Problemler
8 soruluk gerçek sınav dağılımı
Problemler konusu, Matematik testleri içerisinde KPSS sınavlarında en çok belirleyici olan alanlardan biridir. Bu sayfada yer alan güncel sorular, çıkmış soru formatına uygun olarak uzman eğitmen kadromuz tarafından titizlikle hazırlanmıştır. Aşağıdaki konu anlatımlarını ve hap bilgileri okuduktan sonra sayfa altındaki konu testleriyle pratik yapabilir, KPSS sınav sayacı üzerinden hedefinize ne kadar kaldığını takip edebilir ve puan hesaplama motorumuz ile güncel performansınızı anında ölçebilirsiniz.
- Sayı ve Kesir Problemleri
- Yaş Problemleri
- İşçi ve Havuz Problemleri
- Hareket Problemleri
- Yüzde, Kar-Zarar ve Faiz Problemleri
- Karışım Problemleri
Problemler
KPSS Matematik problemler; yaş, hareket, işçi–iş, karışım, faiz, sayı ve yüzde konuları üzerinden sıkça sorulur. Sorularda formülü bilmek kadar, mantığı ve pratik çözümleri kavramak önemlidir.
1. Problem Çözme Stratejileri
- Soruyu dikkatle oku, verilenleri ve istenenleri yaz.
- Bilinen formülleri uygula ama mantığı unutma.
- Basit örnekler üzerinden deneme yap.
- Çözümü denkleme dönüştür: Genelde x, y bilinmeyenleri ile çözülür.
- Örn: 'Bir sayının 3 fazlasının 2 katı 16’dır' → (x+3)×2=16 → x=5.
2. Yaş Problemleri
- Yaş problemlerinde zaman aynı oranda eklenir veya çıkarılır.
- Örn: Ali 10, Veli 14 yaşında → 6 yıl sonra: Ali 16, Veli 20.
- Fark sabittir: Ali ile Veli arasındaki fark hep 4’tür.
- Örn: Babanın yaşı çocuğun yaşının 3 katı → x ve 3x denklemi kurulur.
- KPSS’de en çok çıkan tip: Geçmiş–gelecek yaş oranı soruları.
3. Hareket Problemleri
- Formül: Yol = Hız × Zaman.
- Aynı yöne hareket → hızlar farkı.
- Zıt yöne hareket → hızlar toplamı.
- Örn: 60 km/sa ve 80 km/sa hızla karşılaşan araçlar → toplam hız 140 km/sa.
- Örn: 2 saatte 120 km yol giden aracın hızı = 120 ÷ 2 = 60 km/sa.
4. İş Problemleri
- Formül: İş = Verim × Zaman.
- A işçi bir işi x günde bitirirse, 1 günde yaptığı iş = 1/x.
- Birlikte iş yaparlarsa → paylar toplanır.
- Örn: A işi 6 günde, B 12 günde bitirir → birlikte 1/6+1/12=1/4 → işi 4 günde bitirirler.
- Ortak çalışma ve ayrılma sorularında → kimin ne kadar çalıştığı hesaplanır.
5. Karışım Problemleri
- Formül: (Miktar × Oran) toplamı / Toplam miktar = Yeni oran.
- Örn: 10 lt %20 tuzlu su + 20 lt %30 tuzlu su → (10×20 + 20×30) / 30 = %26,6.
- Su eklenirse → yoğunluk düşer. Tuz eklenirse → yoğunluk artar.
- En çok sorulan tip: % problemleri + karışım.
6. Yüzde Problemleri
- Yüzde = (Parça / Bütün) × 100.
- Örn: 200 öğrencinin %30’u = 200×0,3 = 60.
- Fiyat artışı → Eski fiyat × (1 + %artış).
- Fiyat indirimi → Eski fiyat × (1 – %indirim).
- Örn: 100 TL’nin %20 indirimli fiyatı = 80 TL.
7. Faiz Problemleri
- Basit faiz formülü: F = An×t/100 (A=anapara, n=faiz oranı, t=süre).
- Örn: 1000 TL %20 faizle 2 yıl → F = 1000×20×2/100 = 400 TL.
- Toplam geri ödeme = Anapara + Faiz.
- Bileşik faiz KPSS’de çok nadir sorulur.
8. Sayı Problemleri
- Bir sayının ifadesi → x ile gösterilir.
- Örn: 'Bir sayının 3 fazlası 10’dur' → x+3=10 → x=7.
- Örn: 'Bir sayının 2 katının 5 eksiği 9’dur' → 2x–5=9 → x=7.
- En çok çıkan tip: Rakamlar toplamı, basamak değerleri.
9. Geometri Problemleri
- Alan–çevre hesaplamaları → problemle birleştirilir.
- Örn: Dikdörtgenin uzun kenarı 10, kısa kenarı 5 → Çevre=30, Alan=50.
- Kare–dikdörtgen dönüşümleri sıkça gelir.
- Şekilsel problemler → orantı ve alan ilişkisiyle çözülür.
10. Pratik Çözüm Teknikleri
- Yaş problemlerinde → fark sabittir, oran değişir.
- Hareket problemlerinde → tablo yap, hız-zaman-yol ilişkisini yaz.
- İşçi problemlerinde → 1 günde yapılan işe odaklan.
- Karışım problemlerinde → 'denklem' yerine ağırlıklı ortalama yöntemi hızlıdır.
- Yüzde problemlerinde → 100 üzerinden düşünmek işini kolaylaştırır.
11. KPSS İçin Stratejik Taktikler
- Problemlerden yılda ortalama 8–10 soru gelir.
- En çok çıkanlar: yaş, hareket, işçi–iş, yüzde ve sayı problemleri.
- Formülleri bilmek yetmez → mantığı ve tablo yöntemini çalış.
- Çözümleri kısa yoldan yapmayı öğren, sınavda süre kazandırır.
12. Problem Çözme İpuçları
- Soruda 'kaç yıl sonra', 'kaç yıl önce' → yaş problemi işaretidir.
- Soruda 'aynı anda hareket' → hareket problemi işaretidir.
- Soruda 'birlikte iş yapma' → işçi problemi işaretidir.
- Soruda 'oran, yüzde, karışım' kelimeleri → karışım/yüzde problemleri işaretidir.
- Denklem kurmayı alışkanlık haline getir, çözüm çok hızlanır.
Karışım Problemleri
Karışım problemleri, farklı yüzde veya oran içeren maddelerin birleştirilmesiyle oluşan yeni karışımın özelliklerini bulmayı içerir.
Konu Özeti
- Karışım problemlerinin temel ilkesi: Karışımdaki her maddenin miktarını ve yüzdesini ayrı ayrı hesaplayıp toplamak. Temel formül: (1. madde miktarı × 1. yüzdesi) + (2. madde miktarı × 2. yüzdesi) = (toplam karışım miktarı × karışım yüzdesi). Örnek: %20 tuzlu 200 g su ile %10 tuzlu 300 g su karıştırılırsa: (200×0,20)+(300×0,10) = 40+30 = 70 g tuz. Toplam karışım = 500 g. Karışım tuz yüzdesi = 70/500 = 0,14 = %14.
- Alaşım (metal karışımı) problemlerinde de aynı mantık kullanılır. %60 altın içeren 500 g alaşımla %40 altın içeren 300 g alaşım karıştırılırsa: (500×0,60)+(300×0,40) = 300+120 = 420 g altın. Toplam = 800 g. Alaşım yüzdesi = 420/800 = 0,525 = %52,5.
- Bir karışımdan bir kısım çıkarılıp farklı bir karışım eklendiğinde, çıkarılan kısmın yüzdesi sabit kalır. Örnek: 10 L %30 alkollü çözeltiden 2 L alınıp yerine saf su konursa: Kalan alkol = (10-2)×0,30 = 8×0,30 = 2,4 L. Yeni çözeltideki alkol yüzdesi = 2,4/10 = 0,24 = %24.
- Denge noktası (ters orantı yöntemi): İki farklı konsantrasyonlu sıvı karıştırılarak istenilen bir konsantrasyona ulaşılmak istendiğinde, her iki sıvının miktarları ile istenen konsantrasyona olan uzaklıkları ters orantılıdır. Örnek: %10 ve %40 konsantrasyonlu iki çözeltiyle %20 konsantrasyon isteniyor. %40-konsantrasyonu olan için uzaklık: |40-20|=20; %10 için: |10-20|=10. Oranları: 20:10 = 2:1 (ters). Yani %10'luk 2, %40'lık 1 birim katılmalı.
- Saf madde (yani %100 konsantrasyonlu bir madde, örneğin katkısız tuz ya da saf alkol) bir karışıma eklendiğinde, eklenen miktarın tamamı doğrudan o maddenin miktarına eklenir (çünkü oranı %100=1'dir). Örnek: %20 tuzlu 400 g suya 100 g saf (katı) tuz eklenirse: önceki tuz miktarı 400×0,20=80 g, eklenen 100 g saf tuz ile toplam tuz 80+100=180 g olur; toplam karışım 400+100=500 g; yeni yüzde = 180/500=0,36=%36. Benzer şekilde saf su (yani %0 konsantrasyon) eklendiğinde, o maddenin miktarına hiçbir katkı yapılmaz, yalnızca toplam karışım miktarı artar.
- Sonuçları kontrol etmenin pratik bir yolu şudur: iki farklı yüzdeli karışım birleştirildiğinde, ortaya çıkan yeni karışımın yüzdesi HER ZAMAN iki başlangıç yüzdesinin arasında bir değer olmalıdır (küçük olandan büyük olana kadar). Örneğin %10 ve %40'lık iki çözelti karıştırıldığında sonuç %20 civarında bir değer olabilir ama asla %5 ya da %50 gibi bu aralığın dışında bir sonuç ÇIKAMAZ; hesaplama sonucu bu aralığın dışına çıkarsa işlemde mutlaka bir hata yapılmış demektir. Bu sağlama yöntemi, karışım sorularında hızlı hata tespiti için oldukça kullanışlıdır.
Anahtar Noktalar
- Temel formül: Σ(miktar × oran) = toplam karışım × karışım oranı
- Yüzdeler ondalık formda kullanılır (%20 → 0,20)
- Karışımdan su eklenirse tuz miktarı sabit, toplam artar; yüzde düşer
- Karışımdan su buharlaştırılırsa tuz miktarı sabit, toplam azalır; yüzde artar
- Karışımdan bir kısım alınıp su konulursa: önce kalan tuz hesaplanır, sonra yeni yüzde
- Denge noktası (iç oranlar) yöntemi: (büyük oran - istenen):(istenen - küçük oran) = küçük miktar:büyük miktar
- Alaşım problemlerinde metal miktarı korunur, toplam kütleye bölünür
- İki karışımın ortalaması her zaman iki oran arasında kalır
- Saf madde (%100) eklemede, eklenen miktarın tamamı doğrudan madde miktarına eklenir
- Saf su (%0) eklemede madde miktarı değişmez, yalnızca toplam karışım artar
- Sağlama: karışım sonucu, birleştirilen iki yüzdenin ARASINDA olmalıdır; dışına çıkarsa hata vardır
Sayı, Yaş, Kar-Zarar, Yüzde ve Faiz Problemleri
Yüzde, kâr-zarar, faiz ve yaş problemleri günlük hayattan örneklerle kurulan denklem problemleridir; doğru denklemi kurmayı öğrenmek çözümün yarısıdır.
Konu Özeti
- Yüzde (%) ifadesi, bir bütünün 100 eş parçasından kaç tanesi anlamına gelir; %20 demek 20/100 = 0,20 demektir. Bir sayının yüzdesini bulmak için sayı, yüzde oranıyla (ondalık hale getirilerek) çarpılır. Örnek: 250'nin %20'si = 250 × 0,20 = 50. İndirim problemlerinde, indirimli fiyat = orijinal fiyat − (orijinal fiyat × indirim oranı) şeklinde hesaplanır. Örnek: 400 TL'lik bir ürün %15 indirimle satılırsa: 400 − (400×0,15) = 400 − 60 = 340 TL.
- Kâr-zarar problemlerinde, kâr = satış fiyatı − alış fiyatı'dır (satış > alış ise kârdır). Kâr yüzdesi = (kâr / alış fiyatı) × 100 formülüyle bulunur. Örnek: 800 TL'ye alınan bir mal 920 TL'ye satılırsa kâr = 920−800=120 TL'dir. Kâr yüzdesi = (120/800)×100 = %15. Tersine, alış fiyatı bilinmeyip satış fiyatı ve kâr yüzdesi verilirse: alış fiyatı = satış fiyatı / (1 + kâr oranı). Örnek: %25 kârla 500 TL'ye satılan bir ürünün alış fiyatı = 500 / 1,25 = 400 TL.
- Basit faiz problemlerinde faiz tutarı = anapara × faiz oranı × süre (yıl) formülüyle hesaplanır. Örnek: Yıllık %10 faiz oranıyla 2000 TL, 3 yılda ne kadar faiz getirir? Faiz = 2000 × 0,10 × 3 = 600 TL.
- Yaş problemlerinde, kişilerin bugünkü yaşları bilinmeyen olarak (x, y gibi) tanımlanır ve sorudaki ilişkiler (kaç kat, kaç yıl sonra/önce) denklem haline getirilir. Örnek: Babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır (baba=4x, oğul=x). 5 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacaktır: 4x+5 = 3(x+5) → 4x+5=3x+15 → x=10. Oğul 10, baba 40 yaşındadır.
- Zarar durumunda formüller kâr formülleriyle simetriktir: Zarar = alış fiyatı − satış fiyatı (alış > satış ise zarardır) ve Zarar yüzdesi = (zarar / alış fiyatı) × 100'dür. Zararlı satışta satış fiyatı = alış fiyatı × (1 − zarar oranı) formülüyle bulunur; örneğin %12 zararla satılan 1500 TL'lik bir eşyanın satış fiyatı 1500×(1−0,12)=1500×0,88=1320 TL'dir. Kârda çarpan (1+oran), zararda ise (1−oran) kullanıldığı unutulmamalıdır.
- Art arda (ardışık) yüzde değişimlerinde yüzdeler birbirine doğrudan toplanıp çıkarılamaz; her değişim bir önceki sonuç üzerinden çarpımsal olarak uygulanır. Örnek: 200 TL'lik bir ürüne önce %20 zam, sonra %10 indirim yapılırsa: önce 200×1,20=240 TL, sonra 240×0,90=216 TL olur. Sonuç, doğrudan %10 zam yapılmış gibi (200×1,10=220 TL) DEĞİLDİR; bu, KPSS'de en sık düşülen tuzaklardan biridir çünkü %20 zam ve %10 indirimin net etkisi %20−%10=%10 zam değildir, gerçek net değişim burada %8'dir (216 TL, 200 TL'nin %108'idir).
- Basit faiz ile bileşik faiz kavramsal olarak farklıdır: basit faizde her yıl faiz, sabit anapara üzerinden hesaplanır (Faiz = anapara × oran × yıl), bileşik faizde ise bir önceki yılın faizi de anaparaya eklenerek bir sonraki yılın faizi büyümüş anapara üzerinden hesaplanır (Toplam tutar = anapara × (1+oran)^yıl). KPSS Genel Yetenek'te ağırlıklı olarak basit faiz sorulur, ancak iki kavramın birbirine karıştırılmaması gerekir; bileşik faizde kazanç, basit faize göre daha hızlı büyür.
Anahtar Noktalar
- %a = a/100 = a'nın ondalık karşılığı (örnek: %20 = 0,20)
- İndirimli fiyat = fiyat − (fiyat × indirim oranı)
- Kâr = satış fiyatı − alış fiyatı; Kâr yüzdesi = (kâr/alış fiyatı)×100
- Alış fiyatı = satış fiyatı / (1 + kâr oranı) [kârlı satışta]
- Basit faiz = anapara × oran × yıl
- Yaş problemlerinde 'x yıl sonra' ifadesi her iki kişinin yaşına da aynı x eklenir
- Yaş farkı zamanla DEĞİŞMEZ, sadece yaşların kendisi değişir
- KDV dahil fiyat = KDV hariç fiyat × (1 + KDV oranı)
- Zarar = alış fiyatı − satış fiyatı; Zarar yüzdesi = (zarar/alış fiyatı)×100
- Zararlı satışta satış fiyatı = alış fiyatı × (1 − zarar oranı)
- Art arda yüzde değişimleri TOPLANMAZ, çarpımsal olarak (her biri bir önceki sonuca) uygulanır
- %a zam + %b indirim ardışık uygulandığında net değişim genellikle a−b değildir
- Bileşik faizde tutar = anapara × (1+oran)^yıl; basit faizden daha hızlı büyür
Hareket, Hız ve İşçi-Havuz Problemleri
Hız=yol/zaman formülü ile işçi-havuz problemlerindeki 'birim zamanda yapılan iş' mantığı aslında aynı temel fikre dayanır: bir büyüklüğün zamana bölünmesi.
Konu Özeti
- Hareket problemlerinin temel formülü: Hız = Yol / Zaman, buradan Yol = Hız × Zaman ve Zaman = Yol / Hız türetilir. Örnek: 240 km yolu 4 saatte alan bir aracın hızı = 240/4 = 60 km/saat. Birim dönüşümü de önemlidir: km/saat'i m/saniye'ye çevirmek için 1000'e çarpılıp 3600'e bölünür (ya da kısaca 3,6'ya bölünür). Örnek: 72 km/saat = 72×1000/3600 = 20 m/saniye.
- İki araç birbirine zıt yönden hareket ediyorsa ve aralarındaki mesafeyi kapatıyorlarsa, hızları toplanır: buluşma zamanı = toplam mesafe / (hız1+hız2). Aynı yönde hareket edip biri diğerini yakalıyorsa hızları çıkarılır: yakalama zamanı = mesafe / (hız farkı). Örnek: 280 km arayla, birbirine doğru 60 km/saat ve 80 km/saat hızla giden iki tren kaç saatte karşılaşır? 280/(60+80) = 280/140 = 2 saat.
- İşçi-havuz problemlerinde, bir işi tek başına tamamlayan birinin 'birim zamanda yaptığı iş oranı' 1/süre olarak ifade edilir. Birlikte çalışıldığında oranlar toplanır. Örnek: Bir işi A 6 günde, B 12 günde bitiriyor. Birlikte çalışırlarsa: A'nın hızı 1/6, B'nin hızı 1/12. Toplam hız: 1/6+1/12 = 2/12+1/12=3/12=1/4. Süre = 1/(1/4) = 4 gün.
- Havuzu dolduran ve boşaltan musluklar birlikte açıldığında, doldurma hızından boşaltma hızı çıkarılır. Örnek: Dolduran musluk 5 saatte, boşaltan musluk 8 saatte havuzu bitiriyor. Birlikte açılırsa net hız = 1/5 − 1/8 = 8/40−5/40=3/40. Havuz 40/3 saatte (yani 13 saat 20 dakikada) dolar.
- Tren-köprü (uzunluğu olan cisim) problemlerinde, bir trenin sabit bir noktayı (örneğin bir direği) geçme süresinde alınan yol yalnızca trenin kendi boyudur; ancak trenin bir köprüyü ya da tüneli baştan sona geçme süresinde alınan yol, trenin boyu İLE köprünün/tünelin uzunluğunun TOPLAMINA eşittir. Örnek: 150 m uzunluğundaki bir tren, 20 m/saniye hızla 450 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç saniyede geçer? Toplam alınan yol = 150+450=600 m; süre = 600/20 = 30 saniye.
- Dairesel pist problemlerinde iki hareketli aynı noktadan aynı anda harekete başlarsa: zıt yönlerde hareket ediyorlarsa ilk karşılaşma süresi = pist uzunluğu / (hız1+hız2)'dir (hızlar toplanır, tıpkı doğrusal yolda karşıdan karşıya gelme gibi). Aynı yönde hareket ediyorlarsa hızlı olan yavaş olanı tur farkı kadar geçene dek hızlar farkına göre yol kat eder; ilk yakalama (bir tur farkı atma) süresi = pist uzunluğu / (hız farkı)'dır. Bu mantık, doğrusal yoldaki kovalama problemleriyle birebir aynıdır, tek fark yolun bir çember oluşturmasıdır.
- Ortalama hız hesabında yapılan en yaygın hata, gidiş ve dönüş hızlarının basit aritmetik ortalamasını almaktır (örneğin (90+60)/2=75 km/saat DEMEK YANLIŞTIR); doğru yöntem her zaman toplam yolun toplam zamana bölünmesidir, çünkü gidiş ve dönüşte geçen süreler eşit değildir (hız arttıkça süre kısalır). Yalnızca gidiş ve dönüşte EŞİT SÜRE geçirilmişse aritmetik ortalama doğru sonucu verir; eşit YOL alındığında ise (yukarıdaki gibi) mutlaka toplam yol/toplam zaman yöntemi kullanılmalıdır.
Anahtar Noktalar
- Hız = Yol / Zaman, Yol = Hız × Zaman, Zaman = Yol / Hız
- Zıt yönde hareket: hızlar TOPLANIR (buluşma için)
- Aynı yönde hareket (kovalama): hızlar ÇIKARILIR (yakalama için)
- Bir işi x günde bitiren kişinin günlük iş hızı = 1/x
- Birlikte çalışmada iş hızları TOPLANIR: 1/x + 1/y = 1/birlikte süre
- Dolduran ve boşaltan musluk birlikteyse: doldurma hızı − boşaltma hızı
- km/saat'ten m/saniye'ye çevirmek için 3,6'ya bölünür
- Ortalama hız = TOPLAM yol / TOPLAM zaman (hızların ortalaması DEĞİL)
- Trenin sabit noktayı geçme yolu = tren boyu; köprü/tünel geçme yolu = tren boyu + köprü/tünel boyu
- Dairesel pistte zıt yönde ilk karşılaşma = çevre / (hız1+hız2)
- Dairesel pistte aynı yönde ilk yakalama (bir tur farkı) = çevre / (hız farkı)
- Hızların aritmetik ortalaması yalnızca EŞİT SÜRELERDE geçerlidir, EŞİT YOLDA değil
Sınava Hazırlık Araçları
Sınav stratejinizi güçlendirmek için ücretsiz araçlarımızı keşfedin: