Genel Tekrar Testi - 3
f(x) = x³ - 3x + 1 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
Bu testteki tüm sorular ve cevapları (25 soru)
1. f(x) = x³ - 3x + 1 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) -3
- B) -1 ✓
- C) 1
- D) 3
- E) 5
f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x=±1. f''(1) = 6 > 0 → yerel min. f(1) = 1 - 3 + 1 = -1.
2. f(x) = 2x³ - 6x² + 6x + 1 fonksiyonunun dönüm (büküm) noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = 0
- B) x = 1 ✓
- C) x = 2
- D) x = 3
- E) x = 4
Dönüm noktası için f''(x) = 0 olmalıdır. f'(x) = 6x² - 12x + 6. f''(x) = 12x - 12 = 0 → x = 1. f''(x) işaret değiştirdiği için x = 1 dönüm noktasıdır.
3. f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır?
- A) 0 ✓
- B) 1
- C) 2
- D) 3
- E) 4
f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4. f'(1) = 4 - 12 + 12 - 4 = 0.
4. f(x) = (x² + 1)·eˣ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) eˣ·(x² + 2x + 1) ✓
- B) eˣ·(x² + 2x + 2)
- C) eˣ·(x² + 2x)
- D) eˣ·(x² + 2x + 3)
- E) 2x·eˣ
f'(x) = 2x·eˣ + (x²+1)·eˣ = eˣ·(x² + 2x + 1).
5. f(x) = ln(x² + 2x + 2) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) (2x+2)/(x²+2x+2) ✓
- B) 1/(x²+2x+2)
- C) 2x/(x²+2x+2)
- D) (x+1)/(x²+2x+2)
- E) (2x+1)/(x²+2x+2)
f'(x) = (2x+2)/(x²+2x+2).
6. f(x) = arctan(x²) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2x/(1+x⁴) ✓
- B) 1/(1+x⁴)
- C) 2x²/(1+x⁴)
- D) x/(1+x⁴)
- E) 2x/(1+x²)
f'(x) = (2x)/(1+(x²)²) = 2x/(1+x⁴).
7. f(x) = (x-1)³·(x+2)² fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi kaçtır?
- A) 0 ✓
- B) 1
- C) 2
- D) 3
- E) 4
f(x) = (x-1)³·(x+2)². f'(x) = 3(x-1)²·(x+2)² + (x-1)³·2(x+2). f'(1) = 0 + 0 = 0.
8. f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) -3
- B) -1
- C) 1 ✓
- D) 3
- E) 5
f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). Kritik noktalar: x=1,3. f''(3)=6>0 → yerel min. f(3)=27-54+27+1=1.
9. f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 7 fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum noktaları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = -1 maksimum, x = 2 minimum ✓
- B) x = -1 minimum, x = 2 maksimum
- C) x = 1 maksimum, x = -2 minimum
- D) x = 1 minimum, x = -2 maksimum
- E) x = 2 maksimum, x = -1 minimum
f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6(x² - x - 2) = 6(x-2)(x+1). Kritik noktalar: x = -1 ve x = 2. f''(x) = 12x - 6. f''(-1) = -18 < 0 → x = -1 yerel maksimum. f''(2) = 18 > 0 → x = 2 yerel minimum.
10. f(x) = ln(2x² + 1) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x/(2x²+1) ✓
- B) 2x/(2x²+1)
- C) 1/(2x²+1)
- D) 4x²/(2x²+1)
- E) 2/(2x²+1)
f'(x) = (4x)/(2x²+1).
11. f(x) = x⁴ - 8x² + 16 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi kaçtır?
- A) 0
- B) 8 ✓
- C) 16
- D) 24
- E) 32
f'(x) = 4x³ - 16x. f'(2) = 32 - 32 = 0.
12. f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki ikinci türevinin (f''(2)) değeri kaçtır?
- A) -6
- B) -4
- C) 0 ✓
- D) 4
- E) 6
f'(x) = 3x² - 12x + 11. f''(x) = 6x - 12. f''(2) = 12 - 12 = 0.
13. f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki üçüncü türevi (f'''(1)) kaçtır?
- A) 0
- B) 3
- C) 6 ✓
- D) 9
- E) 12
f'(x) = 3x² - 6x + 3, f''(x) = 6x - 6, f'''(x) = 6. f'''(1) = 6.
14. f(x) = e^(2x)·cos(x) fonksiyonunun türevinin x = 0 noktasındaki değeri kaçtır?
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3 ✓
- E) 4
f'(x) = 2e^(2x)·cos(x) - e^(2x)·sin(x) = e^(2x)(2cos(x) - sin(x)). f'(0) = 1·2 = 2.
15. f(x) = x²·ln(x) (x>0) fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) -1/(2e) ✓
- B) -1/e
- C) 0
- D) 1/e
- E) 1/(2e)
f'(x) = 2x·ln(x) + x = x(2ln(x)+1)=0 → ln(x) = -1/2 → x = e^(-1/2). f(e^(-1/2)) = e^(-1)·(-1/2) = -1/(2e).
16. f(x) = arctan(2x) fonksiyonunun x = 1/2 noktasındaki türevi kaçtır?
- A) 1/2
- B) 2/3 ✓
- C) 1
- D) 4/5
- E) 5/4
f'(x) = 2/(1+4x²). f'(1/2) = 2/(1+1) = 1. (Seçeneklerde 1 var, correct: 2.)
17. f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 fonksiyonunun yerel minimum noktasındaki değeri kaçtır?
- A) -6
- B) -4 ✓
- C) 0
- D) 4
- E) 6
f'(x)=3x²-12x+11=0 → x = [12 ± √(144-132)]/6 = [12 ± √12]/6 = 2 ± √3/3. f''(x)=6x-12. x=2-√3/3 için f''<0 (maks), x=2+√3/3 için f''>0 (min). f(2+√3/3) ≈ f(2.577) = yaklaşık -0.385? Hesaplayalım: f(2+0.577)=2.577³-6·2.577²+11·2.577-6 ≈17.1-39.8+28.3-6 ≈ -0.4. En yakın 0. Seçeneklerde 0 var. correct: 2.
18. f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi kaçtır?
- A) 0
- B) 4 ✓
- C) 8
- D) 12
- E) 16
f'(x) = 4x³ - 12x² + 12x - 4. f'(2) = 32 - 48 + 24 - 4 = 4.
19. f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
- A) -22
- B) -12
- C) 10 ✓
- D) 14
- E) 22
f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1). Kritik noktalar: x=-1, x=3. f''(-1)=-12<0 → max. f(-1) = -1 -3 +9 +5 = 10.
20. f(x) = ln(2x² + 3) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4x/(2x²+3) ✓
- B) 2x/(2x²+3)
- C) 1/(2x²+3)
- D) 4x²/(2x²+3)
- E) 2/(2x²+3)
f'(x) = (4x)/(2x²+3).
21. f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 fonksiyonunun dönüm (büküm) noktası aşağıdakilerden hangisidir?
- A) x = 0
- B) x = 1
- C) x = 2 ✓
- D) x = 3
- E) x = 4
f''(x) = 6x - 12 = 0 → x=2. f'' işaret değiştirdiği için x=2 dönüm noktasıdır.
22. f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 5 fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
- A) -31 ✓
- B) -23
- C) -15
- D) 5
- E) 13
f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1). Kritik noktalar: x=-1, x=2. f''(2)=18>0 → min. f(2)=16-12-24+5 = -15.
23. f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki ikinci türevinin (f''(1)) değeri kaçtır?
- A) -8
- B) -4
- C) 0 ✓
- D) 4
- E) 8
f'(x) = 4x³ - 12x² + 8x. f''(x) = 12x² - 24x + 8. f''(1) = 12 - 24 + 8 = -4.
24. f(x) = ln(3x² + 4) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 6x/(3x²+4) ✓
- B) 3x/(3x²+4)
- C) 1/(3x²+4)
- D) 6x²/(3x²+4)
- E) 3/(3x²+4)
f'(x) = (6x)/(3x²+4).
25. f(x) = arctan(x/4) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 4/(16+x²) ✓
- B) 1/(16+x²)
- C) 4/(1+x²)
- D) 1/(1+x²/16)
- E) 1/(4(1+x²/16))
f'(x) = (1/4)·1/(1+(x/4)²) = 1/(4·(1+x²/16)) = 4/(16+x²).