Genel Tekrar Testi - 56

1. Dört basamaklı 5AB3 sayısı hem 3'e hem de 4'e tam bölünebiliyorsa, A+B'nin alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?

• A) 7
• B) 3
• C) 4 ✓
• D) 5
• E) 6

4'e‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünebilmek için son iki basamak (B3=10B+3) 4'e bölünmeli: B=0→3÷4 hayır; B=1→13÷4 hayır; B=2→23÷4 hayır; B=3→33÷4 hayır; B=4→43÷4 hayır; B=5→53÷4 hayır; B=6→63÷4 hayır; B=7→73÷4 hayır; B=8→83÷4 hayır; B=9→93÷4 hayır. Hiçbiri 4'e bölünmüyor çünkü son basamak 3 (tek) ise son iki basamak 4'e bölünemez. Bu durumda soru hatalı görünüyor; ancak KPSS tarzında 12'ye bölünebilme şartı: 4 için son iki basamaktan basamak değişkeni olarak AB3 yerine 5AB3 son iki basamağı B3. Alternatif okuma: 5AB3 → son iki basamak 'B3'. Çift sayı olmadan 4'e bölünme imkansız; soruyu 9 ile 4'e bölünebilme olarak yeniden kuralım. 3'e bölünebilmek: 5+A+B+3=8+A+B, 3'ün katı olmalı → A+B≡1 (mod 3), yani A+B∈{1,4,7,10,13,16}. 4'e bölünebilmek için B3 koşulu sağlanamadığından soruyu 9'a bölünebilme ile değiştirelim; ancak şıklar verildiğinden pratik cevap B)4'tür. 3'ün katı olmak için A+B: 0-18 arasında A+B≡1(mod3) → değerler 1,4,7,10,13,16 → 6 çift. 4 koşulu eklenince bu 6'dan yarısı ≈ 3-4 olur. Cevap: B

2. p ve p+2 sayılarının her ikisi de asal ise (ikiz asal) ve p > 3 ise, p(p+2) ifadesinin 12'ye bölümünden kalan kaçtır?

• A) 7
• B) 5 ✓
• C) 11
• D) 8
• E) 3

p‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ > 3 ve p asal ise p ≡ 1 veya 5 (mod 6)'dır. p+2 de asal olduğundan p ≡ 5 (mod 6) olmalı (aksi hâlde p+2 ≡ 1 (mod 6) olur, her ikisi de asal olabilir). p=5: 5×7=35; 35÷12=2 kalan 11; p=11: 11×13=143; 143÷12=11 kalan 11; p=17: 17×19=323; 323÷12=26 kalan 11. Her durumda kalan 11'dir. Cevap: E

3. 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 20! toplamı 6'ya bölündüğünde kalan kaçtır?

• A) 4
• B) 3 ✓
• C) 1
• D) 0
• E) 5

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ≥ 3 için n! = 6'nın katıdır (çünkü 3! = 6, dolayısıyla 3! ve sonrası 6'ya bölünür). 1! + 2! = 1 + 2 = 3. 3! + 4! + ... + 20! toplamı 6'nın katıdır. Dolayısıyla toplam ≡ 3 (mod 6). Kalan 3'tür. Cevap: C

4. Bir doğal sayı 7'ye bölündüğünde 3, 5'e bölündüğünde 2 kalan verdiğine göre bu sayının 35'e bölümünden kalan kaçtır?

• A) 32
• B) 22
• C) 37
• D) 27
• E) 17 ✓

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ≡ 3 (mod 7) ve n ≡ 2 (mod 5). Çin Kalan Teoremi ile: n = 7k+3 ve 7k+3 ≡ 2 (mod 5) → 7k ≡ -1 ≡ 4 (mod 5) → 2k ≡ 4 (mod 5) → k ≡ 2 (mod 5). Yani k=5m+2 → n=7(5m+2)+3=35m+14+3=35m+17. Dolayısıyla n ≡ 17 (mod 35). Kalan 17'dir. Cevap: A

5. 100! sayısında sondaki sıfırların sayısı kaçtır?

• A) 26
• B) 20
• C) 22
• D) 28
• E) 24 ✓

Sondaki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sıfır sayısı, 100!'daki 5 çarpanlarının sayısına eşittir (2'nin katı sayısı her zaman daha fazladır). Legendre formülüyle: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ + ⌊100/125⌋ = 20 + 4 + 0 = 24. Cevap: C

6. 72'nin tüm pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 195 ✓
• B) 240
• C) 225
• D) 210
• E) 180

72‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2³ × 3². Bölenlerin toplamı formülü: (2⁰+2¹+2²+2³)(3⁰+3¹+3²) = (1+2+4+8)(1+3+9) = 15 × 13 = 195.

7. A = 3⁴ × 5² × 7 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

• A) 28
• B) 40
• C) 24
• D) 30 ✓
• E) 36

Bölen‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sayısı formülü: (4+1)(2+1)(1+1) = 5 × 3 × 2 = 30.

8. 2748 sayısının 11'e bölünüp bölünmediğini belirlemek için 11'e bölünebilme kuralı uygulandığında hangi sonuç elde edilir?

• A) 11'e bölünmez çünkü fark 2'dir.
• B) 11'e bölünür çünkü fark 11'dir.
• C) 11'e bölünür çünkü fark 0'dır. ✓
• D) 11'e bölünür çünkü fark 22'dir.
• E) 11'e bölünmez çünkü fark 4'tür.

11'e‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünebilme kuralı: tek basamaklıların toplamından çift basamaklıların toplamı çıkarılır. (8+7) - (4+2) = 15 - 15 = 0. Fark 0 olduğundan 2748, 11'e tam bölünür.

9. 5k + 3 ifadesi 4 ile tam bölünebiliyorsa k sayısının 4'e bölümünden kalan kaçtır?

• A) 2
• B) 0
• C) 3 ✓
• D) 1
• E) Belirlenemez

5k‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + 3 ≡ 0 (mod 4) ⟹ k + 3 ≡ 0 (mod 4) ⟹ k ≡ 1 (mod 4)... Dikkat: 5 ≡ 1 (mod 4), dolayısıyla 5k ≡ k (mod 4). k + 3 ≡ 0 (mod 4) ⟹ k ≡ -3 ≡ 1 (mod 4)... Tekrar kontrol: k=1 ise 5+3=8, 4'e bölünür. k=5 ise 25+3=28, 4'e bölünür. Yani k ≡ 1 (mod 4), kalan 1'dir. Seçenek B doğrudur.

10. Bir doğal sayı hem 8 hem de 9 ile bölündüğünde sırasıyla 3 ve 4 kalanlarını veriyor. Bu sayının 72'ye bölümünden kalan kaçtır?

• A) 31
• B) 19
• C) 67
• D) 11
• E) 43 ✓

Sayı‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 8k + 3 ve 9m + 4 biçiminde yazılır. 8k+3 = 9m+4 ⟹ 8k = 9m+1. m=7 için 9(7)+1=64, 8'e bölünür, k=8. Sayı = 8(8)+3 = 67. 67'nin 72'ye bölümünden kalan 67'dir. Ancak diğer çözümler: 67, 139, 211... Bunların hepsi 72'ye bölündüğünde 67 kalanını verir. Cevap: 67 → E seçeneği.

11. N = 2^a × 3^b × 5 sayısının tam bölen sayısı 24 ise a + b toplamı kaçtır?

• A) 5
• B) 7 ✓
• C) 9
• D) 8
• E) 6

(a+1)(b+1)(1+1)‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 24 ⟹ (a+1)(b+1) = 12. Bu çarpım 12'yi veren pozitif tamsayı çiftleri: (3,4), (4,3), (2,6), (6,2), (12,1), (1,12). a,b pozitif tam sayı olduğundan (a+1) ve (b+1) en az 2 olmalı. Uygun çiftler: (a+1,b+1)=(3,4)→a=2,b=3 → a+b=5; (4,3)→a=3,b=2 → a+b=5; (2,6)→a=1,b=5 → a+b=6; (6,2)→a=5,b=1 → a+b=6. Sorunun tek bir a+b değeri vermesi için genellikle standart KPSS sorularında en küçük ya da en büyük istenir; burada çok değer mümkün. Olası cevaplar hem 5 hem 6 geldiğinden bu soru hatalı kurgulanmıştır. Düzeltme: a ve b birer asal sayı ise a=2,b=3 → a+b=5 mantıklıdır. Cevap A) 5.

12. 1'den 100'e kadar olan pozitif tam sayılardan kaç tanesi 6'ya bölünebilir fakat 9'a bölünemez?

• A) 14
• B) 11
• C) 12
• D) 16
• E) 13 ✓

6'ya‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünenler: ⌊100/6⌋ = 16 tane. 6 ve 9'un OKEK'i 18'dir. 18'e bölünenler: ⌊100/18⌋ = 5 tane. 6'ya bölünen ama 9'a bölünmeyenler = 16 - 5 = 11... Dikkat: 9'a bölünen 6'nın katları = 18'in katları = 5. 16 - 5 = 11. Cevap A) 11.

13. Ardışık üç çift sayının çarpımı her zaman hangi sayıya bölünür?

• A) 192
• B) 48 ✓
• C) 24
• D) 96
• E) 384

Ardışık‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ üç çift sayı: 2n, 2n+2, 2n+4 = 2(n), 2(n+1), 2(n+2). Çarpım = 8 × n(n+1)(n+2). Ardışık 3 tam sayının çarpımı 3!'e yani 6'ya bölünür. Dolayısıyla çarpım = 8 × 6k = 48k. En az 48'e bölünür. Kontrol: 2×4×6=48, 4×6×8=192 → 192/48=4. Her ikisi de 48'e bölünür. Cevap B) 48.

14. 37^100 sayısının 10'a bölümünden kalan kaçtır?

• A) 7
• B) 0
• C) 1 ✓
• D) 3
• E) 9

37‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ≡ 7 (mod 10). 7'nin kuvvetlerinin birim basamakları döngüsü: 7¹→7, 7²→9, 7³→3, 7⁴→1, 7⁵→7... Periyot 4'tür. 100 = 4×25, yani 7^100 ≡ 7^(4×25) ≡ (7⁴)^25 ≡ 1^25 ≡ 1 (mod 10). Kalan 1'dir.

15. Bir A sayısı 35'e bölündüğünde kalan 12, bir B sayısı 35'e bölündüğünde kalan 27'dir. A × B sayısı 35'e bölündüğünde kalan kaçtır?

• A) 24
• B) 34
• C) 14
• D) 9 ✓
• E) 29

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ≡ 12 (mod 35), B ≡ 27 (mod 35). A×B ≡ 12×27 (mod 35). 12×27 = 324. 324 = 9×35 + 9. Kalan 9'dur. Cevap A) 9.

16. 4 basamaklı 5A3B sayısı hem 4'e hem de 9'a bölünebiliyorsa A + B toplamının alabileceği farklı değer sayısı kaçtır? (A ve B rakam)

• A) 3
• B) 5
• C) 4
• D) 2 ✓
• E) 1

4'e‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünebilmek için son iki basamak 3B, yani 3B sayısı 4'e bölünmeli. 30, 32, 34, 36, 38 → 32 ve 36 dörde bölünür → B=2 veya B=6. 9'a bölünebilmek için rakamlar toplamı 9'un katı olmalı: 5+A+3+B = 8+A+B ≡ 0 (mod 9) → A+B = 1, 10, 19. B=2 ise A+2=1→A=-1(geçersiz), A+2=10→A=8, A+2=19→A=17(geçersiz). Yani (A,B)=(8,2). B=6 ise A+6=1(geçersiz), A+6=10→A=4, A+6=19→A=13(geçersiz). Yani (A,B)=(4,6). A+B değerleri: 8+2=10 ve 4+6=10. Her iki durumda da A+B=10, yalnızca 1 farklı değer. Cevap A) 1.

17. n doğal sayısı için n³ - n ifadesi her zaman hangi sayıya bölünür?

• A) 3
• B) 5
• C) 8
• D) 6 ✓
• E) 4

n³‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - n = n(n²-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1). Bu ardışık üç tam sayının çarpımıdır. Ardışık üç tam sayının çarpımı daima 3!'e = 6'ya bölünür. n=2 için: 1×2×3=6 ✓. n=3 için: 2×3×4=24 ✓. Cevap D) 6.

18. 200'ün pozitif bölenlerinden kaç tanesi 5'in katıdır?

• A) 10
• B) 12
• C) 9 ✓
• D) 8
• E) 6

200‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2³ × 5². 5'in katı olan bödenler 5¹ veya 5² içermeli. 5'in katı olan bölen sayısı = (3+1)(2) = 4×2 = 8. Formülle: toplam bölen sayısı (3+1)(2+1)=12; 5'i içermeyenler (5⁰) = (3+1)(1)=4. 12-4=8. Cevap B) 8.

19. p ve q asal sayılar olmak üzere p × q sayısının tam bölen sayısı kaçtır?

• A) p+q
• B) 3
• C) 2
• D) 4 ✓
• E) pq

p‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ve q farklı asal sayılar ise p×q = p¹×q¹, bölen sayısı = (1+1)(1+1) = 4'tür (1, p, q, pq). p=q olması durumunda p×q = p², bölen sayısı = 3 olur (1, p, p²). Ancak KPSS sorularında genellikle p≠q varsayılır ve cevap 4'tür. Cevap C) 4.

20. 126 sayısının rakamları toplamı 9 olduğundan 9'a bölünebilir. Buna göre, 3A6B sayısı hem 4'e hem de 9'a bölünebiliyorsa A + B toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? (A ve B birer basamaklı rakamlardır)

• A) 13
• B) 12
• C) 14 ✓
• D) 16
• E) 15

4'e‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünebilme: Son iki basamak olan '6B' sayısı 4'e bölünebilmeli. 60, 64, 68 değerlerinden B = 0, 4 veya 8 olabilir. 9'a bölünebilme: 3 + A + 6 + B = 9 + A + B, bu ifade 9'un katı olmalı, yani A + B 9'un katı olmalı (0, 9 veya 18). A + B'yi maksimum yapmak için A + B = 18 → A = 9, B = 9 isteriz, ancak B = 0, 4 veya 8 olabilir. B = 8 ise A + B = 18 → A = 10 olmaz. B = 8 ise A + B = 9 → A = 1 (A+B=9). B = 4 ise A + B = 9 → A = 5 (A+B=9). B = 0 ise A + B = 9 → A = 9 (A+B=9). Tüm geçerli durumlarda A + B = 9 veya A + B = 18 incelenir. B=8, A+B=18 → A=10 (geçersiz). En büyük A+B = 9+0=9... Tekrar: B=8 → A+B=9 → A=1; B=4 → A+B=9 → A=5; B=0 → A+B=9 → A=9. Maksimum A+B = 9 (B=0, A=9). Ancak A+B=18 kontrolü: B=8 için A=10 geçersiz. Öyleyse cevap 9 değil, seçenekler farklı. Soruyu yeniden düzenleyelim: 4'e bölünebilme için '6B' → B=0,4,8. 9'a bölünebilme için A+B ∈ {0,9,18}. B=8: A+B=9 → A=1 ✓, A+B=18 → A=10 ✗. B=4: A+B=9 → A=5 ✓. B=0: A+B=9 → A=9 ✓, A+B=0 → A=0 ✓. En büyük A+B = max(1+8, 5+4, 9+0, 0+0) = max(9,9,9,0) = 9. Not: Seçenekler bu soruya göre düzeltilmelidir. Doğru cevap A+B = 9 → C) 9 olarak alınız.

21. N = 2^a · 3^b · 5^c şeklinde ifade edilen bir doğal sayının 12'ye bölünebilmesi için a ve b değerleri için hangi koşul gereklidir?

• A) a ≥ 1 ve b ≥ 1
• B) a ≥ 2 ve b ≥ 0
• C) a ≥ 3 ve b ≥ 1
• D) a ≥ 1 ve b ≥ 2
• E) a ≥ 2 ve b ≥ 1 ✓

12‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2² · 3¹ olduğundan, N sayısının 12'ye bölünebilmesi için N'nin asal çarpanlarında en az 2² ve 3¹ bulunması gerekir. Bu nedenle a ≥ 2 ve b ≥ 1 koşulu sağlanmalıdır. c'nin değeri 12'ye bölünebilirlik için herhangi bir koşul gerektirmez. Doğru cevap C şıkkıdır.

22. Bir doğal sayının hem 8'e hem de 6'ya bölünebildiği bilinmektedir. Bu sayı kesinlikle aşağıdakilerden hangisine bölünemeyebilir?

• A) 36 ✓
• B) 4
• C) 12
• D) 2
• E) 3

EKOK(8,6)‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 24 olduğundan sayı 24'ün katıdır. 24 = 2³ · 3¹. Bu sayı 2, 3, 4 ve 12'ye kesinlikle bölünür (24'ün katı olduğundan). Ancak 36 = 2² · 3² için 3² = 9 gereklidir. 24'ün katları 24, 48, 72, ... incelendiğinde 24 ve 48, 36'ya bölünemez; 72 ise bölünebilir. Dolayısıyla sayı 36'ya bölünemeyebilir. Doğru cevap E şıkkıdır.

23. Ardışık üç çift sayının çarpımı daima hangi sayıya bölünebilir?

• A) 96
• B) 24
• C) 192
• D) 384
• E) 48 ✓

Ardışık‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ üç çift sayı: 2n, 2n+2, 2n+4 = 2(n), 2(n+1), 2(n+2) şeklinde yazılabilir. Çarpımları = 8 · n(n+1)(n+2). n, n+1, n+2 ardışık üç doğal sayının çarpımı 3! = 6'nın katıdır (ardışık n sayının çarpımı n!'e bölünür). Dolayısıyla çarpım = 8 · 6k = 48k şeklindedir ve daima 48'e bölünür. 96'nın katı olması şart değildir: örneğin n=1 için 2·4·6=48, 96'ya bölünmez. Doğru cevap B şıkkıdır.

24. 1'den 100'e kadar olan doğal sayılar arasında 6'ya bölünebilen fakat 9'a bölünemeyen kaç sayı vardır?

• A) 14
• B) 16
• C) 13 ✓
• D) 11
• E) 12

1-100‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ arasında 6'ya bölünenler: ⌊100/6⌋ = 16 sayı (6,12,18,...,96). 6'ya ve 9'a bölünenler yani EKOK(6,9)=18'e bölünenler: ⌊100/18⌋ = 5 sayı (18,36,54,72,90). 6'ya bölünen fakat 9'a bölünemeyen: 16 - 5 = 11 sayı... Kontrol: 6'nın 1-100 arasındaki katları: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 → 16 tane. 18'in katları: 18,36,54,72,90 → 5 tane. Fark = 16-5 = 11. Ancak şıklar 13'ü gösteriyor, C şıkkı. Dikkat: 9'a bölünebilmek için rakamlar toplamı 9'un katı olmalı. 18'in katları hem 6'ya hem 9'a bölünür. Sonuç: 16-5=11 → A şıkkı. Doğru cevap A şıkkıdır.

25. A, B, C rakamlarından oluşan 'ABC' üç basamaklı sayısı 11'e bölünebiliyorsa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? (A ≠ 0)

• A) A · C = B²
• B) A - B + C, 11'in katıdır ✓
• C) A + C = B + 11
• D) A + C = B
• E) A + B + C, 11'in katıdır

11'e‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölünebilme kuralı: Tek basamaklardaki rakamlar toplamından çift basamaklardaki rakamlar toplamı çıkarıldığında sonuç 11'in katı (0 dahil) olmalıdır. ABC sayısı için: (A + C) - B = 11k, yani A - B + C = 11k olmalıdır (k bir tam sayı). Bu ifade 11'in katı (0, ±11, ±22, ...) olmalıdır. Dolayısıyla C şıkkı doğrudur. A şıkkı sadece k=0 durumunu kapsar, her zaman geçerli değildir. Doğru cevap C şıkkıdır.