Eşitsizlik ve Mutlak Değer 3
x - 3 > 2x + 1 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
Bu testteki tüm sorular ve cevapları (25 soru)
1. x - 3 > 2x + 1 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
- A) x < -4 ✓
- B) x > -4
- C) x < 4
- D) x > 4
Bilinenler bir tarafa toplanır. • -3 - 1 > 2x - x • -4 > x (veya x < -4) Sonuç: x < -4.
2. x + y < 0, y + z > 0, x + z < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
- A) x < 0 ✓
- B) y > 0
- C) z < 0
- D) x . y . z < 0
• x'in pozitif olduğunu varsayalım (x > 0). • x + z < 0 ise z negatiftir ve mutlak değerce x'ten büyüktür (|z| > x). • y + z > 0 ise y pozitiftir ve mutlak değerce z'den büyüktür (y > |z|). • Bu durumda y > |z| > x sıralaması olur. Dolayısıyla y de x de pozitiftir. • İki pozitif sayının toplamı (x + y) pozitif olmalıdır. Ancak soruda x + y < 0 verilmiş. • Bu bir çelişkidir. Demek ki varsayımımız yanlıştır; x pozitif olamaz. • O halde x kesinlikle negatiftir (x < 0). Sonuç: x < 0.
3. x < -1 < y < 0 < z < 1 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x.z < -1
- B) y.z < x
- C) x + y < -1 ✓
- D) x.y > 1
• I. x.z < -1? x=-1.5, z=0.1 olsa çarpım -0.15 olur, yanlış. • II. y.z < x? y.z (negatif * pozitif) küçük bir negatif sayı, x büyük bir negatif sayı (örn -2). -0.1 < -2 yanlıştır. • III. x + y < -1? x zaten -1'den küçük (örn -1.1). y de negatif. Toplamları kesinlikle -1'den küçüktür. Sonuç: x + y < -1.
4. Aşağıdakilerden hangisi |x| < 2 eşitsizliğini sağlamaz?
- A) 1
- B) 0
- C) -1
- D) -2 ✓
Seçenekler denenir. • |-2| = 2 • 2 < 2 ifadesi yanlıştır. Sonuç: -2 sağlamaz.
5. x ve y gerçel sayılardır. 3x = 7y ve y²/x < 0 olduğuna göre hangisi doğrudur?
- A) x > y
- B) x + y > 0
- C) x < y ✓
- D) x . y < 0
• y²/x < 0 → y² daima pozitif olduğundan x kesinlikle negatiftir (x < 0). • 3x = 7y eşitliğinde x negatif ise, eşitliğin sağlanması için y de negatif olmalıdır. • x = 7k, y = 3k diyelim (k negatif bir sayı). • Örnek: k = -1 olsun. x = -7, y = -3 olur. • Sayı doğrusunda -7, -3'ten daha soldadır (küçüktür). • Dolayısıyla x < y eşitsizliği doğrudur. Sonuç: x < y.
6. |x| + x = 0 eşitliğini sağlayan en geniş aralık hangisidir?
- A) x > 0
- B) x < 0
- C) x ≤ 0 ✓
- D) x ≥ 0
Denklem düzenlenir. • |x| = -x • Bu durum x negatif veya 0 olduğunda geçerlidir. Sonuç: x ≤ 0.
7. 2 < |x| < 5 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?
- A) 0 ✓
- B) 7
- C) -7
- D) 14
Değerler bulunur. • Pozitifler: 3, 4 • Negatifler: -3, -4 • Toplam: 3 + 4 - 3 - 4 = 0 Sonuç: 0.
8. Bir sayının mutlak değeri 7'ye eşittir. Bu sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
- A) 7
- B) -7
- C) 0 ✓
- D) Hiçbiri
Mutlak değer tanımı kullanılır. Kural: |x| = a ise x = a veya x = -a (a > 0). • |x| = 7 ise x = 7 veya x = -7 olabilir. • 0'ın mutlak değeri 0'dır, 7 değildir. Sonuç: 0 olamaz.
9. Bir eşitsizlikte x > 5 ve x < 10 ise x için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x ≥ 5
- B) 5 < x ≤ 10
- C) 5 < x < 10 ✓
- D) x ≤ 10
Aralık birleştirilir. • Alt sınır: 5 (dahil değil) • Üst sınır: 10 (dahil değil) • Yazım: 5 < x < 10 Sonuç: 5 < x < 10 doğrudur.
10. |x| < 4 eşitsizliğini sağlayan x aralığı nedir?
- A) -4 < x < 4 ✓
- B) x > 4
- C) x < -4
- D) -4 ≤ x ≤ 4
Mutlak değer eşitsizlik kuralı uygulanır. Kural: |x| < a => -a < x < a • -4 < x < 4 Sonuç: Aralığımız -4 < x < 4'tür.
11. |x + 2| ≥ 3 eşitsizliğini sağlayan x aralığı nedir?
- A) x ≤ -5 veya x ≥ 1 ✓
- B) -5 < x < 1
- C) x ≥ -5 ve x ≤ 1
- D) x ≥ 5 veya x ≤ -1
Büyük eşit durumu ikiye ayrılır. • Durum 1: x + 2 ≥ 3 => x ≥ 1 • Durum 2: x + 2 ≤ -3 => x ≤ -5 Sonuç: x ≥ 1 veya x ≤ -5.
12. Bir eşitsizlikte x ≤ -2 veya x ≥ 3 ise x hangi aralıkları kapsar?
- A) x < -2 ve x > 3
- B) -2 < x < 3
- C) x ≤ -2 veya x ≥ 3 ✓
- D) -2 ≤ x ≤ 3
Verilen ifade matematiksel olarak yazılır. • İfade zaten cevabı vermektedir: x ≤ -2 veya x ≥ 3. Sonuç: x ≤ -2 veya x ≥ 3.
13. |x| = 0 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?
- A) 0 ✓
- B) 1
- C) -1
- D) Hiçbiri
Mutlak değer özelliği hatırlanır. • Mutlak değeri 0 olan tek sayı 0'dır. Sonuç: 0.
14. x + 3 > 2 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değeri nedir?
- A) 0 ✓
- B) 1
- C) -1
- D) -2
Eşitsizlik çözülür. • x > 2 - 3 • x > -1 • -1'den büyük en küçük tam sayı 0'dır. Sonuç: 0.
15. |3x - 9| < 6 eşitsizliğini sağlayan x aralığı nedir?
- A) 1 < x < 3
- B) 2 < x < 4
- C) 0 < x < 6
- D) 1 < x < 5 ✓
Eşitsizlik açılır. • -6 < 3x - 9 < 6 • Her tarafa 9 ekle: 3 < 3x < 15 • Her tarafı 3'e böl: 1 < x < 5 Sonuç: 1 < x < 5.
16. x ≤ -3 ve x ≥ 5 eşitsizliklerini sağlayan x değeri hangisidir?
- A) Hiçbiri ✓
- B) -3
- C) 5
- D) 3
Aralık analizi yapılır. • Bir sayı aynı anda -3'ten küçük ve 5'ten büyük olamaz. Sonuç: Çözüm kümesi boştur (Hiçbiri).
17. |x - 2| > 7 eşitsizliğini sağlayan x aralığı nedir?
- A) x < -5 veya x > 9 ✓
- B) x > -5 ve x < 9
- C) x ≤ -5 veya x ≥ 9
- D) -5 < x < 9
Eşitsizlik iki duruma ayrılır. • x - 2 > 7 => x > 9 • x - 2 < -7 => x < -5 Sonuç: x > 9 veya x < -5.
18. Bir mutlak değer eşitsizliği olan |x + 1| ≤ 3 aşağıdaki hangi aralığı ifade eder?
- A) -4 < x < 2
- B) -4 ≤ x ≤ 2 ✓
- C) -3 ≤ x ≤ 3
- D) -2 ≤ x ≤ 4
Eşitsizlik açılır. • -3 ≤ x + 1 ≤ 3 • Her taraftan 1 çıkar: -4 ≤ x ≤ 2 Sonuç: -4 ≤ x ≤ 2.
19. |x| ≥ 4 eşitsizliğini sağlayan x aralığı hangisidir?
- A) -4 ≤ x ≤ 4
- B) x ≥ 4 veya x ≤ -4 ✓
- C) x > 4 ve x < -4
- D) -4 < x < 4
Mutlak değer kuralı uygulanır. • Sayının 0'a uzaklığı 4 veya daha fazla olmalı. Sonuç: x ≥ 4 veya x ≤ -4.
20. Bir eşitsizlikte x < 0 ve x > -3 ise x hangi aralığa aittir?
- A) -3 < x < 0 ✓
- B) x ≥ -3
- C) -3 ≤ x ≤ 0
- D) -3 < x ≤ 0
Kesişim kümesi bulunur. • -3'ten büyük VE 0'dan küçük. Sonuç: -3 < x < 0.
21. Bir mutlak değer eşitsizliği olan |x - 5| ≤ 0 hangi x değerini ifade eder?
- A) 5 ✓
- B) 0
- C) Hiçbiri
- D) 5 ve 0
Mutlak değer özelliği kullanılır. • Mutlak değer negatif olamaz, sadece 0 olabilir. • |x - 5| = 0 => x = 5 Sonuç: 5.
22. Bir eşitsizlikte x > -3 ve x ≤ 4 ise x hangi aralığa aittir?
- A) -3 < x ≤ 4 ✓
- B) -3 ≤ x ≤ 4
- C) -3 < x < 4
- D) -3 ≤ x < 4
Aralık yazımı kontrol edilir. • -3 dahil değil (>), 4 dahil (≤). Sonuç: -3 < x ≤ 4.
23. Bir eşitsizlikte |x| > 0 ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) x sıfırdır.
- B) x sıfırdan farklıdır. ✓
- C) x negatiftir.
- D) x pozitiftir.
Mutlak değer yorumlanır. • Mutlak değer sadece x=0 ise 0 olur. 0'dan büyükse x, 0 olamaz. Sonuç: x sıfırdan farklıdır.
24. Bir eşitsizlikte x ≥ -2 ve x ≤ 3 ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- A) -2 ≤ x ≤ 3 ✓
- B) -3 < x < 3
- C) -2 < x ≤ 3
- D) -3 ≤ x ≤ 2
Aralık birleştirilir. • Alt sınır -2 (dahil), üst sınır 3 (dahil). Sonuç: -2 ≤ x ≤ 3.
25. |-5| + |3| - |-2| işleminin sonucu kaçtır?
- A) 6 ✓
- B) 10
- C) 0
- D) 4
Değerler dışarı çıkarılır ve işlem yapılır. • 5 + 3 - 2 • 8 - 2 = 6 Sonuç: 6.