Çarpanlara Ayırma 3

1. a² - ab - 6b² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (a - 3b)(a + 2b) ✓
• B) (a + 3b)(a - 2b)
• C) (a - 6b)(a + b)
• D) (a - 2b)(a + 3b)

İkinci‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ dereceden homojen ifade çarpanlarına ayrılır. • a² = a . a • -6b² = -3b . 2b • Çapraz çarpım: 2ab - 3ab = -ab (Ortayı veriyor) • Yan yana yazılır: (a - 3b)(a + 2b) Sonuç: (a - 3b)(a + 2b)

2. x² + 2x - 15 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x + 5)(x - 3) ✓
• B) (x - 5)(x + 3)
• C) (x + 15)(x - 1)
• D) (x - 5)(x - 3)

Üç‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: +5 ve -3 • Kontrol: 5.(-3)=-15 ve 5+(-3)=2 Sonuç: (x + 5)(x - 3)

3. 9x² - 25 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (3x - 5)(3x + 5) ✓
• B) (3x - 5)²
• C) (9x - 5)(x + 5)
• D) (3x - 25)(3x + 1)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: (3x)² - 5² • Açılım: (3x - 5)(3x + 5) Sonuç: (3x - 5)(3x + 5)

4. x⁴ + x² + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (x² - x + 1)(x² + x + 1) ✓
• B) (x² - 1)(x² + 1)
• C) (x² + x - 1)(x² - x - 1)
• D) (x² + 1)²

Tam‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kareye tamamlama: • (x² + 1)² - x² = (x⁴ + 2x² + 1) - x² • İki kare farkı: (x² + 1 - x)(x² + 1 + x). Sonuç: (x² - x + 1)(x² + x + 1).

5. 3a²b - 6ab² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) 3ab(a - 2b) ✓
• B) 3ab(a - b)
• C) 3a(ab - 2b)
• D) 3b(a² - 2ab)

Ortak‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çarpan parantezine alma yöntemi kullanılır. • Ortak çarpan: 3ab • Kalan terimler: a ve -2b Sonuç: 3ab(a - 2b)

6. a² - 4b² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (a - 2b)(a + 2b) ✓
• B) (a - 4b)(a + b)
• C) (a - 2b)²
• D) (a - b)(a + 4b)

İki‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kare farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: a² - (2b)² • Açılım: (a - 2b)(a + 2b) Sonuç: (a - 2b)(a + 2b)

7. x² + x - 12 ifadesinin çarpanları nelerdir?

• A) (x + 4)(x - 3) ✓
• B) (x - 4)(x + 3)
• C) (x + 6)(x - 2)
• D) (x - 6)(x + 2)

Üç‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: +4 ve -3 • Kontrol: 4.(-3)=-12 ve 4+(-3)=1 Sonuç: (x + 4)(x - 3)

8. mx - nx - my + ny ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (m - n)(x - y) ✓
• B) (m + n)(x - y)
• C) (m - n)(x + y)
• D) (m + n)(x + y)

Gruplandırarak‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. • Adım 1: x(m - n) - y(m - n) • Adım 2: (m - n)(x - y) Sonuç: (m - n)(x - y)

9. x² + 2x - xy - 2y ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (x + 2)(x - y) ✓
• B) (x - 2)(x + y)
• C) (x + 2)(x + y)
• D) (x - y)(x - 2)

Gruplandıralım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ (x ve -y parantezi). • x(x + 2) - y(x + 2) • (x + 2)(x - y). Sonuç: (x + 2)(x - y).

10. 8x² - 18x + 7 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (4x - 7)(2x - 1) ✓
• B) (4x - 1)(2x - 7)
• C) (8x - 7)(x - 1)
• D) (4x + 7)(2x + 1)

8x²‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 4x . 2x ve 7 = (-7) . (-1) • Çapraz: 4x(-1) + 2x(-7) = -4x - 14x = -18x • (4x - 7)(2x - 1). Sonuç: (4x - 7)(2x - 1).

11. x⁴ + 64 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (x² - 4x + 8)(x² + 4x + 8) ✓
• B) (x² - 8)(x² + 8)
• C) (x² - 4)(x² + 16)
• D) (x² - 2x + 4)(x² + 2x + 16)

Tam‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kareye tamamlama: • (x² + 8)² - 16x² = (x² + 8)² - (4x)² • İki kare farkı: (x² + 8 - 4x)(x² + 8 + 4x). Sonuç: (x² - 4x + 8)(x² + 4x + 8).

12. 2x² - 7x + 3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (2x - 1)(x - 3) ✓
• B) (2x + 1)(x + 3)
• C) (2x - 3)(x - 1)
• D) (x - 3)(2x + 1)

2x²‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2x . x ve 3 = (-1) . (-3) • Çapraz çarpım: 2x(-3) + x(-1) = -6x - x = -7x • (2x - 1)(x - 3). Sonuç: (2x - 1)(x - 3).

13. A = 2².3.7.3² sayısı veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) 4 tane asal böleni vardır.
• B) 36 tane pozitif tam sayı böleni vardır.
• C) 48 tane tam sayı böleni vardır. ✓
• D) 32 tane asal olmayan pozitif tam sayı böleni vardır.

Sayılı‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ düzenleyelim: A = 2² . 3³ . 7¹ • A) Asal bölenler: 2, 3, 7 (3 tane). (Yanlış) • B) PBS = 3.4.2 = 24. (Yanlış) • C) TBS = 2 . PBS = 2 . 24 = 48. (Doğru) • D) Asal olmayan PBS = 24 - 3 = 21. (Yanlış) Sonuç: 48 tane tam sayı böleni vardır.

14. x² - y² + 2x + 2y ifadesinin çarpanları nelerdir?

• A) (x + y)(x - y + 2) ✓
• B) (x - y)(x + y + 2)
• C) (x + y)(x - y - 2)
• D) (x - y + 2)²

Gruplandırma‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ yöntemi kullanılır. • Adım 1: (x - y)(x + y) + 2(x + y) • Adım 2: (x + y) parantezine al -> (x + y)(x - y + 2) Sonuç: (x + y)(x - y + 2)

15. Verilen bir A pozitif tam sayısı A = 2ˣ . 3ʸ . 5^z ... biçiminde küçükten büyüğe doğru asal çarpanlarına ayrılıyor. Üsleri sırasıyla yazılarak 'izi' oluşturuluyor. Örneğin 50 = 2¹.3⁰.5² → izi 102. Buna göre izi 3021 olan sayı kaçtır?

• A) 2800
• B) 2100
• C) 1700
• D) 1400 ✓

İzi‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 3021 ise üsler sırasıyla 3, 0, 2, 1'dir. • Asal çarpanlar: 2, 3, 5, 7 • Sayı = 2³ . 3⁰ . 5² . 7¹ • 8 . 1 . 25 . 7 = 200 . 7 = 1400. Sonuç: 1400.

16. n birer pozitif doğal sayıdır. 22! / 6ⁿ = A olduğuna göre n'nin alacağı değerler toplamı kaçtır?

• A) 40
• B) 43
• C) 45 ✓
• D) 46

22!‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ içinde kaç tane 6 çarpanı (yani 3 çarpanı) var? • 22/3 = 7 • 7/3 = 2 • Toplam 9 tane. • O halde n en fazla 9 olabilir. Pozitif doğal sayı dediği için 1, 2, ..., 9 değerlerini alır. • Toplam: 9.10/2 = 45. Sonuç: 45.

17. x + y = 6 ve y - z = 9 olduğuna göre, x² + xz + xy + yz işleminin sonucu kaçtır?

• A) -18 ✓
• B) 18
• C) -54
• D) 54

İfadeyi‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çarpanlarına ayıralım. • x(x + z) + y(x + z) = (x + z)(x + y) • Verilenlerden x+z'yi bulalım: • (x + y) - (y - z) = 6 - 9 => x + z = -3 • (x + z)(x + y) = (-3) . 6 = -18. Sonuç: -18.

18. a ve b sayma sayılarıdır. 24.a = b⁴ eşitliğini sağlayan a ve b değerleri için a.b çarpımının en küçük değeri kaçtır?

• A) 27
• B) 54
• C) 162
• D) 324 ✓

24‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 2³.3¹. Eşitlik: 2³.3¹.a = b⁴ • Üslerin 4'ün katı olması için a en az 2¹ . 3³ olmalı. • a = 2.27 = 54. • b⁴ = 2⁴ . 3⁴ → b = 6. • a.b = 54 . 6 = 324. Sonuç: 324.

19. a + b - c = 12 ve ab - ac - bc = -13 olduğuna göre, a² + b² + c² kaçtır?

• A) 170 ✓
• B) 144
• C) 118
• D) 156

Eşitliğin‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ karesini alalım: • (a + b - c)² = a² + b² + c² + 2(ab - ac - bc) • 12² = a² + b² + c² + 2(-13) • 144 = a² + b² + c² - 26 • a² + b² + c² = 170. Sonuç: 170.

20. a + b = 5 ve a.b = 9 olduğuna göre, a³ + b³ kaçtır?

• A) -10 ✓
• B) -5
• C) 10
• D) 25

a³‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) • 5³ - 3(9)(5) = 125 - 135 = -10. Sonuç: -10.

21. x ≠ 2 ve x³ = 8 olmak üzere, x² + 2x + 13 işleminin sonucu kaçtır?

• A) 9 ✓
• B) 13
• C) -4
• D) 0

x³‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - 8 = 0 → (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0 • x ≠ 2 olduğundan x² + 2x + 4 = 0 olmalı. • x² + 2x = -4 • x² + 2x + 13 = -4 + 13 = 9. Sonuç: 9.

22. a³ + 3a²b = 2 ve b³ + 3ab² = 6 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 2 ✓
• B) 4
• C) 8
• D) 1

Taraf‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ tarafa toplayalım: • a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 2 + 6 • (a + b)³ = 8 • a + b = 2. Sonuç: 2.

23. (a - 6) ve (2b + 3) aralarında asal sayılardır. (a-6)/(2b+3) = 32/72 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 10
• B) 11
• C) 12
• D) 13 ✓

32/72‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kesrini sadeleştirelim. • 32/72 = 16/36 = 8/18 = 4/9 • Aralarında asal oldukları için: • a - 6 = 4 → a = 10 • 2b + 3 = 9 → 2b = 6 → b = 3 • a + b = 10 + 3 = 13. Sonuç: 13.

24. n bir tam sayı olmak üzere ve 12! / 6ⁿ = A eşitliğinde A en küçük tam sayı değerini aldığında A'nın asal çarpanları toplamı kaç olur?

• A) 25 ✓
• B) 24
• C) 23
• D) 22

12!‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ içindeki maksimum 6 (yani 2 ve 3) çarpanlarını bulup atacağız. • 12! içindeki 3 sayısı: 12/3=4, 4/3=1 → Toplam 5 tane. • 12! içindeki 2 sayısı: 12/2=6, 6/2=3, 3/2=1 → Toplam 10 tane. • 6ⁿ = 2ⁿ . 3ⁿ için max n = 5 olur (3'ler belirler). • A = 12! / (2⁵ . 3⁵⁾ • 12! = 2¹⁰ . 3⁵ . 5² . 7 . 11 • Sadetleşince: A = 2⁵ . 5² . 7 . 11 • Asal çarpanlar: 2, 5, 7, 11 • Toplam: 2 + 5 + 7 + 11 = 25. Sonuç: 25.

25. 2200...0 sayısının pozitif bölenleri sayısı 112 olduğuna göre, bu sayı kaç basamaklıdır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 10
• D) 12

Sayı‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 22.10ⁿ = 2.11.2ⁿ.5ⁿ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾.5ⁿ.11¹ • PBS = (n+2)(n+1)(2) = 112 • (n+2)(n+1) = 56 • 8 . 7 = 56 → n = 6 • Sayı = 22 . 10⁶ (2 basamak + 6 sıfır) = 8 basamaklı. Sonuç: 8.