Üç basamaklı bir sayı, rakamları soldan sağa A, B ve C olmak üzere 8'e bölünebiliyorsa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

C rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8'den biridir

Rakamları 1, 2, 3, 4, 5, 6 olan ve her rakamın yalnızca bir kez kullanıldığı altı basamaklı sayıların 9'a bölünebilmesi için son koşul nedir?

Tüm bu sayılar zaten 9'a bölünebilir

İki basamaklı bir AB sayısı (A ≠ 0) hem 4'e hem de 6'ya bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan kaç farklı AB sayısı vardır?

7 (Açıklama: Hem 4'e hem de 6'ya bölünebilen sayı, EBOB(4,6)=2 ve EKOK(4,6)=12'nin katı olmalıdır yani 12'nin katı olmalıdır. İki basamaklı 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → toplam 8 sayı. Ancak 4'e bölünebilmek için son iki basamak 4'e bölünmeli, 6'ya bölünebilmek için hem 2'ye hem 3'e bölünmeli. 12'nin tüm katları bu iki koşulu zaten sağlar. İki basamaklı 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → 8 tane. Doğru cevap E şıkkıdır.)

3456N dört basamaklı sayısının 9'a bölünebilmesi için N rakamı ne olmalıdır?

3 (Açıklama: 9'a bölünebilme kuralı: rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır. 3 + 4 + 5 + 6 + N = 18 + N. 18 + N'nin 9'un katı olması için N = 0 (18+0=18) veya N = 9 (18+9=27). Ancak N tek bir rakam olduğundan hem N=0 hem de N=9 geçerlidir. Soruda tek bir doğru cevap bekleniyorsa en küçük N değeri olan 0 alınır. Doğru cevap A şıkkıdır.)

k bir tam sayı olmak üzere 6k + 1, 6k + 3 ve 6k + 5 sayılarının toplamı kaçın katıdır?

9 (Açıklama: (6k+1) + (6k+3) + (6k+5) = 18k + 9 = 9(2k+1). Bu ifade her zaman 9'un katıdır. 3'ün de katıdır ancak 9 daha güçlü bir sonuçtur. 18'in katı olması için 2k+1 çift olmalı, bu ise imkânsızdır (tek sayı). Dolayısıyla kesinlikle 9'un katıdır. Doğru cevap C şıkkıdır.)

Bir sayı 8'e bölündüğünde 5 kalanını veriyor. Aynı sayının 4'e bölündüğünde kalanı nedir?

1 (Açıklama: Sayı 8k + 5 biçiminde yazılabilir (k ≥ 0). Bu ifadeyi 4'e bölelim: 8k + 5 = 4(2k+1) + 1. Yani kalan 1'dir. Örnekle doğrulayalım: k=0 → sayı=5; 5÷4=1 kalan 1. k=1 → sayı=13; 13÷4=3 kalan 1. Doğru cevap B şıkkıdır.)

Ardışık üç çift sayının çarpımı olan n = (2k)(2k+2)(2k+4) ifadesi kaça bölünür?

48 (Açıklama: n = (2k)(2k+2)(2k+4) = 2k × 2(k+1) × 2(k+2) = 8k(k+1)(k+2). k, k+1, k+2 ardışık üç tam sayıdır ve bunların çarpımı 6'nın katıdır (ardışık üç sayının çarpımı 3!'e bölünür). Dolayısıyla n = 8 × 6m = 48m. Yani n her zaman 48'e bölünür. Doğru cevap D şıkkıdır.)

Rakamları 1, 2, 3, 4, 5 olan ve her rakamın yalnızca bir kez kullanıldığı beş basamaklı bir sayı hem 4'e hem de 5'e bölünebiliyorsa, bu sayı kaç tanedir?

6 (Açıklama: 5'e bölünebilmek için son rakam 0 veya 5 olmalı; 0 yoktur, dolayısıyla son rakam 5. 4'e bölünebilmek için son iki basamak 4'e bölünmeli, yani _5 biçimli iki basamaklı sayı 4'e bölünmeli. 15÷4=3 r 3 ✗; 25÷4=6 r 1 ✗; 35÷4=8 r 3 ✗; 45÷4=11 r 1 ✗. Hiçbiri 4'e bölünmüyor. Hem 4'e hem 5'e bölünmek için 20'nin katı olmalı → son rakam 0 olmalı, ama 0 rakamı yok. Bu nedenle böyle bir sayı yoktur. Ancak şıklarda 6 var ise soru yanlış kurulmuş olabilir; EKOK(4,5)=20 yorumuyla böyle bir sayı yoktur.)

a sayısı 12'ye bölündüğünde 7 kalanını veriyor. a² sayısı 12'ye bölündüğünde kalanı nedir?

1 (Açıklama: a = 12k + 7 olsun. a² = (12k+7)² = 144k² + 168k + 49 = 12(12k² + 14k + 4) + 1. Yani a² = 12m + 1 biçimindedir, kalan 1'dir. Örnekle: a=7 → a²=49=12×4+1 ✓. a=19 → a²=361=12×30+1 ✓. Doğru cevap A şıkkıdır.)

1'den 100'e kadar olan sayılar arasında 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen kaç sayı vardır?

8 (Açıklama: 6'nın katları (1-100): 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 → 16 sayı. Hem 6 hem 4'e bölünenler EKOK(6,4)=12'nin katları: 12,24,36,48,60,72,84,96 → 8 sayı. 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen sayı sayısı = 16 - 8 = 8. Doğru cevap A şıkkıdır.)

n! + (n+1)! ifadesi hangi koşul altında (n+1) sayısının katıdır? (n ≥ 1)

Her zaman (Açıklama: n! + (n+1)! = n! + (n+1)×n! = n!(1 + n+1) = n!(n+2). Bu ifadenin (n+1)'e bölünebilmesi için n!(n+2) ifadesinin (n+1)'e bölünmesi gerekir. (n+1) asal sayı ise n!'i bölmez, (n+2)'yi de bölmez, dolayısıyla bölünmez. Ancak n! her zaman (n+1)'e bölünmez. Örneğin n=2: 2!+3! = 2+6 = 8, (n+1)=3 → 8÷3 kalan 2, bölünmez. Doğru cevap C değil, bu ifade her zaman (n+1)'e bölünmez. n=1: 1+2=3, n+1=2 → 3÷2 kalan 1. Hiçbir zaman değil de, koşula bağlıdır. n!(n+2)'nin (n+1)'e bölünmesi Wilson teoremiyle ilgilidir. Doğru cevap E: hiçbir zaman kesinlikle değil, ama C de değil.)

Dört basamaklı 7AB3 sayısı 11'e bölünebiliyor. Buna göre A - B'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? (A ve B birer rakam)

0 (Açıklama: 11'e bölünebilme kuralı: tek sıradaki rakamlar toplamı eksi çift sıradaki rakamlar toplamı 11'in katı (0 dahil) olmalıdır. 7AB3 → tek sıra (1. ve 3. basamak): 7 ve B; çift sıra (2. ve 4. basamak): A ve 3. (7+B) - (A+3) = 4 + B - A. Bu ifade 0 veya ±11 olmalıdır. 4+B-A=0 → A-B=4. 4+B-A=11 → A-B=-7. 4+B-A=-11 → A-B=15 (imkânsız, max 9-0=9). A ve B birer rakam olduğundan A-B=4 veya A-B=-7 mümkündür. Bu değerlerin toplamı: 4+(-7) = -3. Ancak şıklarda -3 yok; en yakın B şıkkı 0'dır. Yeniden kontrol: 4+B-A=0 → A-B=4 ✓; 4+B-A=11 → B-A=7 → A-B=-7 ✓. Toplam: 4+(-7)=-3. Şıklarda hata var, B şıkkı 0 değil -3 olmalıydı. Bu soru tasarım hatası içeriyor; mantıksal cevap 4+(-7)=-3'tür.)

1'den 100'e kadar olan doğal sayılar arasında 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen kaç sayı vardır?

8 (Açıklama: 1-100 arasında 6'nın katları: 6, 12, 18, ..., 96 → 100÷6 = 16 tam, yani 16 sayı. Hem 6 hem 4'e bölünen sayılar EKOK(6,4)=12'nin katlarıdır: 12, 24, 36, ..., 96 → 100÷12 = 8 tam, yani 8 sayı. 6'ya bölünen fakat 4'e bölünemeyen sayı sayısı = 16 - 8 = 8. Doğru cevap A şıkkıdır.)

Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı olan n = k(k+1)(k+2) ifadesi her zaman hangi sayının katıdır?

6 (Açıklama: Ardışık üç tam sayıdan en az biri çift, en az biri 3'e bölünür. Bu nedenle çarpım her zaman 2×3=6'nın katıdır. Ancak her zaman 4'ün katı olmayabilir (örn. k=1: 1×2×3=6, 4'e bölünmez). 8 için k=1: 6, bölünmez. 12 için k=1: 6, bölünmez. Dolayısıyla her zaman kesinlikle 6'nın katıdır. Doğru cevap B şıkkıdır.)

6k + 1, 6k + 3 ve 6k + 5 sayılarının toplamı kaçın katıdır? (k ≥ 0 tam sayı)

9 (Açıklama: (6k+1) + (6k+3) + (6k+5) = 18k + 9 = 9(2k+1). 2k+1 her zaman tek sayı olduğundan bu ifade 9'un katıdır fakat 18'in katı değildir (18'in katı olması için 2k+1 çift olmalıydı, bu imkânsız). 9'un katı olduğu için aynı zamanda 3'ün de katıdır; ancak en büyük kesin böleni 9'dur. Doğru cevap C şıkkıdır.)

Dört basamaklı 7AB3 sayısı 11'e bölünebiliyorsa A - B kaçtır? (A ve B birer rakam, birden fazla çözüm varsa toplamlarını bulunuz)

-3 (Açıklama: 11'e bölünebilme kuralı: (tek sıradaki rakamlar toplamı) - (çift sıradaki rakamlar toplamı) = 0 veya ±11. 7AB3 sayısında soldan: 7(1.basamak), A(2.), B(3.), 3(4.). Tek sıra: 7+B; Çift sıra: A+3. (7+B) - (A+3) = 4+B-A. Bu ifade 0 veya 11 veya -11 olmalıdır. 4+B-A=0 → A-B=4. 4+B-A=11 → A-B=-7. 4+B-A=-11 → A-B=15 (imkânsız). A-B değerlerinin toplamı: 4 + (-7) = -3. Doğru cevap B şıkkıdır.)

Üç basamaklı bir sayı, rakamları soldan sağa A, B ve C olmak üzere 8'e bölünebiliyorsa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

C rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8'den biridir (Açıklama: 8'e bölünebilme kuralı: son üç basamak 8'e bölünmeli (üç basamaklı sayının kendisi). Bu kuraldan doğrudan çıkarılabilecek kesin sonuç: sayı çift olmalıdır, yani son rakam C çift olmalıdır. A) Rakamlar toplamı 8'e bölünebilme ile ilgisi yoktur (bu 2 veya 4'ün kuralı değil). B) Son iki basamağın 4'e bölünmesi 8'e bölünebilmek için gerekli ama yeterli değil. C) Rakamlar toplamı 3'e bölünebilirlik kuralıdır, 8 ile ilgisi yoktur. D) A'nın çift olma zorunluluğu yoktur. E) C'nin çift olması zorunludur. Doğru cevap E şıkkıdır.)

n! + 2 ifadesi bir asal sayı olabilmesi için n en fazla kaç olabilir?

1 (Açıklama: n=1: 1!+2=3 (asal ✓). n=2: 2!+2=4 (asal değil). n=3: 3!+2=8 (asal değil). n=4: 4!+2=26 (asal değil). Genel olarak n≥2 için n! çift sayıdır, n! + 2 de çift sayıdır ve 2'den büyük olduğu için asal olamaz. n=1 için 1!+2=3 asaldır. Dolayısıyla n en fazla 1 olabilir. Doğru cevap A şıkkıdır.)

A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere OBEB(A,B) = 6 ve OKEK(A,B) = 180 ise A × B kaçtır?

1080 (Açıklama: A × B = OBEB(A,B) × OKEK(A,B) formülü kullanılır. A × B = 6 × 180 = 1080. Bu, iki sayının çarpımının EBOB'larıyla EKOK'larının çarpımına eşit olduğu temel teoremden gelir. Doğru cevap D şıkkıdır.)

Rakamları 1, 2, 3, 4, 5, 6 olan ve her rakamın yalnızca bir kez kullanıldığı altı basamaklı sayıların 9'a bölünebilmesi için son koşul nedir?

Tüm bu sayılar zaten 9'a bölünebilir (Açıklama: 9'a bölünebilme için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır. 1+2+3+4+5+6 = 21 = 9×2+3, yani 21 rakamlar toplamıdır. 21, 9'un katı değildir (9×2=18, 9×3=27). Dolayısıyla 1,2,3,4,5,6 rakamlarının herhangi bir sıralamasıyla elde edilen hiçbir sayı 9'a bölünemez. Doğru cevap B şıkkıdır.)

a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere a·b·c = 2310 ve a < b < c koşulları sağlanıyor. a + b + c toplamının 3'e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, bu koşulları sağlayan (a, b, c) üçlülerinin sayısı kaçtır?

6 (Açıklama: 2310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 şeklinde asal çarpanlara ayrılır. a < b < c ve a·b·c = 2310 koşulunu sağlayan tüm üçlüler bulunmalı. Olası üçlüler: (1,2,1155), (1,3,770), (1,5,462), (1,6,385), (1,7,330), (1,10,231), (1,11,210), (1,14,165), (1,15,154), (1,21,110), (1,22,105), (1,30,77), (1,33,70), (1,35,66), (2,3,385), (2,5,231), (2,7,165), (2,11,105), (2,15,77), (2,21,55), (2,33,35), (3,5,154), (3,7,110), (3,10,77), (3,11,70), (3,14,55), (3,22,35), (5,6,77), (5,7,66), (5,11,42), (5,14,33), (5,21,22), (6,5,77)→aynı, (6,7,55), (6,11,35), (7,10,33), (7,11,30). a+b+c ≡ 2 (mod 3) koşulunu sağlayanlar: (1,3,770): 774 mod 3 = 0 ✗; (2,7,165): 174 mod 3 = 0 ✗; (5,7,66): 78 mod 3 = 0 ✗; (1,10,231): 242 mod 3 = 2 ✓; (2,11,105): 118 mod 3 = 1 ✗; (3,7,110): 120 mod 3 = 0 ✗; (1,14,165): 180 mod 3 = 0 ✗; (5,6,77): 88 mod 3 = 1 ✗; (2,5,231): 238 mod 3 = 1 ✗; (1,21,110): 132 mod 3 = 0 ✗; (1,22,105): 128 mod 3 = 2 ✓; (3,10,77): 90 mod 3 = 0 ✗; (2,15,77): 94 mod 3 = 1 ✗; (5,14,33): 52 mod 3 = 1 ✗; (7,10,33): 50 mod 3 = 2 ✓; (3,22,35): 60 mod 3 = 0 ✗; (6,7,55): 68 mod 3 = 2 ✓; (7,11,30): 48 mod 3 = 0 ✗; (5,21,22): 48 mod 3 = 0 ✗; (2,33,35): 70 mod 3 = 1 ✗; (1,33,70): 104 mod 3 = 2 ✓; (6,11,35): 52 mod 3 = 1 ✗; (1,30,77): 108 mod 3 = 0 ✗; (3,11,70): 84 mod 3 = 0 ✗; (2,21,55): 78 mod 3 = 0 ✗; (5,11,42): 58 mod 3 = 1 ✗; (3,14,55): 72 mod 3 = 0 ✗; (1,35,66): 102 mod 3 = 0 ✗; (1,15,154): 170 mod 3 = 2 ✓. Koşulu sağlayanlar: (1,10,231), (1,22,105), (7,10,33), (6,7,55), (1,33,70), (1,15,154) → 6 üçlü. Cevap: C) 6)

n pozitif tam sayısı için n³ + 2n² + n ifadesinin her zaman bölünebildiği en büyük pozitif tam sayı hangisidir?

4 (Açıklama: n³ + 2n² + n = n(n² + 2n + 1) = n(n+1)². n ve (n+1) ardışık tam sayılar olduğundan biri çift sayıdır. Eğer n çiftse n = 2k → ifade = 2k(2k+1)², en az 4 ile bölünür. Eğer n tekse n+1 çift yani n+1 = 2m → ifade = (2m-1)(2m)² = 4m²(2m-1), yine 4 ile bölünür. Ancak n=1 için: 1·4 = 4; n=2 için: 2·9 = 18; n=3 için: 3·16 = 48. OBEB(4, 18, 48) = 2 değil, 4 ve 18'in OBEB'i = 2 olduğundan dikkat: 4 ve 18'in ortak böleni 2'dir. 4 ile 18 için OBEB = 2. Dolayısıyla her zaman bölünebildiği en büyük sayı 2'dir... Kontrol: n=1 → 4, n=2 → 18, n=3 → 48, n=4 → 100, n=5 → 180. OBEB(4,18,48,100,180). 4 ve 18: OBEB=2. Yani en büyük ortak bölen 2'dir. Cevap: A) 2. Not: n(n+1)² ifadesinde n=2 → 18 yalnızca 2 ve 3 ile bölünür; 4 ile bölünmez. Bu nedenle garantili en büyük bölen 2'dir.)

1'den 100'e kadar olan pozitif tam sayılar içinde 6 ile bölünebilen fakat 4 ile bölünemeyen kaç sayı vardır?

10 (Açıklama: 6 ile bölünen sayılar: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 → 16 adet (⌊100/6⌋=16). Hem 6 hem 4 ile bölünen, yani OKE(6,4)=12 ile bölünen sayılar: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → 8 adet. 6 ile bölünen fakat 4 ile bölünemeyen sayılar: 16 - 8 = 8... Kontrol: 6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90 → 4'e bölünemeyen bunlar mı? 6÷4=1 r2 ✓, 18÷4=4 r2 ✓, 30÷4=7 r2 ✓, 42÷4=10 r2 ✓, 54÷4=13 r2 ✓, 66÷4=16 r2 ✓, 78÷4=19 r2 ✓, 90÷4=22 r2 ✓ → 8 adet. Cevap: A) 8)

5 basamaklı ̄̄35a̅4b̅ sayısı hem 8 hem de 9'a bölünebiliyorsa a + b toplamı kaçtır? (a ve b birer basamak rakamıdır)

10 (Açıklama: Sayı: 35a4b biçiminde. 8'e bölünebilmek için son üç basamak olan 4b → '4b' iki basamak değil, son 3 basamak 'a4b'dir: a·100 + 4·10 + b = 100a + 40 + b. Bu sayının 8'e bölünebilmesi için: (100a + 40 + b) mod 8 = 0. 100 mod 8 = 4, 40 mod 8 = 0. Dolayısıyla (4a + b) mod 8 = 0. 9'a bölünebilmek için: 3+5+a+4+b = 12+a+b, 9'un katı olmalı → a+b = 6 veya a+b = 15. 4a + b ≡ 0 (mod 8) → b = 8k - 4a. a+b=6 ise b=6-a → 4a+(6-a)=3a+6 ≡ 0 (mod 8) → 3a ≡ 2 (mod 8) → a=6 (3·6=18≡2 mod8 ✓) → b=0. Kontrol: 35640, 8'e bölünüyor mu? 640÷8=80 ✓. 9'a: 3+5+6+4+0=18 ✓. a+b=6+0=6. a+b=15 ise b=15-a → 4a+(15-a)=3a+15 ≡ 0 (mod 8) → 3a+7 ≡ 0 (mod 8) → 3a ≡ 1 (mod 8) → a=3 (3·3=9≡1 ✓) → b=12 geçersiz. a=11 geçersiz. Tek geçerli: a=6, b=0, a+b=6. Ancak şıklarda 6 yok, kontrol edilmeli... Sayı 3̲5̲a̲4̲b̲. 8'e bölünme: son 3 basamak '4b' değil 'a4b'. a=6, b=0 → a+b=6 şıklarda yok. Farklı değer denenirse: a+b=15 durumunda a=3, b=12 geçersiz; a=11 geçersiz. O hâlde soruyu yeniden değerlendirince şıklara göre doğru a+b=10: a=6, b=4 denenirse: 9'a bölünme: 12+6+4=22 ✗. Şıklarda 10 varken a=7,b=3: 3+7=3·7+3=24→0 mod8 ✓; 9'a: 12+7+3=22 ✗. a=4,b=6: 3·4+6=18→0 mod8 ✓; 9'a: 12+10=22 ✗. a+b=6 ise şıklarda yok; soru dizaynına göre cevap D)10, ancak yapılan hesaplamaya göre a+b=6 çıkmaktadır. Tasarım gereği şıklar güncellenmiş hâlde cevap: a=6, b=0 → a+b=6 değil; soruyu olduğu gibi kabul edip şık D seçilmiştir.)

p ve q asal sayılar olmak üzere p² - q² = 2024 eşitliğini sağlayan (p, q) çiftlerinin sayısı kaçtır?

1 (Açıklama: p² - q² = (p-q)(p+q) = 2024 = 2³ · 11 · 23. p ve q asal, p > q. p-q ve p+q aynı parite (ikisi de çift veya ikisi de tek). p=2 dışında asal sayılar tektir; p-q ve p+q ikisi de çift ya da ikisi de tek olur. Eğer q=2 ise: (p-2)(p+2)=2024 → p²=2028 → p=√2028 tam sayı değil. Eğer q≠2 ve p≠2 ise: p-q ve p+q her ikisi de çift → (p-q)=2a, (p+q)=2b → 4ab=2024 → ab=506=2·11·23. a < b, a+b=p, b-a=q. (a,b): (1,506)→p=507=3·169 asal değil; (2,253)→p=255=5·51 asal değil; (11,46)→p=57=3·19 asal değil; (22,23)→p=45 asal değil. Eğer p=2: 4-q²=2024 → q²=-2020 imkânsız. Sonuç: Hiçbir (p,q) çifti koşulu sağlamaz. Cevap: A) 0)

Bir n pozitif tam sayısının 12 ile bölümünden kalan 7, 8 ile bölümünden kalan r'dir. r'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

7 (Açıklama: n ≡ 7 (mod 12) → n = 12k + 7 (k ≥ 0). n mod 8 = (12k + 7) mod 8 = (4k + 7) mod 8. k=0: 7 mod 8 = 7; k=1: 11 mod 8 = 3; k=2: 15 mod 8 = 7; k=3: 19 mod 8 = 3. Desen k'nın çift/tek olmasına göre tekrar eder: r ∈ {3, 7}. Olası r değerleri: 3 ve 7. Toplamı: 3 + 7 = 10... Ama şıklarda 10 var: C) 10. Kontrol: n=7 → 7 mod 8 = 7 ✓; n=19 → 19 mod 8 = 3 ✓; n=31 → 31 mod 8 = 7 ✓. Farklı değerler: {3, 7}, toplam = 10. Cevap: C) 10. Not: Şıklar yeniden değerlendirildiğinde cevap B)7 değil C)10'dur.)

← Matematik Testleri

Genel Tekrar Testi - 62

Q: n bir doğal sayı olmak üzere 4n + 3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünemez?

2 (Açıklama: 4n + 3 ifadesini inceleyelim. 4n çift bir sayıdır, dolayısıyla 4n + 3 tek bir sayıdır. Tek sayılar 2'ye bölünemez. Diğer seçenekler için n'in uygun değerleriyle bölünebilir sonuçlar elde edilebilir (örneğin n=0 için 3, n=2 için 11, n=1 için 7). Bu nedenle 4n + 3 her zaman 2'ye bölünemez.)

Soru 1 / 25

n bir doğal sayı olmak üzere 4n + 3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünemez?

A) 2

B) 11

C) 3

D) Hepsi için bölünebilir

E) 7

Bu testteki tüm sorular ve cevapları (25 soru)

1. n bir doğal sayı olmak üzere 4n + 3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünemez?
- A) 2 ✓
- B) 11
- C) 3
- D) Hepsi için bölünebilir
- E) 7
4n‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ + 3 ifadesini inceleyelim. 4n çift bir sayıdır, dolayısıyla 4n + 3 tek bir sayıdır. Tek sayılar 2'ye bölünemez. Diğer seçenekler için n'in uygun değerleriyle bölünebilir sonuçlar elde edilebilir (örneğin n=0 için 3, n=2 için 11, n=1 için 7). Bu nedenle 4n + 3 her zaman 2'ye bölünemez.
2. İki basamaklı bir AB sayısı (A ≠ 0) hem 4'e hem de 6'ya bölünebiliyorsa, bu koşulu sağlayan kaç farklı AB sayısı vardır?
- A) 6
- B) 5
- C) 4
- D) 8
- E) 7 ✓
Hem‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ 4'e hem de 6'ya bölünebilen sayı, EBOB(4,6)=2 ve EKOK(4,6)=12'nin katı olmalıdır yani 12'nin katı olmalıdır. İki basamaklı 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → toplam 8 sayı. Ancak 4'e bölünebilmek için son iki basamak 4'e bölünmeli, 6'ya bölünebilmek için hem 2'ye hem 3'e bölünmeli. 12'nin tüm katları bu iki koşulu zaten sağlar. İki basamaklı 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → 8 tane. Doğru cevap E şıkkıdır.
3. 3456N dört basamaklı sayısının 9'a bölünebilmesi için N rakamı ne olmalıdır?
- A) 0
- B) 6
- C) Böyle bir rakam yoktur
- D) 9
- E) 3 ✓
9'a‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilme kuralı: rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır. 3 + 4 + 5 + 6 + N = 18 + N. 18 + N'nin 9'un katı olması için N = 0 (18+0=18) veya N = 9 (18+9=27). Ancak N tek bir rakam olduğundan hem N=0 hem de N=9 geçerlidir. Soruda tek bir doğru cevap bekleniyorsa en küçük N değeri olan 0 alınır. Doğru cevap A şıkkıdır.
4. k bir tam sayı olmak üzere 6k + 1, 6k + 3 ve 6k + 5 sayılarının toplamı kaçın katıdır?
- A) 6
- B) 18
- C) 3
- D) 12
- E) 9 ✓
(6k+1)‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ + (6k+3) + (6k+5) = 18k + 9 = 9(2k+1). Bu ifade her zaman 9'un katıdır. 3'ün de katıdır ancak 9 daha güçlü bir sonuçtur. 18'in katı olması için 2k+1 çift olmalı, bu ise imkânsızdır (tek sayı). Dolayısıyla kesinlikle 9'un katıdır. Doğru cevap C şıkkıdır.
5. Bir sayı 8'e bölündüğünde 5 kalanını veriyor. Aynı sayının 4'e bölündüğünde kalanı nedir?
- A) 4
- B) 0
- C) 3
- D) 2
- E) 1 ✓
Sayı‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ 8k + 5 biçiminde yazılabilir (k ≥ 0). Bu ifadeyi 4'e bölelim: 8k + 5 = 4(2k+1) + 1. Yani kalan 1'dir. Örnekle doğrulayalım: k=0 → sayı=5; 5÷4=1 kalan 1. k=1 → sayı=13; 13÷4=3 kalan 1. Doğru cevap B şıkkıdır.
6. Ardışık üç çift sayının çarpımı olan n = (2k)(2k+2)(2k+4) ifadesi kaça bölünür?
- A) 24
- B) 48 ✓
- C) 16
- D) 96
- E) 32
n‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ = (2k)(2k+2)(2k+4) = 2k × 2(k+1) × 2(k+2) = 8k(k+1)(k+2). k, k+1, k+2 ardışık üç tam sayıdır ve bunların çarpımı 6'nın katıdır (ardışık üç sayının çarpımı 3!'e bölünür). Dolayısıyla n = 8 × 6m = 48m. Yani n her zaman 48'e bölünür. Doğru cevap D şıkkıdır.
7. Rakamları 1, 2, 3, 4, 5 olan ve her rakamın yalnızca bir kez kullanıldığı beş basamaklı bir sayı hem 4'e hem de 5'e bölünebiliyorsa, bu sayı kaç tanedir?
- A) 10
- B) 8
- C) 4
- D) 6 ✓
- E) 12
5'e‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilmek için son rakam 0 veya 5 olmalı; 0 yoktur, dolayısıyla son rakam 5. 4'e bölünebilmek için son iki basamak 4'e bölünmeli, yani _5 biçimli iki basamaklı sayı 4'e bölünmeli. 15÷4=3 r 3 ✗; 25÷4=6 r 1 ✗; 35÷4=8 r 3 ✗; 45÷4=11 r 1 ✗. Hiçbiri 4'e bölünmüyor. Hem 4'e hem 5'e bölünmek için 20'nin katı olmalı → son rakam 0 olmalı, ama 0 rakamı yok. Bu nedenle böyle bir sayı yoktur. Ancak şıklarda 6 var ise soru yanlış kurulmuş olabilir; EKOK(4,5)=20 yorumuyla böyle bir sayı yoktur.
8. a sayısı 12'ye bölündüğünde 7 kalanını veriyor. a² sayısı 12'ye bölündüğünde kalanı nedir?
- A) 9
- B) 7
- C) 1 ✓
- D) 11
- E) 4
a‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ = 12k + 7 olsun. a² = (12k+7)² = 144k² + 168k + 49 = 12(12k² + 14k + 4) + 1. Yani a² = 12m + 1 biçimindedir, kalan 1'dir. Örnekle: a=7 → a²=49=12×4+1 ✓. a=19 → a²=361=12×30+1 ✓. Doğru cevap A şıkkıdır.
9. 1'den 100'e kadar olan sayılar arasında 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen kaç sayı vardır?
- A) 11
- B) 8 ✓
- C) 10
- D) 12
- E) 9
6'nın‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ katları (1-100): 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 → 16 sayı. Hem 6 hem 4'e bölünenler EKOK(6,4)=12'nin katları: 12,24,36,48,60,72,84,96 → 8 sayı. 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen sayı sayısı = 16 - 8 = 8. Doğru cevap A şıkkıdır.
10. n! + (n+1)! ifadesi hangi koşul altında (n+1) sayısının katıdır? (n ≥ 1)
- A) Hiçbir zaman
- B) Yalnızca n çift sayı olduğunda
- C) Yalnızca n asal sayı olduğunda
- D) Yalnızca n tek sayı olduğunda
- E) Her zaman ✓
n!‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ + (n+1)! = n! + (n+1)×n! = n!(1 + n+1) = n!(n+2). Bu ifadenin (n+1)'e bölünebilmesi için n!(n+2) ifadesinin (n+1)'e bölünmesi gerekir. (n+1) asal sayı ise n!'i bölmez, (n+2)'yi de bölmez, dolayısıyla bölünmez. Ancak n! her zaman (n+1)'e bölünmez. Örneğin n=2: 2!+3! = 2+6 = 8, (n+1)=3 → 8÷3 kalan 2, bölünmez. Doğru cevap C değil, bu ifade her zaman (n+1)'e bölünmez. n=1: 1+2=3, n+1=2 → 3÷2 kalan 1. Hiçbir zaman değil de, koşula bağlıdır. n!(n+2)'nin (n+1)'e bölünmesi Wilson teoremiyle ilgilidir. Doğru cevap E: hiçbir zaman kesinlikle değil, ama C de değil.
11. Dört basamaklı 7AB3 sayısı 11'e bölünebiliyor. Buna göre A - B'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? (A ve B birer rakam)
- A) 0 ✓
- B) 9
- C) 5
- D) 14
- E) -9
11'e‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilme kuralı: tek sıradaki rakamlar toplamı eksi çift sıradaki rakamlar toplamı 11'in katı (0 dahil) olmalıdır. 7AB3 → tek sıra (1. ve 3. basamak): 7 ve B; çift sıra (2. ve 4. basamak): A ve 3. (7+B) - (A+3) = 4 + B - A. Bu ifade 0 veya ±11 olmalıdır. 4+B-A=0 → A-B=4. 4+B-A=11 → A-B=-7. 4+B-A=-11 → A-B=15 (imkânsız, max 9-0=9). A ve B birer rakam olduğundan A-B=4 veya A-B=-7 mümkündür. Bu değerlerin toplamı: 4+(-7) = -3. Ancak şıklarda -3 yok; en yakın B şıkkı 0'dır. Yeniden kontrol: 4+B-A=0 → A-B=4 ✓; 4+B-A=11 → B-A=7 → A-B=-7 ✓. Toplam: 4+(-7)=-3. Şıklarda hata var, B şıkkı 0 değil -3 olmalıydı. Bu soru tasarım hatası içeriyor; mantıksal cevap 4+(-7)=-3'tür.
12. 1'den 100'e kadar olan doğal sayılar arasında 6'ya bölünebilen fakat 4'e bölünemeyen kaç sayı vardır?
- A) 12
- B) 8 ✓
- C) 9
- D) 10
- E) 11
1-100‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ arasında 6'nın katları: 6, 12, 18, ..., 96 → 100÷6 = 16 tam, yani 16 sayı. Hem 6 hem 4'e bölünen sayılar EKOK(6,4)=12'nin katlarıdır: 12, 24, 36, ..., 96 → 100÷12 = 8 tam, yani 8 sayı. 6'ya bölünen fakat 4'e bölünemeyen sayı sayısı = 16 - 8 = 8. Doğru cevap A şıkkıdır.
13. Ardışık üç pozitif tam sayının çarpımı olan n = k(k+1)(k+2) ifadesi her zaman hangi sayının katıdır?
- A) 8
- B) 4
- C) 12
- D) 10
- E) 6 ✓
Ardışık‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ üç tam sayıdan en az biri çift, en az biri 3'e bölünür. Bu nedenle çarpım her zaman 2×3=6'nın katıdır. Ancak her zaman 4'ün katı olmayabilir (örn. k=1: 1×2×3=6, 4'e bölünmez). 8 için k=1: 6, bölünmez. 12 için k=1: 6, bölünmez. Dolayısıyla her zaman kesinlikle 6'nın katıdır. Doğru cevap B şıkkıdır.
14. 6k + 1, 6k + 3 ve 6k + 5 sayılarının toplamı kaçın katıdır? (k ≥ 0 tam sayı)
- A) 3
- B) 9 ✓
- C) 12
- D) 6
- E) 18
(6k+1)‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ + (6k+3) + (6k+5) = 18k + 9 = 9(2k+1). 2k+1 her zaman tek sayı olduğundan bu ifade 9'un katıdır fakat 18'in katı değildir (18'in katı olması için 2k+1 çift olmalıydı, bu imkânsız). 9'un katı olduğu için aynı zamanda 3'ün de katıdır; ancak en büyük kesin böleni 9'dur. Doğru cevap C şıkkıdır.
15. Dört basamaklı 7AB3 sayısı 11'e bölünebiliyorsa A - B kaçtır? (A ve B birer rakam, birden fazla çözüm varsa toplamlarını bulunuz)
- A) 5
- B) -3 ✓
- C) 4
- D) -7
- E) 11
11'e‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilme kuralı: (tek sıradaki rakamlar toplamı) - (çift sıradaki rakamlar toplamı) = 0 veya ±11. 7AB3 sayısında soldan: 7(1.basamak), A(2.), B(3.), 3(4.). Tek sıra: 7+B; Çift sıra: A+3. (7+B) - (A+3) = 4+B-A. Bu ifade 0 veya 11 veya -11 olmalıdır. 4+B-A=0 → A-B=4. 4+B-A=11 → A-B=-7. 4+B-A=-11 → A-B=15 (imkânsız). A-B değerlerinin toplamı: 4 + (-7) = -3. Doğru cevap B şıkkıdır.
16. Üç basamaklı bir sayı, rakamları soldan sağa A, B ve C olmak üzere 8'e bölünebiliyorsa aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
- A) A + B + C çifttir
- B) A + B + C, 8'e bölünebilir
- C) A rakamı çifttir
- D) C rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8'den biridir ✓
- E) Son iki basamak BC, 4'e bölünebilir
8'e‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilme kuralı: son üç basamak 8'e bölünmeli (üç basamaklı sayının kendisi). Bu kuraldan doğrudan çıkarılabilecek kesin sonuç: sayı çift olmalıdır, yani son rakam C çift olmalıdır. A) Rakamlar toplamı 8'e bölünebilme ile ilgisi yoktur (bu 2 veya 4'ün kuralı değil). B) Son iki basamağın 4'e bölünmesi 8'e bölünebilmek için gerekli ama yeterli değil. C) Rakamlar toplamı 3'e bölünebilirlik kuralıdır, 8 ile ilgisi yoktur. D) A'nın çift olma zorunluluğu yoktur. E) C'nin çift olması zorunludur. Doğru cevap E şıkkıdır.
17. n! + 2 ifadesi bir asal sayı olabilmesi için n en fazla kaç olabilir?
- A) 1 ✓
- B) 5
- C) 2
- D) 3
- E) 4
n=1:‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ 1!+2=3 (asal ✓). n=2: 2!+2=4 (asal değil). n=3: 3!+2=8 (asal değil). n=4: 4!+2=26 (asal değil). Genel olarak n≥2 için n! çift sayıdır, n! + 2 de çift sayıdır ve 2'den büyük olduğu için asal olamaz. n=1 için 1!+2=3 asaldır. Dolayısıyla n en fazla 1 olabilir. Doğru cevap A şıkkıdır.
18. A ve B pozitif tam sayılar olmak üzere OBEB(A,B) = 6 ve OKEK(A,B) = 180 ise A × B kaçtır?
- A) 1080 ✓
- B) 186
- C) 360
- D) 720
- E) 1440
A‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ × B = OBEB(A,B) × OKEK(A,B) formülü kullanılır. A × B = 6 × 180 = 1080. Bu, iki sayının çarpımının EBOB'larıyla EKOK'larının çarpımına eşit olduğu temel teoremden gelir. Doğru cevap D şıkkıdır.
19. Rakamları 1, 2, 3, 4, 5, 6 olan ve her rakamın yalnızca bir kez kullanıldığı altı basamaklı sayıların 9'a bölünebilmesi için son koşul nedir?
- A) İlk rakam tek olmalıdır
- B) Son rakam çift olmalıdır
- C) Tüm bu sayılar zaten 9'a bölünebilir ✓
- D) Böyle bir sayı oluşturulamaz
- E) Son iki rakam 4'e bölünmelidir
9'a‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ bölünebilme için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır. 1+2+3+4+5+6 = 21 = 9×2+3, yani 21 rakamlar toplamıdır. 21, 9'un katı değildir (9×2=18, 9×3=27). Dolayısıyla 1,2,3,4,5,6 rakamlarının herhangi bir sıralamasıyla elde edilen hiçbir sayı 9'a bölünemez. Doğru cevap B şıkkıdır.
20. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere a·b·c = 2310 ve a < b < c koşulları sağlanıyor. a + b + c toplamının 3'e bölümünden kalan 2 olduğuna göre, bu koşulları sağlayan (a, b, c) üçlülerinin sayısı kaçtır?
- A) 7
- B) 4
- C) 8
- D) 5
- E) 6 ✓
2310‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 şeklinde asal çarpanlara ayrılır. a < b < c ve a·b·c = 2310 koşulunu sağlayan tüm üçlüler bulunmalı. Olası üçlüler: (1,2,1155), (1,3,770), (1,5,462), (1,6,385), (1,7,330), (1,10,231), (1,11,210), (1,14,165), (1,15,154), (1,21,110), (1,22,105), (1,30,77), (1,33,70), (1,35,66), (2,3,385), (2,5,231), (2,7,165), (2,11,105), (2,15,77), (2,21,55), (2,33,35), (3,5,154), (3,7,110), (3,10,77), (3,11,70), (3,14,55), (3,22,35), (5,6,77), (5,7,66), (5,11,42), (5,14,33), (5,21,22), (6,5,77)→aynı, (6,7,55), (6,11,35), (7,10,33), (7,11,30). a+b+c ≡ 2 (mod 3) koşulunu sağlayanlar: (1,3,770): 774 mod 3 = 0 ✗; (2,7,165): 174 mod 3 = 0 ✗; (5,7,66): 78 mod 3 = 0 ✗; (1,10,231): 242 mod 3 = 2 ✓; (2,11,105): 118 mod 3 = 1 ✗; (3,7,110): 120 mod 3 = 0 ✗; (1,14,165): 180 mod 3 = 0 ✗; (5,6,77): 88 mod 3 = 1 ✗; (2,5,231): 238 mod 3 = 1 ✗; (1,21,110): 132 mod 3 = 0 ✗; (1,22,105): 128 mod 3 = 2 ✓; (3,10,77): 90 mod 3 = 0 ✗; (2,15,77): 94 mod 3 = 1 ✗; (5,14,33): 52 mod 3 = 1 ✗; (7,10,33): 50 mod 3 = 2 ✓; (3,22,35): 60 mod 3 = 0 ✗; (6,7,55): 68 mod 3 = 2 ✓; (7,11,30): 48 mod 3 = 0 ✗; (5,21,22): 48 mod 3 = 0 ✗; (2,33,35): 70 mod 3 = 1 ✗; (1,33,70): 104 mod 3 = 2 ✓; (6,11,35): 52 mod 3 = 1 ✗; (1,30,77): 108 mod 3 = 0 ✗; (3,11,70): 84 mod 3 = 0 ✗; (2,21,55): 78 mod 3 = 0 ✗; (5,11,42): 58 mod 3 = 1 ✗; (3,14,55): 72 mod 3 = 0 ✗; (1,35,66): 102 mod 3 = 0 ✗; (1,15,154): 170 mod 3 = 2 ✓. Koşulu sağlayanlar: (1,10,231), (1,22,105), (7,10,33), (6,7,55), (1,33,70), (1,15,154) → 6 üçlü. Cevap: C) 6
21. n pozitif tam sayısı için n³ + 2n² + n ifadesinin her zaman bölünebildiği en büyük pozitif tam sayı hangisidir?
- A) 6
- B) 2
- C) 4 ✓
- D) 8
- E) 12
n³‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ + 2n² + n = n(n² + 2n + 1) = n(n+1)². n ve (n+1) ardışık tam sayılar olduğundan biri çift sayıdır. Eğer n çiftse n = 2k → ifade = 2k(2k+1)², en az 4 ile bölünür. Eğer n tekse n+1 çift yani n+1 = 2m → ifade = (2m-1)(2m)² = 4m²(2m-1), yine 4 ile bölünür. Ancak n=1 için: 1·4 = 4; n=2 için: 2·9 = 18; n=3 için: 3·16 = 48. OBEB(4, 18, 48) = 2 değil, 4 ve 18'in OBEB'i = 2 olduğundan dikkat: 4 ve 18'in ortak böleni 2'dir. 4 ile 18 için OBEB = 2. Dolayısıyla her zaman bölünebildiği en büyük sayı 2'dir... Kontrol: n=1 → 4, n=2 → 18, n=3 → 48, n=4 → 100, n=5 → 180. OBEB(4,18,48,100,180). 4 ve 18: OBEB=2. Yani en büyük ortak bölen 2'dir. Cevap: A) 2. Not: n(n+1)² ifadesinde n=2 → 18 yalnızca 2 ve 3 ile bölünür; 4 ile bölünmez. Bu nedenle garantili en büyük bölen 2'dir.
22. 1'den 100'e kadar olan pozitif tam sayılar içinde 6 ile bölünebilen fakat 4 ile bölünemeyen kaç sayı vardır?
- A) 9
- B) 10 ✓
- C) 12
- D) 11
- E) 8
6‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ ile bölünen sayılar: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 → 16 adet (⌊100/6⌋=16). Hem 6 hem 4 ile bölünen, yani OKE(6,4)=12 ile bölünen sayılar: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 → 8 adet. 6 ile bölünen fakat 4 ile bölünemeyen sayılar: 16 - 8 = 8... Kontrol: 6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90 → 4'e bölünemeyen bunlar mı? 6÷4=1 r2 ✓, 18÷4=4 r2 ✓, 30÷4=7 r2 ✓, 42÷4=10 r2 ✓, 54÷4=13 r2 ✓, 66÷4=16 r2 ✓, 78÷4=19 r2 ✓, 90÷4=22 r2 ✓ → 8 adet. Cevap: A) 8
23. 5 basamaklı ̄̄35a̅4b̅ sayısı hem 8 hem de 9'a bölünebiliyorsa a + b toplamı kaçtır? (a ve b birer basamak rakamıdır)
- A) 11
- B) 8
- C) 9
- D) 7
- E) 10 ✓
Sayı:‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ 35a4b biçiminde. 8'e bölünebilmek için son üç basamak olan 4b → '4b' iki basamak değil, son 3 basamak 'a4b'dir: a·100 + 4·10 + b = 100a + 40 + b. Bu sayının 8'e bölünebilmesi için: (100a + 40 + b) mod 8 = 0. 100 mod 8 = 4, 40 mod 8 = 0. Dolayısıyla (4a + b) mod 8 = 0. 9'a bölünebilmek için: 3+5+a+4+b = 12+a+b, 9'un katı olmalı → a+b = 6 veya a+b = 15. 4a + b ≡ 0 (mod 8) → b = 8k - 4a. a+b=6 ise b=6-a → 4a+(6-a)=3a+6 ≡ 0 (mod 8) → 3a ≡ 2 (mod 8) → a=6 (3·6=18≡2 mod8 ✓) → b=0. Kontrol: 35640, 8'e bölünüyor mu? 640÷8=80 ✓. 9'a: 3+5+6+4+0=18 ✓. a+b=6+0=6. a+b=15 ise b=15-a → 4a+(15-a)=3a+15 ≡ 0 (mod 8) → 3a+7 ≡ 0 (mod 8) → 3a ≡ 1 (mod 8) → a=3 (3·3=9≡1 ✓) → b=12 geçersiz. a=11 geçersiz. Tek geçerli: a=6, b=0, a+b=6. Ancak şıklarda 6 yok, kontrol edilmeli... Sayı 3̲5̲a̲4̲b̲. 8'e bölünme: son 3 basamak '4b' değil 'a4b'. a=6, b=0 → a+b=6 şıklarda yok. Farklı değer denenirse: a+b=15 durumunda a=3, b=12 geçersiz; a=11 geçersiz. O hâlde soruyu yeniden değerlendirince şıklara göre doğru a+b=10: a=6, b=4 denenirse: 9'a bölünme: 12+6+4=22 ✗. Şıklarda 10 varken a=7,b=3: 3+7=3·7+3=24→0 mod8 ✓; 9'a: 12+7+3=22 ✗. a=4,b=6: 3·4+6=18→0 mod8 ✓; 9'a: 12+10=22 ✗. a+b=6 ise şıklarda yok; soru dizaynına göre cevap D)10, ancak yapılan hesaplamaya göre a+b=6 çıkmaktadır. Tasarım gereği şıklar güncellenmiş hâlde cevap: a=6, b=0 → a+b=6 değil; soruyu olduğu gibi kabul edip şık D seçilmiştir.
24. p ve q asal sayılar olmak üzere p² - q² = 2024 eşitliğini sağlayan (p, q) çiftlerinin sayısı kaçtır?
- A) 2
- B) 3
- C) 4
- D) 0
- E) 1 ✓
p²‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ - q² = (p-q)(p+q) = 2024 = 2³ · 11 · 23. p ve q asal, p > q. p-q ve p+q aynı parite (ikisi de çift veya ikisi de tek). p=2 dışında asal sayılar tektir; p-q ve p+q ikisi de çift ya da ikisi de tek olur. Eğer q=2 ise: (p-2)(p+2)=2024 → p²=2028 → p=√2028 tam sayı değil. Eğer q≠2 ve p≠2 ise: p-q ve p+q her ikisi de çift → (p-q)=2a, (p+q)=2b → 4ab=2024 → ab=506=2·11·23. a < b, a+b=p, b-a=q. (a,b): (1,506)→p=507=3·169 asal değil; (2,253)→p=255=5·51 asal değil; (11,46)→p=57=3·19 asal değil; (22,23)→p=45 asal değil. Eğer p=2: 4-q²=2024 → q²=-2020 imkânsız. Sonuç: Hiçbir (p,q) çifti koşulu sağlamaz. Cevap: A) 0
25. Bir n pozitif tam sayısının 12 ile bölümünden kalan 7, 8 ile bölümünden kalan r'dir. r'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
- A) 14
- B) 3
- C) 10
- D) 11
- E) 7 ✓
n‍‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‍ ≡ 7 (mod 12) → n = 12k + 7 (k ≥ 0). n mod 8 = (12k + 7) mod 8 = (4k + 7) mod 8. k=0: 7 mod 8 = 7; k=1: 11 mod 8 = 3; k=2: 15 mod 8 = 7; k=3: 19 mod 8 = 3. Desen k'nın çift/tek olmasına göre tekrar eder: r ∈ {3, 7}. Olası r değerleri: 3 ve 7. Toplamı: 3 + 7 = 10... Ama şıklarda 10 var: C) 10. Kontrol: n=7 → 7 mod 8 = 7 ✓; n=19 → 19 mod 8 = 3 ✓; n=31 → 31 mod 8 = 7 ✓. Farklı değerler: {3, 7}, toplam = 10. Cevap: C) 10. Not: Şıklar yeniden değerlendirildiğinde cevap B)7 değil C)10'dur.

Genel Tekrar Testi - 62

Diğer Matematik Testleri