Genel Tekrar Testi - 63

1. n! + (n+1)! ifadesinin (n+2) ile tam bölünebilmesi için n kaç olmalıdır? (n pozitif tam sayı)

• A) Yalnızca tek n değerleri
• B) (n+2) asal olduğunda hiçbir n ✓
• C) Yalnızca n=1
• D) Yalnızca çift n değerleri
• E) Tüm pozitif tam sayı n değerleri

n!‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + (n+1)! = n! · (1 + (n+1)) = n! · (n+2). Bu ifade açıkça (n+2)'nin katıdır çünkü n!·(n+2) = (n+2)·n!. Dolayısıyla n!·(n+2) her zaman (n+2)'ye bölünür. Peki (n+2) asal olduğunda ne olur? Yine n!·(n+2), (n+2)'ye bölünür: oran n! olur. Yani tüm pozitif n değerleri için bölünebilirlik sağlanır. Cevap: E) Tüm pozitif tam sayı n değerleri.

2. Ardışık üç pozitif tam sayının karelerinin toplamı 2n+1 formunda bir asal sayıya eşittir. Bu üç ardışık tam sayının en küçüğü en fazla kaç olabilir?

• A) 4
• B) 3
• C) 1 ✓
• D) Bu koşulu sağlayan sonsuz çözüm vardır
• E) 2

k,‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ k+1, k+2 ardışık tam sayılar olsun. k²+(k+1)²+(k+2)² = 3k²+6k+5. Bu ifadenin asal ve 2n+1 formunda (yani tek asal) olması gerekir. 3k²+6k+5 her zaman tek mi? 3k²+6k = 3k(k+2) her zaman çift değil: k tek ise 3k tek, k+2 tek, çarpım tek; 6k çift → toplam tek+çift = tek. k çift ise 3k çift → 6k çift → toplam çift+çift = çift → 3k²+6k+5 tek. Her iki durumda da 3k²+6k+5 tektir (k çift için: çift+5=tek ✓; k tek için: 3·tek²+6·tek+5: 3·tek=tek, 6·tek=çift → tek+çift+5=tek+5=çift? Düzeltelim: k=1 → 1+4+9=14 bileşik ✗; k=2 → 4+9+16=29 asal ✓, 2·14+1=29 ✓; k=3 → 9+16+25=50 bileşik ✗; k=4 → 16+25+36=77=7·11 bileşik ✗; k=5 → 25+36+49=110 ✗; k=6 → 36+49+64=149 asal ✓. Sonsuz çözüm olduğu görülmektedir, ancak 'en küçük k' için: k=1 → 14 (asal değil), k=2 → 29 (asal, 2n+1: n=14 ✓). Sorunun cevabı 'bu koşulu sağlayan sonsuz çözüm vardır' şeklinde olmalıdır, ancak soru 'en küçüğü en fazla kaç olabilir' diye soruyorsa ve sonsuz çözüm varsa en küçük sınır yoktur. k=1 hariç pek çok k değeri asal vermez; en küçük çalışan k=2'dir. Cevap: A) 1 değil, bağlam gereği en küçük geçerli değer k=2 → şık B ama 'en fazla' ifadesi yanıltıcıdır. KPSS bağlamında cevap A)1 (en küçük değer 1 olabilir mi? k=1 → 14 asal değil). Cevap B) 2 olarak alınmalıdır.

3. 2^100 + 1 sayısını 3'e böldüğümüzde kalan kaçtır?

• A) 2 ✓
• B) 4
• C) 0
• D) 1
• E) 3

2‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ mod 3 = 2 = -1 (mod 3). 2^100 mod 3 = (-1)^100 = 1. 2^100 + 1 ≡ 1 + 1 = 2 (mod 3). Kalan: 2. Cevap: C) 2

4. ABCABC biçimindeki 6 basamaklı bir sayı (A,B,C rakamlar, A≠0) daima hangi sayılara bölünür? (Tüm seçenekler doğruysa en kapsamlı olanı seçin)

• A) 7, 11, 13 ve 3
• B) 7 ve 11
• C) 7, 11, 13 ve 77
• D) Yalnızca 7
• E) 7, 11 ve 13 ✓

ABCABC‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = ABC · 1000 + ABC = ABC · 1001. 1001 = 7 · 11 · 13. Bu nedenle ABCABC her zaman 7, 11 ve 13'e (dolayısıyla 1001'e de) bölünür. 3 ile bölünebilmesi ise A+B+C'nin 3'ün katı olmasına bağlıdır; bu garanti edilemez. Cevap: C) 7, 11 ve 13

5. k pozitif tam sayı olmak üzere 15k + 4 ifadesi aşağıdakilerden hangisine kesinlikle bölünemez?

• A) 19
• B) 5
• C) 2
• D) Hem 3 hem 5 ✓
• E) 3

15k‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + 4 ifadesini inceleyelim: Mod 3: 15k ≡ 0, dolayısıyla 15k+4 ≡ 1 (mod 3). 3 ile kesinlikle bölünemez. Mod 5: 15k ≡ 0, dolayısıyla 15k+4 ≡ 4 (mod 5). 5 ile kesinlikle bölünemez. Mod 2: k çift ise 15k çift → 15k+4 çift, 2 ile bölünür. k tek ise 15k tek → 15k+4 tek, 2 ile bölünemez. Yani 2 ile bölünmesi garantili değil. Mod 19: k=1 → 19, bölünür. Soru 'kesinlikle bölünemez' olduğundan hem 3 hem 5 kesin bölünemez durumundadır. En kapsamlı cevap: E) Hem 3 hem 5. Cevap: E)

6. a ve b doğal sayılar olmak üzere OBEB(a,b) = 6 ve OKE(a,b) = 180 ise a + b değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

• A) 54
• B) 42
• C) 78
• D) 90
• E) 66 ✓

a‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 6m, b = 6n; OBEB(m,n)=1; m·n = 180/6 = 30 = 2·3·5. OBEB(m,n)=1 olan (m,n) çiftleri (m≤n): (1,30), (2,15), (3,10), (5,6). a+b = 6(m+n): (1,30) → 6·31=186; (2,15) → 6·17=102; (3,10) → 6·13=78; (5,6) → 6·11=66. En büyük: 186. Şıklarda 186 yok. Soru 'en büyük' sorarken şıklar 66 ve 78'i içeriyor; en büyük şık 90. (1,30) çifti için OBEB(1,30)=1 ✓, a=6, b=180 → a+b=186. Bu şıklarda olmadığından soruya göre şıklar içindeki en büyük geçerli: (3,10) → 78. Ancak (1,30) geçerli olduğundan gerçek cevap 186'dır ama şıklarda en yakın D)78 şıkkı soru tasarım hatası olsa da seçilir. Doğru matematiksel cevap (1,30)→186 olup şıklarda bulunmadığından KPSS bağlamında D) 78 işaretlenir.

7. 10 basamaklı bir sayının tüm basamak rakamlarının toplamı 50'dir. Bu sayı 9'a bölündüğünde kalan kaç olabilir?

• A) Yalnızca 5 ✓
• B) 4 veya 5
• C) 3 veya 6
• D) Yalnızca 4
• E) 2

Bir‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sayının 9'a bölümünden kalan, basamak rakamları toplamının 9'a bölümünden kalanına eşittir. Basamak toplamı = 50. 50 mod 9: 50 = 5·9 + 5 → 50 mod 9 = 5. Dolayısıyla bu sayı 9'a bölündüğünde kalan daima 5'tir. Cevap: A) Yalnızca 5

8. n² + 3n + 2 ifadesi 4'ün katı olduğunda n'nin 4'e göre kalanı nedir?

• A) 0, 1, 2 veya 3
• B) Yalnızca 1
• C) Yalnızca 0
• D) 1 veya 3 ✓
• E) 0 veya 2

n²+3n+2‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = (n+1)(n+2). Bu ifadenin 4'e bölünebilmesi için (n+1)(n+2) ≡ 0 (mod 4). n+1 ve n+2 ardışık tam sayılardır; biri çift diğeri tektir. Çift olan biri 4'ün katı olmalıdır, çünkü ardışıkta tek·çift = 4·X için çift olanın 4'ün katı olması gerekir. n ≡ 0 (mod 4): n+1=1(tek), n+2=2(çift) → 1·2=2, 4'ün katı değil ✗. n ≡ 1 (mod 4): n+1=2(çift), n+2=3(tek) → 2·3=6, 4'ün katı değil ✗. n ≡ 2 (mod 4): n+1=3(tek), n+2=4(çift,4'ün katı) → 3·4=12 ✓. n ≡ 3 (mod 4): n+1=4(çift,4'ün katı), n+2=5(tek) → 4·5=20 ✓. 4'e bölünebilmesi için n ≡ 2 veya n ≡ 3 (mod 4), yani kalan 2 veya 3. Cevap: D) 1 veya 3... Hayır: kalan 2 veya 3. Şıklar arasında 'D) 1 veya 3' değil 'C) 0 veya 2' de yanlış. Doğru: n mod 4 ∈ {2,3}. Cevap şık olarak yeniden düzenlendiğinde D) seçeneği '2 veya 3' olmalıydı. KPSS bağlamında D işaretlenir.

9. 1000 ile 9999 arasındaki 4 basamaklı pozitif tam sayılar içinde hem 4 hem de 6'ya bölünebilen fakat 9'a bölünemeyen kaç sayı vardır?

• A) 334
• B) 500
• C) 250
• D) 750
• E) 584 ✓

Hem‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 4 hem 6'ya bölünebilen → OKE(4,6)=12'nin katı olan 4 basamaklı sayılar. 12'nin katları: ⌊9999/12⌋ - ⌊999/12⌋ = 833 - 83 = 750 adet. 12'nin katı olup 9'a da bölünen → OKE(12,9)=36'nın katları: ⌊9999/36⌋ - ⌊999/36⌋ = 277 - 27 = 250 adet. 12'nin katı olup 9'a bölünemeyen: 750 - 250 = 500. Cevap: C) 500. Not: Doğrudan hesap: 12'nin katları 4 basamaklı → 1008'den 9996'ya. Sayı = (9996-1008)/12 + 1 = 8988/12 + 1 = 749+1 = 750 ✓. 36'nın katları → 1008'den 9972'ye: (9972-1008)/36 + 1 = 8964/36 + 1 = 249+1 = 250 ✓. Sonuç: 750-250=500. Cevap: C) 500.

10. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, a³ - b³ ifadesi 7'ye bölünebilmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) a + b her zaman 7'ye bölünebilir.
• B) a³ - b³ ifadesinden kesin bir sonuç çıkarılamaz. ✓
• C) a - b her zaman 7'ye bölünebilir.
• D) a² + ab + b² her zaman 7'ye bölünebilir.
• E) a ve b'nin her ikisi de 7'ye bölünebilir.

a³‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ifadesi 7'ye bölünebiliyorsa, 7 asal sayı olduğundan ya (a - b) 7'ye bölünür ya da (a² + ab + b²) 7'ye bölünür ya da her ikisi birden bölünür. Örneğin a=8, b=1 için a³-b³=511=7×73, burada a-b=7 bölünür fakat a²+ab+b²=73 bölünmez. Öte yandan a=2, b=1 için a³-b³=7, a-b=1 bölünmez ama a²+ab+b²=7 bölünür. Dolayısıyla ne (a-b), ne (a²+ab+b²), ne de a ve b'nin her ikisi kesin bölünür. Hiçbir şekilde kesin bir sonuç çıkarılamaz; doğru cevap E'dir.

11. n pozitif tam sayı olmak üzere, n⁵ - n ifadesinin hangi sayılara her zaman bölünebildiği araştırılıyor. Aşağıdaki seçeneklerde verilen sayılardan hangisine n⁵ - n kesinlikle her zaman bölünür?

• A) 8
• B) 60
• C) 15
• D) 30 ✓
• E) 120

n⁵‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - n = n(n⁴ - 1) = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)·n·(n+1)·(n²+1). Fermat'nın küçük teoreminden p asal olmak üzere n^p ≡ n (mod p). p=2 için n²≡n → n⁵=(n²)²·n≡n²·n=n³≡n(mod2) doğru, p=3: n³≡n(mod3), n⁵=n³·n²≡n·n²=n³≡n(mod3) doğru, p=5: n⁵≡n(mod5) doğru. Ayrıca ardışık üç tam sayı çarpımı 6'ya bölünür. Dolayısıyla n⁵-n, 2, 3 ve 5'e bölünür, yani 30'a bölünür. 60 için ise n=1 denersek 1-1=0; n=2 için 32-2=30, 30÷60=0,5 bölünmez. Dolayısıyla kesin cevap 30'dur.

12. Birbirinden farklı a, b, c pozitif tam sayıları için (a - b)(b - c)(c - a) çarpımının 2'ye bölünebilmesi için hangi koşul kesinlikle yeterlidir?

• A) a, b, c'nin en az biri çift sayıdır.
• B) a + b + c tek sayıdır.
• C) a, b, c ardışık tam sayılardır.
• D) a·b·c çift sayıdır.
• E) (a-b)(b-c)(c-a) her zaman 2'ye bölünür, ek koşul gerekmez. ✓

a,‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ b, c farklı tam sayılar alındığında parite (çift-tek) analizine bakılır. Üç sayı ya (ÇÇÇ), (TTT), (ÇÇT), (ÇTT) paritesindedir. ÇÇÇ durumunda: farklar çift-çift-çift, çarpım çift. TTT durumunda: farklar çift-çift-çift, çarpım çift. ÇÇT durumunda: a-b çift, b-c tek, c-a tek; çarpım = çift×tek×tek = çift. ÇTT durumunda: a-b tek, b-c çift, c-a tek; çarpım = tek×çift×tek = çift. Tüm durumlarda çarpım çifttir. Dolayısıyla (a-b)(b-c)(c-a) ek bir koşul olmaksızın her zaman 2'ye bölünür.

13. 1'den 100'e kadar olan pozitif tam sayıların karelerinin toplamı S = 1² + 2² + 3² + ... + 100² = 338350 olduğuna göre, S sayısı aşağıdaki sayıların hangisine bölünemez?

• A) 2
• B) 4 ✓
• C) 25
• D) 13
• E) 5

S‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = 338350. 338350 ÷ 2 = 169175 (tam), dolayısıyla 2'ye bölünür. 338350 ÷ 5 = 67670 (tam), 5'e bölünür. 338350 ÷ 25 = 13534 (tam), 25'e bölünür. 338350 ÷ 13 = 26027 (tam), 13'e bölünür. 338350 ÷ 4 = 84587,5 (tam değil), dolayısıyla S 4'e bölünemez. Genel formül S = n(n+1)(2n+1)/6, n=100 için 100×101×201/6 = 338350. 338350 = 2×5²×13×521... çift ama 4'ün katı değildir çünkü 2 sadece bir kez çarpandadır.

14. p ve q asal sayılar, p < q ve p·q | (p-1)!(q-1)! koşulu sağlanıyor. Buna göre p için kaç farklı değer mümkündür? (Not: p·q | x, x'in p·q'ya bölündüğü anlamındadır.)

• A) Sonsuz sayıda ✓
• B) Yalnızca p=2 çalışır.
• C) 2
• D) 1
• E) 0

Wilson‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ teoreminden (p-1)! ≡ -1 (mod p) ve (q-1)! ≡ -1 (mod q). p | (p-1)! koşuluna bakarsak: p asal olduğundan (p-1)! mod p = p-1 ≡ -1 ≢ 0 (mod p). Yani p, (p-1)!'i bölmez! Benzer şekilde q da (q-1)!'i bölmez. Peki p·q, (p-1)!·(q-1)!'i böler mi? p | (p-1)! yanlış olduğundan p·q hiçbir zaman (p-1)!(q-1)!'i bölemez. Dolayısıyla bu koşulu sağlayan hiçbir asal p,q çifti yoktur, yani 0 farklı değer mümkündür.

15. Bir n doğal sayısı için n! + 1 ifadesinin n'in kendisine bölünebildiği bilinmektedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi n için kesinlikle doğrudur?

• A) n asaldır veya n = 1'dir. ✓
• B) n bileşik sayıdır.
• C) n = 1 veya n bileşiktir.
• D) n asal sayıdır.
• E) n tekdir.

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ | n!+1 koşulunu inceleyelim. n=1: 1!+1=2, 1|2 ✓. n=2: 2!+1=3, 2∤3 ✗. n=3: 3!+1=7, 3∤7 ✗. n=4: 4!+1=25, 4∤25 ✗. n=5: 5!+1=121=11², 5∤121 ✗. Asal p için Wilson teoreminden (p-1)!≡-1(mod p), yani p·(p-1)!+p ≡ 0 değil; p | p! trivial, p | p!+1 ise p|1 demektir, imkansız. Bileşik n için n'nin çarpanları n!'in içinde yer aldığından n|n! dolayısıyla n|n!+1 sadece n|1 ise mümkündür, bu da n=1 anlamına gelir. Yani yalnızca n=1 için koşul sağlanır. Bu da 'n=1 veya n bileşiktir' seçeneğinden farklı olarak 'n asal veya n=1' seçeneğinin yanlış göründüğünü, ama tek doğru değerin n=1 olduğunu ortaya koyar. Seçenekler arasında en doğru ifade B şıkkıdır (n=1 özel durum, asallık hariç tutularak).

16. A = 1! + 2! + 3! + ... + 2025! toplamı için A mod 12 değeri nedir?

• A) 1
• B) 9 ✓
• C) 11
• D) 3
• E) 5

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ≥ 4 için n!, 12'nin katıdır (çünkü 4! = 24 = 2×12). Dolayısıyla A mod 12 = (1! + 2! + 3!) mod 12 = (1 + 2 + 6) mod 12 = 9 mod 12 = 9. 4! = 24 ≡ 0, 5! = 120 ≡ 0, ... hepsi 12'ye bölünür. Yani yalnızca ilk üç terimi hesaplamak yeterlidir: 1+2+6=9.

17. m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere, (2m + 1) ve (2n + 1) ifadelerinin her ikisi de asal sayı ve aralarında 2m+1 < 2n+1 koşulu sağlanıyor. Bu iki asal sayının farkı olan (2n+1) - (2m+1) = 2(n-m) ifadesi 4'e bölünebilir mi? Buna göre hangi durum kesinlikle doğrudur?

• A) Hiçbir zaman 4'e bölünmez.
• B) Her zaman 4'e bölünür.
• C) Yalnızca m=1 ve n=2 durumunda bölünür.
• D) 2 hariç tüm asal çiftler için 4'e bölünür. ✓
• E) Bazı durumlarda bölünür, bazı durumlarda bölünmez.

2'den‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ büyük iki asal sayının farkı: her ikisi de tek olduğundan fark çifttir. Fark = 2(n-m). Bu ifadenin 4'e bölünmesi için n-m'nin çift olması gerekir. Örnek: p=3(m=1), q=7(n=3): fark=4, 4'e bölünür ✓. p=3(m=1), q=5(n=2): fark=2, 4'e bölünmez ✗. Yani 2'den büyük iki tek asalın farkı 2'nin katı olmak zorundadır ama 4'ün katı olmak zorunda değildir. İkiz asal çiftlerinde (fark=2) 4'e bölünmez, diğer durumlarda bölünebilir de olmaz da. Dolayısıyla cevap E değil D'dir: 2'nin kendisi tek olmadığından 2 hariç tüm asal çiftlerin her ikisi de tektir ve farkları her zaman 2'nin katıdır. Ancak 4'e bölünürlük için ek koşul gerekir, bu yüzden asıl dikkat çekici sonuç D şıkkındaki '2 hariç' kısıtlamasıdır. Fark daima çift (2'nin katı) olur; 4'e bölünüp bölünmediği çifte bağlıdır. En kapsamlı doğru ifade D'dir.

18. Dört basamaklı ABBA formundaki (A≠0, A≠B) bir sayının 7, 11 ve 13'ün çarpımı olan 1001'e bölünebildiği bilinmektedir. Bu sayı kaçtır?

• A) 1001
• B) Böyle bir sayı yoktur.
• C) 7007
• D) Her A için mümkündür. ✓
• E) 2002

ABBA‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ formundaki sayı = 1000A + 100B + 10B + A = 1001A + 110B. Bu sayının 1001'e bölünmesi için 1001A + 110B ≡ 0 (mod 1001). 1001A ≡ 0 (mod 1001) olduğundan 110B ≡ 0 (mod 1001) olması gerekir. 1001 = 7×11×13 ve gcd(110, 1001): 110=2×5×11, gcd(110,1001)=11. Dolayısıyla 110B/11 = 10B ≡ 0 (mod 91) yani 10B ≡ 0 (mod 91). gcd(10,91)=1 olduğundan B ≡ 0 (mod 91). B tek basamaklı (0-9) olduğundan B=0. Ama A≠B koşulu var ve A≠0; B=0 olunca ABBA = AA0A değil, A00A = 1001A formatı. A=1 için 1001, A=2 için 2002, ..., A=9 için 9009. Bunların hepsi 1001'e bölünür. Ancak soru 'bu sayı kaçtır' diye sorduğundan ve seçeneklere bakıldığında D şıkkı 'her A için mümkündür' en doğru yanıttır.

19. f(n) = n³ + 2n fonksiyonu için f(n)'nin her pozitif tam sayı n değerinde hangi sayıya bölünebildiği araştırılıyor. Buna göre f(n) her zaman hangi sayıya bölünür?

• A) 9
• B) 8
• C) 4
• D) 3 ✓
• E) 6

f(n)‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = n³ + 2n = n(n² + 2). 3'e göre: n ≡ 0 (mod 3) ise n 3'ün katı, bölünür. n ≡ 1 (mod 3) ise n²+2 ≡ 1+2=3 ≡ 0 (mod 3), bölünür. n ≡ 2 (mod 3) ise n²+2 ≡ 4+2=6 ≡ 0 (mod 3), bölünür. Dolayısıyla f(n) her zaman 3'e bölünür. 6 için de bakarız: n=1: f(1)=1+2=3, 3÷6 tam değil. Yani 6'ya her zaman bölünmez. Cevap E (3).

20. Ardışık 5 pozitif tam sayının küplerinin toplamı T = k³ + (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ + (k+4)³ ifadesi her zaman hangi sayıya bölünür?

• A) 5 ✓
• B) 4
• C) 7
• D) 25
• E) 3

T‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = k³+(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³+(k+4)³. Küp toplamı formülü kullanılarak: her n için n³ = n³. Bu toplamı 5'e bölünürlük açısından inceleyelim. 5 ardışık tam sayı, mod 5 bakımından {0,1,2,3,4} değerlerini tam olarak bir kez alır (k'nın değerinden bağımsız). Her tam sayının küpü mod 5: 0³=0, 1³=1, 2³=3, 3³=2, 4³=4 (mod 5). Toplam: 0+1+3+2+4=10≡0 (mod 5). Dolayısıyla T her zaman 5'e bölünür. k=1 için 1+8+27+64+125=225, 225÷5=45 ✓. 225÷25=9 ✓. Peki 25 için k=2: 8+27+64+125+216=440, 440÷25=17,6 ✗. Dolayısıyla kesin cevap 5'tir.

21. a ve b tam sayıları için a² - b² ifadesi 2023'e bölünebiliyor. 2023 = 7 × 17² olduğuna göre, (a+b) ve (a-b) çarpanları hakkında kesinlikle söylenebilecek olan aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 7|(a+b) ve 17|(a-b) ya da tam tersi olmalıdır.
• B) a ve b'nin her ikisi de tek olmak zorundadır.
• C) 2023, (a+b)(a-b) çarpımını böler; bu çarpanların her birinin tek tek 2023'e bölünmesi gerekmez. ✓
• D) a+b ya da a-b'den biri 2023'e bölünür.
• E) a+b ve a-b'nin ikisi de 7'ye bölünmek zorundadır.

a²-b²=(a+b)(a-b)‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ve 2023 | (a+b)(a-b). 2023=7×17². 7 asal olduğundan 7|(a+b) veya 7|(a-b). 17²=289 için ise 289|(a+b)(a-b); bu 289|(a+b) veya 289|(a-b) ya da 17|(a+b) ve 17|(a-b) şeklinde dağılabilir. Kesin olarak söylenebilecek olan şudur: 2023 çarpımı böler ama bu, çarpanların her birinin tek tek 2023'e bölünmesi anlamına gelmez. Örneğin a+b=7, a-b=17² durumunda (7×289=2023), her biri ayrı ayrı 2023'e bölünmez. Dolayısıyla doğru cevap C'dir.

22. n! + (n+1)! + (n+2)! ifadesi (n+2)² ile bölünebilmesi için n hangi değerleri alabilir? (n pozitif tam sayı)

• A) n tek olduğunda
• B) Her pozitif tam sayı n için bölünür.
• C) Hiçbir n için bölünmez.
• D) Yalnızca n=1
• E) Yalnızca n=2 ✓

n!‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ + (n+1)! + (n+2)! = n![1 + (n+1) + (n+1)(n+2)] = n![1 + n+1 + n²+3n+2] = n![n²+4n+4] = n!(n+2)². Dolayısıyla ifade = n!·(n+2)². Bu ifadenin (n+2)²'ye bölünmesi için n!·(n+2)² ÷ (n+2)² = n! tam sayı olması yeterlidir. n! her zaman tam sayı olduğundan bu ifade her pozitif tam sayı n için (n+2)²'ye tam bölünür. Cevap E.

23. 10 basamaklı bir sayı düşünün; bu sayının tüm basamaklarının toplamı 2'ye bölünebiliyor, tüm basamaklarının rakamları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 rakamlarının her birini tam olarak bir kez içeriyor. Bu sayı kaç farklı asal sayıya kesinlikle bölünür?

• A) Yalnızca 2 ve 3
• B) Yalnızca 3 ✓
• C) 2, 3 ve 5
• D) Yalnızca 2
• E) 2, 3, 5 ve 7

0,1,2,...,9‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ rakamlarının her birini tam olarak bir kez içeren 10 basamaklı sayı için basamak toplamı = 0+1+2+...+9=45. 45, 3'e bölünür (45÷3=15) ve 9'a bölünür (45÷9=5). Dolayısıyla böyle her sayı 3'e (ve 9'a) bölünür. Ancak son basamak 0 olmayabilir (sayı çift veya 5'in katı olmayabilir); örneğin son basamak 1 ise ne 2'ye ne 5'e bölünür. Yani 2'ye ve 5'e bölünürlük garanti değildir. 7 için de genel bir kural yoktur. Kesinlikle bölüneceği tek asal 3'tür (ayrıca 9'da asal değil). Cevap B.

24. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere, (a² - b²) ifadesi hem 15 hem de 28 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a + b ifadesinin alabileceği en küçük pozitif değer kaçtır?

• A) 28
• B) 15
• C) 21
• D) 35 ✓
• E) 42

a²‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ - b² = (a+b)(a-b) olduğundan, bu çarpım hem 15 = 3·5 hem de 28 = 4·7 ile bölünebilmelidir. Dolayısıyla (a+b)(a-b), LCM(15,28) = 420 ile bölünebilmelidir. 420 = 4·3·5·7. (a+b) ve (a-b) aynı paritede olmalıdır (ikisi de tek veya ikisi de çift). a+b ve a-b'nin çarpımı 420'ye bölünmeli. En küçük a+b için: (a+b) = 35, (a-b) = 12 → çarpım = 420, bu 420'ye bölünür. a+b = 35 çiftle uyumlu. İkisi de tek değil, a+b=35 tek, a-b=12 çift → parite uyuşmuyor. Deneyelim: a+b=84, a-b=5 → çarpım=420, ama tek+çift sorunu. a+b=60, a-b=7 → 420, tek çift sorunu. (a+b) ve (a-b) aynı paritede olmalı yani ikisi çift: a+b=28, a-b=15 yok (farklı parite). a+b=420, a-b=1 → her ikisi de tek değil. En küçük çift çift: a+b=84, a-b=10 → 840>420, 840/420=2 ✓, ama daha küçük: a+b=60, a-b=14 → 840, 420 böler ✓; a+b=42, a-b=20 → 840, 420 böler ✓; a+b=35, a-b=12 parite farklı. a+b=28, a-b=30 → a negatif olur. En küçük geçerli: a+b=42, a-b=20 → a=31, b=11, her ikisi pozitif, a+b=42 çift, a-b=20 çift ✓. Cevap: 42.

25. n bir doğal sayı olmak üzere, n⁴ + 4 ifadesini bölen 5'ten büyük asal sayıların sayısı kaçtır?

• A) 1
• B) 3
• C) 0 ✓
• D) Sonsuz
• E) 2

Sophie‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Germain özdeşliği: n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 - 4n² = (n²+2)² - (2n)² = (n²+2n+2)(n²-2n+2). n=1: 5·1=5; n=2: 10·2=20; n=3: 17·5=85; n=4: 26·10=260. Her n için n⁴+4 = (n²+2n+2)(n²-2n+2). n≥2 için n²-2n+2 = (n-1)²+1 ≥ 2 ve n²+2n+2 = (n+1)²+1 ≥ 10. Bu iki çarpan her zaman 1'den büyük olduğundan n⁴+4 hiçbir zaman asal değildir (n≥2 için). n=1 için n⁴+4=5, asal ama sorulan 5'ten büyük asal bölen. 5'ten büyük asal p, n⁴+4'ü bölebilir mi? Örneğin n=3: 85=5·17, 17>5 asal bölen var! Soru 'n⁴+4'ü bölen 5'ten büyük asal sayı YOK' değil. Soru yeniden okundu: 'ifadesini bölen 5'ten büyük asal sayıların sayısı'. Her n için n⁴+4 çarpanlanabilir, dolayısıyla farklı n değerleri için sonsuz çok farklı asal bölen olabilir. Cevap: n=1 için 5; n=3 için 17 gibi. Genel n için sonsuz. Cevap E) Sonsuz.