları ayrıca hesaplanıp bu iki sayı çarpılır.
- Kombinasyon (sıralamanın önemli olmadığı, yalnızca seçimin yapıldığı durumlar): n elemanlı bir kümeden r tanesinin sırasız olarak seçilme sayısı C(n,r) = n! / (r!.(n-r)!) formülüyle hesaplanır. C(n,r) = C(n,n-r) özdeşliği her zaman geçerlidir, yani r eleman seçmek ile geriye kalan (n-r) elemanı seçmemek aynı sayıda yolla yapılabilir.
- Olasılık: Bir olayın olasılığı, istenen (uygun) durum sayısının, tüm olası durum sayısına oranı olarak tanımlanır: P(olay) = (istenen durum sayısı) / (tüm durum sayısı). Olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ≤ P ≤ 1); P=0 olayın imkânsız, P=1 olayın kesin olduğunu gösterir.
- Birden fazla elemanın aynı anda (sırasız) seçildiği olasılık sorularında hem istenen durum sayısı hem de tüm durum sayısı kombinasyon formülüyle hesaplanır; örneğin bir torbadan aynı anda çekilen birkaç topun belirli renklerde olma olasılığı, uygun renk kombinasyonlarının tüm kombinasyonlara oranı alınarak bulunur.
- Aralarında birbirinin AYNISI (özdeş) olan elemanlar varsa, sıralama sayısı klasik n! formülünden daha küçük çıkar; bu durumda tekrarlı permütasyon formülü kullanılır: n tane elemandan p tanesi birbirinin aynısı, q tanesi birbirinin aynısı (vs.) ise farklı diziliş sayısı n!/(p!×q!×...) olur. Örnek: 'ANANAS' kelimesindeki harflerin farklı dizilişi, kelimede 6 harf (A 3 kez, N 2 kez, S 1 kez) olduğundan 6!/(3!×2!×1!) = 720/12 = 60'tır. Ayrıca 0! = 1 olarak tanımlanır; bu tanım, P(n,0)=1 ve C(n,0)=1 sonuçlarının (bir kümeden hiç eleman seçmemenin tek bir yolu vardır) formülle tutarlı olmasını sağlar.
- Bir olayın olasılığı ile o olayın GERÇEKLEŞMEME olasılığı (tümleyeni) arasında P(A) + P(A') = 1 ilişkisi vardır; yani P(A') = 1 − P(A). Bu kural, 'en az bir kere...' türü karmaşık olasılık sorularında büyük kolaylık sağlar: doğrudan 'en az bir' durumunu saymak yerine, tam tersi olan 'hiç olmama' durumunun olasılığı bulunup 1'den çıkarılır. Örnek: bir zar iki kez atıldığında en az bir kez 6 gelme olasılığı, doğrudan hesaplamak yerine 'hiç 6 gelmeme' olasılığı (5/6×5/6=25/36) bulunup 1'den çıkarılarak 1−25/36=11/36 olarak bulunur.
- Olaylar arasında bağımsızlık önemli bir ayrımdır: bir topu çekip TEKRAR torbaya koyarak (iadeli çekiliş) ikinci bir top çekmek, iki olayı BAĞIMSIZ kılar (ilk çekilişin sonucu ikinci çekilişin olasılığını etkilemez); ancak çekilen topu torbaya geri KOYMADAN ikinci topu çekmek olayları BAĞIMLI kılar (ilk çekilişten sonra torbadaki toplam top sayısı ve renk dağılımı değişir, bu da ikinci çekilişin olasılığını etkiler). Bu ayrımı doğru yapmak, çok adımlı olasılık sorularının doğru kurulması için gereklidir.
Anahtar Noktalar
- Çarpma kuralı: bağımsız seçimler çarpılır
- n farklı elemanın sıralanışı: n!
- P(n,r) = n! / (n-r)! (sıralı seçim)
- C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) (sırasız seçim)
- Dairesel permütasyon: (n-1)!
- C(n,r) = C(n,n-r)
- P(olay) = istenen / toplam, 0 ≤ P(olay) ≤ 1
- Yan yana olma şartı: blok mantığı + blok içi sıralama
- Tekrarlı elemanların permütasyonu: n! / (p!×q!×...) (özdeş elemanlar için)
- 0! = 1 (tanım gereği); bu, P(n,0)=1 ve C(n,0)=1 ile tutarlıdır
- P(A) + P(A') = 1; 'en az bir' sorularında P(A)=1-P(hiç olmama) kısayolu kullanılır
- İadeli çekilişte olaylar bağımsız, iadesiz çekilişte olaylar bağımlıdır
Sınava Hazırlık Araçları
Sınav stratejinizi güçlendirmek için ücretsiz araçlarımızı keşfedin: