Asal Çarpanlara Ayırma 1

1. Aşağıdaki sayılardan hangisinin sadece bir tane asal çarpanı vardır?

• A) 12
• B) 16 ✓
• C) 15
• D) 20

Tek‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ tek incelenir. • 12 (2, 3) • 15 (3, 5) • 20 (2, 5) • 16 = 2⁴ (Sadece 2) Sonuç: 16.

2. A = 2ᵃ × 3ᵇ sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır. Buna göre, (a,b) ikilisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) (2,2)
• B) (3,1)
• C) (5,1) ✓
• D) (4,1)

Bir‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sayının asal çarpanlarına ayrılmış hâli verildiğinde, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı üslerin birer fazlasının çarpılmasıyla bulunur. Buna göre $(a+1) \times (b+1) = 12$ olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde sadece C seçeneğindeki (5,1) ikilisi için $(5+1) \times (1+1) = 6 \times 2 = 12$ şartı sağlanır.

3. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir?

• A) 28
• B) 30
• C) 56
• D) 42 ✓

Çarpanlar‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çarpılır. • 2 × 3 × 7 • 6 × 7 = 42 Sonuç: 42.

4. 2⁴ × 3² × 5 × 7 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni 6'nın katıdır?

• A) 20
• B) 24
• C) 30
• D) 32 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 2⁴ × 3² × 5 × 7 sayısının bölenleri: 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ • 6 = 2 × 3'ün katı olması için: a ≥ 1 ve b ≥ 1 • a ∈ {1, 2, 3, 4} → 4 seçenek • b ∈ {1, 2} → 2 seçenek • c ∈ {0, 1} → 2 seçenek • d ∈ {0, 1} → 2 seçenek • Toplam = 4 × 2 × 2 × 2 = 32 Sonuç: 32.

5. x = 9! olmak üzere, A = 3 · 4 · 5 · ... · 9 + 1 · 2 · 3 · ... · 8 olduğuna göre, 18 · A ifadesinin x türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 4x
• B) 6x
• C) 7x
• D) 11x ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 3 · 4 · 5 · ... · 9 = 9! / 2! = x / 2 • 1 · 2 · 3 · ... · 8 = 8! = 9! / 9 = x / 9 • Buradan A = x/2 + x/9 = x · (1/2 + 1/9) = x · (11/18) elde edilir. • Eşitliğin her iki tarafını 18 ile çarparsak; 18 · A = 11x bulunur. Dolayısıyla doğru cevap D seçeneğidir.

6. Aşağıdakilerden hangisinin en büyük asal çarpanı 11'dir?

• A) 22 ✓
• B) 26
• C) 14
• D) 39

En‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ büyük çarpanlar bulunur. • 22 = 2 × 11 (Max: 11) • 26 (Max: 13), 14 (Max: 7), 39 (Max: 13) Sonuç: 22.

7. 1800 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 12'nin katıdır?

• A) 12 ✓
• B) 15
• C) 18
• D) 20

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 1800 = 2³ × 3² × 5² × ... = 8 × 225 = 2³ × 9 × 25 = 2³ × 3² × 5² • 12 = 2² × 3 • 12'nin katı: 2²⁺ × 3¹⁺ × 5ᵃ • 2: {2,3} (2 seçenek) • 3: {1,2} (2 seçenek) • 5: {0,1,2} (3 seçenek) • Toplam = 2 × 2 × 3 = 12 Sonuç: 12.

8. 2⁶ × 3⁴ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni tam kare sayıdır?

• A) 12 ✓
• B) 15
• C) 18
• D) 20

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Tam kare bölenler için üsler çift olmalı • 2: {0,2,4,6} (4 seçenek) • 3: {0,2,4} (3 seçenek) • Toplam = 4 × 3 = 12 Sonuç: 12.

9. A = 2³ × 3² × 5 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?

• A) 12
• B) 15
• C) 18 ✓
• D) 24

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Çift bölenler için 2 çarpanı en az 1 olmalı • 2: {1,2,3} (3 seçenek) • 3: {0,1,2} (3 seçenek) • 5: {0,1} (2 seçenek) • Toplam = 3 × 3 × 2 = 18 Sonuç: 18.

10. 10! - 9! + 8! sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine tam olarak bölünemez?

• A) 42
• B) 56
• C) 63
• D) 75 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 10! - 9! + 8! = 8!(10×9 - 9 + 1) = 8! × 82 • 82 = 2 × 41 • 8! = 2⁷ × 3² × 5 × 7 • Toplam = 2⁸ × 3² × 5 × 7 × 41 • 75 = 3 × 5² için 5² çarpanı yok Sonuç: 75.

11. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı diğerlerinden fazladır?

• A) 12
• B) 8
• C) 25
• D) 30 ✓

Adetler‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sayılır. • 30 = 2 × 3 × 5 (3 tane) • Diğerleri 1 veya 2 tane. Sonuç: 30.

12. 480 tane bilye n tane çocuğa eşit olarak dağıtılacaktır. Her çocuk en az 8, en fazla 80 bilye alacaktır. Buna göre, n'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

• A) 12
• B) 13 ✓
• C) 14
• D) 15

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 480 = 2⁵ × 3 × 5 • n, 480'in böleni olmalı • 480/n ∈ [8, 80] → n ∈ [6, 60] • 480'in bölenleri: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60,80,96,120,160,240,480 • [6,60] aralığında: 6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60 (13 tane) Sonuç: 13.

13. (8!)² - (6!)² ifadesinin en büyük asal çarpanının rakamları toplamı kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 5
• D) 10 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ (8!)² - (6!)² = (8! - 6!)(8! + 6!) • = 6!(8×7 - 1) × 6!(8×7 + 1) • = (6!)² × 55 × 57 • = (6!)² × 5 × 11 × 3 × 19 • En büyük asal: 19 • Rakamlar toplamı: 1 + 9 = 10 Sonuç: 10.

14. 35! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

• A) 6
• B) 7
• C) 8 ✓
• D) 9

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Sıfır sayısı = min(2 çarpanı sayısı, 5 çarpanı sayısı) • 5 çarpanı sayısı: ⌊35/5⌋ + ⌊35/25⌋ = 7 + 1 = 8 • 2 çarpanı daha fazla olduğundan sıfır sayısı = 8 Sonuç: 8.

15. A = 2² × 3³ × 7 sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) 4 tane asal böleni vardır
• B) 36 tane pozitif tam sayı böleni vardır
• C) 48 tane tam sayı böleni vardır ✓
• D) 32 tane asal olmayan pozitif tam sayı böleni vardır

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ A = 2² × 3³ × 7 • Asal bölen sayısı: 3 tane (2, 3, 7) • Pozitif bölen sayısı = (2+1)(3+1)(1+1) = 3 × 4 × 2 = 24 • Tam sayı böleni = 2 × 24 = 48 • Asal olmayan pozitif bölen = 24 - 3 = 21 Sonuç: 48 tane tam sayı böleni vardır.

16. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, 180 = n × 6 ifadesinde n'nin pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 72 ✓
• B) 150
• C) 176
• D) 186

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 180 = n × 6 → n = 180/6 = 30 • 30 = 2 × 3 × 5 • Bölenler toplamı formülü: (1+p₁+p₁²+...)(1+p₂+...) • = (1+2)(1+3)(1+5) = 3 × 4 × 6 = 72 Sonuç: 72.

17. 840 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi hem 4'ün hem de 6'nın katıdır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 9
• D) 12

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 840 = 2³ × 3 × 5 × 7 • 4 = 2², 6 = 2 × 3 • Hem 4 hem 6'nın katı olan sayılar = OKEK(4,6) = 12'nin katlarıdır • 12 = 2² × 3 • 12'nin katı olan bölenler: 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ (a ≥ 2, b ≥ 1) • a ∈ {2, 3} → 2 seçenek • b ∈ {1} → 1 seçenek • c ∈ {0, 1} → 2 seçenek • d ∈ {0, 1} → 2 seçenek • Toplam bölen sayısı = 2 × 1 × 2 × 2 = 8 Sonuç: 8.

18. 243 sayısı hangi sayının kuvvetidir?

• A) 3⁴
• B) 9²
• C) 27²
• D) 3⁵ ✓

3'ün‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kuvvetleri denenir. • 3⁴ = 81 • 3⁵ = 243 Sonuç: 3⁵.

19. 30 sayısının asal çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2, 3, 5 ✓
• B) 2, 3, 10
• C) 3, 5, 10
• D) 2, 5, 15

Asal‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çarpanlara ayırma algoritması kullanılır. • 30 / 2 = 15 • 15 / 3 = 5 • 5 / 5 = 1 Sonuç: 2, 3 ve 5.

20. 45 sayısının asal çarpanları nelerdir?

• A) 3, 5 ✓
• B) 3, 9
• C) 5, 9
• D) 3, 15

Asal‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bölenler bulunur. • 45 = 9 × 5 • 45 = 3² × 5 Sonuç: 3 ve 5.

21. 60 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2 × 3 × 5
• B) 2 × 2 × 3 × 5 ✓
• C) 2 × 2 × 5 × 6
• D) 2 × 3 × 10

Bölme‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ algoritması uygulanır. • 60 = 2 × 30 • 30 = 2 × 15 • 15 = 3 × 5 Sonuç: 2 × 2 × 3 × 5.

22. 84 sayısının asal çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2, 3, 7 ✓
• B) 2, 4, 7
• C) 2, 6, 7
• D) 3, 4, 7

Çarpanlara‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ayrılır. • 84 = 4 × 21 • 84 = 2² × (3 × 7) Sonuç: 2, 3, 7.

23. 100 sayısının asal çarpanları nelerdir?

• A) 2, 5 ✓
• B) 2, 10
• C) 5, 10
• D) 2, 25

Çarpanlar‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ bulunur. • 100 = 10² = (2 × 5)² • 2² × 5² Sonuç: 2 ve 5.

24. 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2 × 3 × 12
• B) 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ✓
• C) 2 × 2 × 3 × 6
• D) 3 × 3 × 4

Bölme‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ işlemi yapılır. • 72 = 8 × 9 • 8 = 2³ (2×2×2) • 9 = 3² (3×3) Sonuç: 2 × 2 × 2 × 3 × 3.

25. 90 sayısının asal çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2, 3, 5 ✓
• B) 2, 3, 9
• C) 3, 5, 6
• D) 2, 5, 10

Çarpanlara‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ayrılır. • 90 = 9 × 10 • 90 = (3²) × (2 × 5) Sonuç: 2, 3, 5.