Çarpanlara Ayırma 4

1. a - b = 5 ve a.b = 5 olduğuna göre, a³ - b³ kaçtır?

• A) 200 ✓
• B) 125
• C) 150
• D) 225

Özdeşlik:‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) • a² + b² = (a - b)² + 2ab = 25 + 10 = 35 • a³ - b³ = 5 . (35 + 5) = 5 . 40 = 200. Sonuç: 200.

2. a - b = 4 ve a.b = 5 olduğuna göre, a³ - b³ kaçtır?

• A) 124 ✓
• B) 100
• C) 114
• D) 64

a³‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b) • 4³ + 3(5)(4) = 64 + 60 = 124. Sonuç: 124.

3. 519 . 800 - 519 . 790 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 5190 ✓
• B) 5000
• C) 51900
• D) 1000

519‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ortak parantezine alalım. • 519 . (800 - 790) • 519 . 10 = 5190. Sonuç: 5190.

4. 203² - 201² işleminin sonucu kaçtır?

• A) 808 ✓
• B) 404
• C) 202
• D) 1616

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare farkı özdeşliği. • (203 - 201)(203 + 201) • 2 . 404 = 808. Sonuç: 808.

5. a + b = 10 ve a.b = 7 olduğuna göre, a² + b² kaçtır?

• A) 86 ✓
• B) 100
• C) 114
• D) 93

(a‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + b)² = a² + b² + 2ab • 10² = a² + b² + 2.7 • 100 = a² + b² + 14 • a² + b² = 86. Sonuç: 86.

6. (2003³ + 1) / (2003² - 2003 + 1) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 2004 ✓
• B) 2002
• C) 2003
• D) 2005

x‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2003 olsun. • (x³ + 1) / (x² - x + 1) = (x + 1)(x² - x + 1) / (x² - x + 1) • = x + 1 • 2003 + 1 = 2004. Sonuç: 2004.

7. x ve y pozitif gerçel sayıları için x.y = 5 ve x² + y² = 15 olduğuna göre, x³ + y³ kaçtır?

• A) 50 ✓
• B) 40
• C) 45
• D) 60

(x‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + y)² = x² + y² + 2xy = 15 + 10 = 25 → x + y = 5 • x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) • 125 - 3(5)(5) = 125 - 75 = 50. Sonuç: 50.

8. a³ + b³ özdeşliği aşağıdakilerden hangisidir?

• A) (a + b)(a² - ab + b²) ✓
• B) (a - b)(a² + ab + b²)
• C) (a + b)³
• D) (a + b)(a² + ab + b²)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ küp toplamı özdeşliği tanımıdır. • Formül: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Sonuç: (a + b)(a² - ab + b²)

9. x² - 4x + 4 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında hangisi elde edilir?

• A) (x + 2)²
• B) (x - 2)(x + 2)
• C) (x - 2)² ✓
• D) (x - 4)(x + 4)

Tam‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare özdeşliği kullanılır. Formül: (a - b)² = a² - 2ab + b² • İfade: x² - 2(2)x + 2² • Eşleşme: a=x, b=2 Sonuç: (x - 2)²

10. 4x² - 9 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında hangisi elde edilir?

• A) (4x - 3)(4x + 3)
• B) (2x - 3)(2x + 3) ✓
• C) (2x + 3)²
• D) (x - 3)(x + 3)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: (2x)² - 3² • Formül: a² - b² = (a - b)(a + b) • Açılım: (2x - 3)(2x + 3) Sonuç: (2x - 3)(2x + 3)

11. x² + 6x + 9 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x - 3)²
• B) (x - 6)(x - 3)
• C) (x + 6)(x + 3)
• D) (x + 3)² ✓

Tam‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare özdeşliği kullanılır. • İfade: x² + 2(3)x + 3² • Bu ifade (x + 3)'ün karesidir. Sonuç: (x + 3)²

12. x² - 25 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında hangisi elde edilir?

• A) (x + 5)²
• B) (x - 5)(x + 5) ✓
• C) (x - 5)²
• D) (x - 25)(x + 25)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: x² - 5² • Açılım: (x - 5)(x + 5) Sonuç: (x - 5)(x + 5)

13. x² + 8x + 15 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x + 5)(x - 3)
• B) (x - 15)(x + 1)
• C) (x + 15)(x + 1)
• D) (x + 3)(x + 5) ✓

Üç‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: +3 ve +5 • Kontrol: 3.5=15 ve 3+5=8 Sonuç: (x + 3)(x + 5)

14. 2x² - 18 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) 2(x² - 9)
• B) 2(x - 9)(x + 9)
• C) (x - 3)(x - 9)
• D) 2(x - 3)(x + 3) ✓

Önce‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ortak çarpan, sonra iki kare farkı uygulanır. • Adım 1: 2(x² - 9) • Adım 2: 2(x² - 3²) • Adım 3: 2(x - 3)(x + 3) Sonuç: 2(x - 3)(x + 3)

15. x² + 2x - 8 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x - 2)²
• B) (x + 4)²
• C) (x + 2)(x - 4)
• D) (x - 2)(x + 4) ✓

Üç‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: +4 ve -2 • Kontrol: 4.(-2)=-8 ve 4+(-2)=2 Sonuç: (x + 4)(x - 2)

16. x³ - 8 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x² - 4)(x + 2)
• B) (x - 2)(x² + 2x + 4) ✓
• C) (x - 2)³
• D) (x - 4)(x + 2)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ küp farkı özdeşliği kullanılır. Formül: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) • İfade: x³ - 2³ • Açılım: (x - 2)(x² + 2x + 4) Sonuç: (x - 2)(x² + 2x + 4)

17. x² - 6x + 9 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x - 9)(x + 1)
• B) (x + 3)²
• C) (x - 6)(x + 3)
• D) (x - 3)² ✓

Tam‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare özdeşliği kullanılır. • İfade: x² - 2(3)x + 3² • (x - 3)(x - 3) Sonuç: (x - 3)²

18. x² - 4x - 12 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x - 6)(x + 2) ✓
• B) (x + 6)(x - 2)
• C) (x - 4)(x + 3)
• D) (x - 3)(x + 4)

Üç‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: -6 ve +2 • Kontrol: (-6).2 = -12 ve -6+2 = -4 Sonuç: (x - 6)(x + 2)

19. x³ + 27 ifadesi çarpanlarına ayrıldığında ne elde edilir?

• A) (x + 9)(x - 3)
• B) (x + 3)(x² + 3x + 9)
• C) (x + 3)(x² - 3x + 9) ✓
• D) (x + 3)(x - 3)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ küp toplamı özdeşliği kullanılır. Formül: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) • İfade: x³ + 3³ • Açılım: (x + 3)(x² - 3x + 9) Sonuç: (x + 3)(x² - 3x + 9)

20. A = 100 + 110 + 120 + ... + 200 olduğuna göre, A sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?

• A) 21 ✓
• B) 35
• C) 38
• D) 39

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ A = 10(10 + 11 + 12 + ... + 20) • Aritmetik dizi toplamı: (20-9) × (10+20) / 2 = 11 × 30 / 2 = 165 • A = 10 × 165 = 1650 = 2 × 5² × 3 × 11 • Asal çarpanlar toplamı: 2 + 5 + 3 + 11 = 21 Sonuç: 21.

21. x doğal sayı, y tam sayıdır. x = (2y + 24) / y olduğuna göre, x kaç farklı değer alabilir?

• A) 16
• B) 14
• C) 12
• D) 10 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ x = 2 + 24/y • x doğal sayı olması için 24/y tam sayı olmalı • y, 24'ün böleni olmalı: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 • x = 2 + 24/y pozitif olmalı • y > 0 için: y ∈ {1,2,3,4,6,8,12,24} → x ∈ {26,14,10,8,6,5,4,3} • y < 0 için: y ∈ {-1,-2,-3,-4,-6,-8,-12,-24} → x negatif veya 0 (doğal değil) • Sadece y = -24 için x = 2 - 1 = 1 (doğal) • Toplam 8 + 2 = 10 farklı değer Sonuç: 10.

22. 140 sayısının sağında kaç sıfır daha olsaydı, asal olmayan pozitif tam sayı bölenleri sayısı 141 olurdu?

• A) 5
• B) 6 ✓
• C) 7
• D) 8

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 140 × 10ⁿ = 14 × 10ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺² × 7 × 5ⁿ⁺¹ • Pozitif bölen sayısı: (n+3) × 2 × (n+2) • Asal olmayan bölen sayısı = Toplam - 3 (asal: 2,5,7) • (n+3)(n+2) × 2 - 3 = 141 • (n+3)(n+2) = 72 → n+3 = 9, n+2 = 8 → n = 6 Sonuç: 6.

23. 12 + 18 + 24 + ... + 66 toplamının asal bölenleri toplamı kaçtır?

• A) 13
• B) 15
• C) 18
• D) 23 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Toplam = 6(2 + 3 + 4 + ... + 11) • 2'den 11'e kadar 10 terim: 10 × 13 / 2 = 65 • Toplam = 6 × 65 = 390 = 2 × 3 × 5 × 13 • Asal bölenler toplamı: 2 + 3 + 5 + 13 = 23 Sonuç: 23.

24. x ve y aralarında asal pozitif sayılardır. 25x² = 9(x² + y²) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

• A) 9
• B) 8
• C) 7 ✓
• D) 6

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 25x² = 9x² + 9y² • 16x² = 9y² • (4x)² = (3y)² • 4x = 3y → x/y = 3/4 • Aralarında asal olduğundan x = 3, y = 4 • x + y = 3 + 4 = 7 Sonuç: 7.