Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 3

1. {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

• A) 48 ✓
• B) 60
• C) 64
• D) 100

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Basamak analizi yapılır. 2. Yüzler: 4 (0 hariç) 3. Onlar: 4 (Kalanlar) 4. Birler: 3 5. 4 × 4 × 3 = 48 6. Sonuç: 48.

2. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla, rakamları tekrarsız; beş basamaklı ve 5'e bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?

• A) 12
• B) 24 ✓
• C) 36
• D) 48

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bir sayının 5'e bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Kümemizde sadece 5 mevcuttur. 2. Birler basamağına 5 yazılır ve sabitlenir. 3. Geriye kalan 4 basamağa, kümenin kalan 4 elemanı (1, 2, 3, 4) farklı dizilişlerle yerleşir. 4. 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

3. ANNE kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

• A) 6
• B) 12 ✓
• C) 24
• D) 4

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam harf sayısı: 4. 2. Tekrar eden harfler: 2 tane 'N'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü: 4! / 2!. 4. Hesaplama: 24 / 2 = 12.

4. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin permütasyonlarının kaçında 1 elemanı 2'nin solunda yer alır?

• A) 6
• B) 12 ✓
• C) 8
• D) 24

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm dizilişlerin sayısı: 4! = 24. 2. Herhangi bir dizilimde ya '1, 2'den soldadır' ya da '2, 1'den soldadır'. 3. Simetriden dolayı bu iki durumun sayısı eşittir. 4. Bu nedenle tüm durumların tam yarısında 1 soldadır: 24 / 2 = 12.

5. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile fotoğraf çektirmek istiyor. Anne, baba ve en küçük çocuk arkada olmak üzere, kaç farklı şekilde poz verebilirler?

• A) 12
• B) 24
• C) 36 ✓
• D) 48

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Arkada 3 kişi (A, B, K) 3! = 6. Önde 3 çocuk 3! = 6. 6 * 6 = 36.

6. 30 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir. 5 kişi seçimlere katılmadıysa, bu seçim yeni durumda kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

• A) 600 ✓
• B) 300
• C) 245
• D) 160

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 25 kişiden başkan 25, yrd 24. 25 * 24 = 600.

7. 8 kişilik bir takımdan 5 kişilik bir ekip ve bu ekipten bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 56
• B) 280 ✓
• C) 120
• D) 336

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Önce 8 kişi arasından 5 kişilik ekibi seçelim: C(8, 5) = C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56. 2. Sonra seçilen 5 kişi arasından 1 kaptan seçelim: 5 seçenek. 3. Toplam durum: 56 * 5 = 280.

8. KELEBEK kelimesinin harfleriyle 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

• A) 420 ✓
• B) 840
• C) 210
• D) 1260

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam harf sayısı: 7. 2. Harf dağılımı: 3 tane 'E', 2 tane 'K', 1 tane 'L', 1 tane 'B'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü: 7! / (3! * 2!). 4. Hesaplama: 5040 / (6 * 2) = 5040 / 12 = 420.

9. Yarıçapı 6 cm olan bir dairenin içinden seçilen bir noktanın dairenin merkezine olan uzaklığının en çok 2 cm olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/4
• B) 1/9 ✓
• C) 1/10
• D) 1/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm alan (Yarıçap = 6): pi * R² = pi * 36. 2. İstenen bölge (Yarıçap ≤ 2 olan daire içi): pi * r² = pi * 4. 3. Olasılık = İstenen Alan / Tüm Alan = (4 * pi) / (36 * pi) = 4/36 = 1/9.

10. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masa etrafında oturacaklardır. Anne ve babanın yan yana oturmama olasılığı kaçtır?

• A) 2/5
• B) 3/5 ✓
• C) 4/5
• D) 1/2

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm durumlar (6 kişi yuvarlak masa): (6-1)! = 5! = 120. 2. İstenmeyen durum (Anne ve Babanın yan yana olması): Bunları paketleyelim (1 kişi gibi). Geriye (5-1)! = 4! = 24 durum kalır. Yanlarına bir de kendi aralarındaki yer değişimini (2!) eklersek: 24 * 2 = 48 durum. 3. Anne ve babanın yan yana olma olasılığı: 48 / 120 = 2/5. 4. Yan yana oturmama olasılığı: 1 - 2/5 = 3/5.

11. Bir madeni para üç kez atıldığında en az birisinin tura geldiği bilindiğine göre, diğer ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/8
• B) 1/4
• C) 3/7 ✓
• D) 3/8

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 3 para atışında toplam 8 durum vardır. En az bir tura olduğu biliniyorsa, 'YYY' (hiç tura yok) durumu elenir. Kalan durum sayısı 7'dir. 2. İstenen durum: Birinin tura, diğer ikisinin yazı olması {TYY, YTY, YYT}. 3. Bu şartı sağlayan 3 durum vardır. 4. Koşullu olasılık: 3 / 7 bulunur.

12. 3 erkek ve 4 kızdan oluşan bir grup sinemaya gidiyor. Kızlar bir tarafta erkekler bir tarafta oturmak üzere kaç farklı şekilde koltuklara oturabilirler?

• A) 144
• B) 196
• C) 216
• D) 288 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Grupların yer değişimi 2!. Kendi içlerinde 4! ve 3!. 2 * 24 * 6 = 288.

13. Beş tane madeni para arka arkaya atılıyor. Bu paralardan üç tanesinin yazı, iki tanesinin tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/16
• B) 5/32
• C) 7/32
• D) 5/16 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 5 para atıldığında toplam durum sayısı 2⁵ = 32'dir. 2. İstenen durum (3 Yazı, 2 Tura) tekrarlı permütasyon ile dizilir: 5! / (3! × 2!). 3. Dizilim sayısı: 120 / (6 × 2) = 10. 4. Olasılık: 10 / 32 = 5/16.

14. 4 evli çiftin bulunduğu 8 kişilik bir gruptan, aralarında bir evli çiftin bulunduğu 3 kişilik kaç grup oluşturulabilir?

• A) 12
• B) 18
• C) 24 ✓
• D) 36

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam 4 evli çiftimiz var. Grupta mutlaka 'bir evli çift' olmasını istiyoruz. 2. 4 çift arasından 1 çifti seçelim: C(4, 1) = 4 durum. 3. 3 kişilik grup için geriye 1 kişi seçmemiz gerekiyor. Gruptaki 8 kişiden 2'si (seçilen çift) gitti, geriye 6 kişi kaldı. 4. Kalan 6 kişi arasından birini seçelim: C(6, 1) = 6 durum. 5. Toplam grup sayısı: 4 * 6 = 24.

15. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında 1 bulunur?

• A) 4
• B) 6 ✓
• C) 10
• D) 12

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Kombinasyon hesaplanır. 2. 1 sabit, kalan 4 elemandan 2'si seçilir. 3. C(4, 2) = 6 4. Sonuç: 6.

16. Aynı düzlem içine çizilen birbirine paralel 4 doğru ve onları kesen birbirine paralel 5 doğru mevcutsa, bu doğrulardan kaç tane irili ufaklı paralelkenar çizilebilir?

• A) 24
• B) 30
• C) 45
• D) 60 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. C(4, 2) * C(5, 2) = 6 * 10 = 60.

17. 5 kişilik bir gruptan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 10
• B) 20 ✓
• C) 25
• D) 9

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Permütasyon hesaplanır (Sıralı seçim). 2. 5 × 4 = 20 3. Sonuç: 20.

18. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesindeki rakamlar ile yazılabilecek tüm üç basamaklı rakamları farklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, sıralamada baştan 96. sayı kaçtır?

• A) 403
• B) 405
• C) 406
• D) 410 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 1 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 2. 2 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 3. 3 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 4. Şu an toplam: 30+30+30 = 90 sayı oldu. 96. sayıyı bulmak için 4 ile başlayanları sayalım. 5. 401, 402, 403, 405, 406 (bunlar 91, 92, 93, 94, 95. sayılardır). 6. 96. sayı bir sonraki sayı olan 410 olur.

19. Beş kişilik bir gruptan bir başkan ve bir yazıcı kaç değişik şekilde seçilebilir?

• A) 5
• B) 10
• C) 15
• D) 20 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Başkan 5, yazıcı kalan 4 kişiden seçilir. 5 * 4 = 20.

20. ANAVATAN kelimesinin harfleri ile son harfi 'T' olan anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kaç kelime yazılabilir?

• A) 35
• B) 70
• C) 105 ✓
• D) 210

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 'T' harfi sonda sabit olduğu için onu devre dışı bırakıyoruz. 2. Geriye kalan 7 harf: A, N, A, V, A, N, A. 3. Bu harflerin dağılımı: 4 tane 'A', 2 tane 'N', 1 tane 'V'. 4. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 7! / (4! * 2! * 1!). 5. Hesaplama: (7*6*5*4!) / (4! * 2) = 210 / 2 = 105.

21. Bir kafeye giden dört arkadaştan ikisi sade Türk kahvesi, diğer ikisi şekerli Türk kahvesi sipariş ediyorlar. Kahveleri getiren garsonun müşterilere sormadan kahveleri doğru dağıtma olasılığı nedir?

• A) 1/12
• B) 1/6 ✓
• C) 1/4
• D) 1/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm durumlar 4!/(2!2!) = 6. Doğru dağıtım 1 durumdur. Olasılık 1/6.

22. C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla 500'den küçük ve rakamları farklı olan kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 120 ✓
• B) 240
• C) 360
• D) 480

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Yüzler basamağı 0 olamaz ve 500'den küçük olması için {1, 2, 3, 4} rakamlarından biri olmalıdır (4 seçenek). 2. Onlar basamağı: Kümeden 1 rakam yüzlere gitti, geriye kalan 6 rakamdan biri olabilir (6 seçenek). 3. Birler basamağı: Kalan 5 rakamdan biri olabilir (5 seçenek). 4. Toplam sayı: 4 * 6 * 5 = 120.

23. Bir madeni para art arda 5 kez atılıyor. İlk ikisinin tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/8
• C) 1/16
• D) 1/32

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bağımsız olaylar. 2. (1/2) × (1/2) 3. Diğer 3 atış önemsizdir (veya 1/1 alınır). 4. Sonuç: 1/4.

24. 1'den 30'a kadar numaralandırılmış toplardan bir tane çekildiğinde topun üzerindeki sayının asal veya tek sayı olma olasılığı nedir?

• A) 1/3
• B) 3/10
• C) 5/6
• D) 8/15 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 1'den 30'a kadar olan tek sayılar kümesi (A): {1, 3, 5, ..., 29} -> 15 tane. 2. 1'den 30'a kadar olan asal sayılar kümesi (B): {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} -> 10 tane. 3. Hem tek hem asal olanlar (A ∩ B): {3, 5, 7, ..., 29} (2 hariç tüm asallar) -> 9 tane. 4. Birleşim formülü: s(A) + s(B) - s(A ∩ B) = 15 + 10 - 9 = 16. 5. Olasılık: 16/30 = 8/15.

25. MAKAM sözcüğünün harfleriyle, kaç farklı anlamlı ya da anlamsız beş harfli sözcük yazılabilir?

• A) 5
• B) 15
• C) 30 ✓
• D) 40

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. MAKAM kelimesinde toplam 5 harf vardır. 2. Tekrar eden harfler: 2 tane 'M' ve 2 tane 'A'. 3. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 5! / (2! × 2!). 4. Hesaplama: 120 / (2 × 2) = 120 / 4 = 30.