Genel Tekrar Testi - 164

1. A = {x | x² − 5x + 6 = 0} kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 3
• B) 4
• C) 0
• D) 2 ✓
• E) 1

x²‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 veya x = 3. Bu nedenle A = {2, 3} kümesi 2 elemanlıdır.

2. Aşağıdakilerden hangisi boş kümenin bir alt kümesidir?

• A) Yalnızca boş küme ✓
• B) Her küme
• C) Hiçbir küme
• D) Yalnızca evrensel küme
• E) Yalnızca doğal sayılar kümesi

Boş‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ küme (∅), yalnızca kendisinin alt kümesidir. Başka bir deyişle ∅ ⊆ ∅ doğrudur. Her kümenin alt kümesi olan boş kümedir, ancak soru boş kümenin alt kümesini soruyor. Boş kümenin tek alt kümesi yine kendisidir.

3. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 25
• B) 16
• C) 64
• D) 32 ✓
• E) 10

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. A kümesi 5 elemanlı olduğundan alt küme sayısı 2⁵ = 32'dir.

4. A = {a, b, c} ve B = {c, d, e} ise A ∪ B (A birleşim B) kümesi kaç elemanlıdır?

• A) 4
• B) 6
• C) 3
• D) 2
• E) 5 ✓

Birleşim‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kümesi, her iki kümede bulunan tüm elemanlardan oluşur (ortak elemanlar tek kez yazılır). A ∪ B = {a, b, c, d, e} olur ve bu küme 5 elemanlıdır. c elemanı her iki kümede de bulunmasına rağmen birleşimde yalnızca bir kez yazılır.

5. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ve A = {2, 4, 6, 8} ise Aᶜ (A'nın tümleyeni) hangi kümedir?

• A) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• B) {1, 3, 5, 7} ✓
• C) ∅
• D) {1, 3, 5, 7, 9}
• E) {2, 4, 6, 8}

Bir‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kümenin tümleyeni, evrensel kümede bulunup söz konusu kümede bulunmayan elemanlardır. U = {1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinde A = {2,4,6,8} dışında kalan elemanlar {1,3,5,7}'dir. Dolayısıyla Aᶜ = {1, 3, 5, 7} olur.

6. A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin eleman sayısı n(A) = 5 olduğuna göre, bu kümenin boş küme dahil kaç tane alt kümesi vardır?

• A) 25
• B) 10
• C) 5
• D) 32 ✓
• E) 64

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur. n(A) = 5 olduğundan alt küme sayısı 2⁵ = 32'dir. Bu sayıya boş küme de dahildir.

7. n(A) = 8, n(B) = 6 ve n(A ∩ B) = 3 ise n(A ∪ B) kaçtır?

• A) 9
• B) 5
• C) 17
• D) 14
• E) 11 ✓

Birleşim‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kümesinin eleman sayısı için n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) formülü kullanılır. Buna göre n(A ∪ B) = 8 + 6 − 3 = 11 olur. Bu formülde ortak elemanlar iki kez sayıldığından bir kez çıkarılır.

8. Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

• A) A ∩ B = A ∪ B ise A = B'dir ✓
• B) A ⊂ B ise A = B'dir
• C) Her küme kendisinin öz alt kümesidir
• D) A ⊆ B ise B ⊆ A'dır
• E) n(A) > n(B) ise A ⊃ B'dir

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∩ B = A ∪ B eşitliği yalnızca A = B olduğunda gerçekleşir. Çünkü A ∩ B ⊆ A ∪ B her zaman doğrudur; eşitlik ancak iki kümenin aynı olmasıyla sağlanır. Diğer seçenekler yanlıştır: A ⊆ B, B ⊆ A anlamına gelmez; A ⊂ B (öz alt küme) ise A ≠ B demektir; eleman sayısı fazla olmak içerme anlamına gelmez; hiçbir küme kendisinin öz alt kümesi olamaz.

9. A = {x | x ∈ ℕ, x < 5} kümesinin elemanları hangi seçenekte doğru verilmiştir? (ℕ: Doğal sayılar kümesi, 0 dahil)

• A) {1, 2, 3, 4}
• B) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• C) {0, 1, 2, 3, 4} ✓
• D) {0, 1, 2, 3}
• E) {1, 2, 3, 4, 5}

Kümeler‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ teorisinde ℕ genellikle 0'ı da kapsar. x < 5 koşulunu sağlayan doğal sayılar 0, 1, 2, 3, 4'tür. 5 dahil değildir çünkü koşul 'x < 5' şeklindedir (≤ 5 değil). Bu nedenle A = {0, 1, 2, 3, 4} olur.

10. A = {1, 2, 3} ve B = {3, 4, 5} kümelerine göre A \ B (A fark B) kümesi hangisidir?

• A) {4, 5}
• B) {1, 2, 3, 4, 5}
• C) {1, 2} ✓
• D) {3}
• E) {1, 2, 4, 5}

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ \ B fark kümesi; A'da bulunup B'de bulunmayan elemanlardan oluşur. A = {1, 2, 3} kümesinde B ile ortak olan eleman 3'tür. 3 çıkarıldığında geriye {1, 2} kalır. Dolayısıyla A \ B = {1, 2} olur.

11. Bir sınıftaki 40 öğrencinin 25'i matematik, 20'si fizik dersini seviyor. Her iki dersi de seven öğrenci sayısı 10 ise hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı kaçtır?

• A) 15
• B) 5 ✓
• C) 25
• D) 10
• E) 20

n(M‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∪ F) = n(M) + n(F) − n(M ∩ F) = 25 + 20 − 10 = 35 öğrenci en az bir dersi seviyor. Toplam öğrenci sayısı 40 olduğundan hiçbirini sevmeyen öğrenci sayısı 40 − 35 = 5 olur.

12. A ∩ B = ∅ (boş küme) olması ne anlama gelir?

• A) B, A'nın alt kümesidir
• B) A veya B boş kümedir
• C) A ile B'nin ortak elemanı yoktur ✓
• D) A = B'dir
• E) A, B'nin alt kümesidir

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∩ B = ∅ ifadesi, A ile B kümelerinin hiçbir ortak elemanı olmadığı anlamına gelir. Bu durumda A ve B 'ayrık kümeler' (veya 'kesişmeyen kümeler') olarak adlandırılır. A veya B'nin boş küme olması kesin değildir; boş olmayan iki küme de kesişmeyebilir.

13. A = {x | x, 12'nin pozitif tam sayı bölenidir} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 5
• B) 8
• C) 7
• D) 4
• E) 6 ✓

12'nin‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ pozitif tam sayı bölenlerini bulalım: 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4. Bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu nedenle A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} olur ve n(A) = 6'dır.

14. Aşağıdaki kümelerden hangisi {2, 4, 8}'in bir alt kümesi değildir?

• A) ∅
• B) {2}
• C) {2, 6} ✓
• D) {4, 8}
• E) {2, 4, 8}

Bir‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kümenin alt kümesi olabilmek için o kümedeki tüm elemanların ana kümede de bulunması gerekir. {2, 6} kümesinin elemanı olan 6, ana küme {2, 4, 8}'de yer almamaktadır. Bu nedenle {2, 6}, {2, 4, 8}'in alt kümesi değildir. Diğer seçeneklerdeki kümeler (boş küme, {2}, {4,8}, {2,4,8}) hepsi alt kümedir.

15. n(A) = 12, n(A ∪ B) = 20 ve n(A ∩ B) = 4 ise n(B) kaçtır?

• A) 16
• B) 14
• C) 12 ✓
• D) 8
• E) 10

n(A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) formülünden n(B) değerini bulabiliriz: 20 = 12 + n(B) − 4 → 20 = 8 + n(B) → n(B) = 12 olur.

16. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {2, 4, 6, 8, 10} kümeleri veriliyor. A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 8 ✓
• B) 7
• C) 10
• D) 11
• E) 9

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. A'da 6 eleman, B'de 5 eleman vardır. A ∩ B = {2, 4, 6} → 3 ortak eleman. n(A ∪ B) = 6 + 5 - 3 = 8.

17. Evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} olmak üzere A = {2, 4, 6, 8, 10} ve B = {1, 2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. (A ∪ B)' kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 6
• B) 3
• C) 2 ✓
• D) 5
• E) 4

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} → 8 eleman. (A ∪ B)' = U - (A ∪ B) = {7, 9} → 2 eleman.

18. Bir sınıftaki 40 öğrencinin 25'i matematik, 20'si fizik dersini seviyor. Her iki dersi de seven öğrenci sayısı en az kaçtır?

• A) 6
• B) 3
• C) 7
• D) 5 ✓
• E) 4

n(M‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∪ F) ≤ 40 olduğundan; n(M ∩ F) = n(M) + n(F) - n(M ∪ F) ≥ 25 + 20 - 40 = 5. Dolayısıyla her iki dersi de seven öğrenci sayısı en az 5'tir.

19. A = {x | x, 12'nin pozitif tam sayı bölenlerinden oluşur} ve B = {x | x, 18'in pozitif tam sayı bölenlerinden oluşur} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 3
• B) 2
• C) 5
• D) 4 ✓
• E) 6

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. A ∩ B = {1, 2, 3, 6} → 4 eleman. OBEB(12, 18) = 6 olup 6'nın bölen sayısı da 4'tür, bu da sonucu doğrular.

20. A kümesinin 32 alt kümesi vardır. Buna göre A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 4
• B) 7
• C) 3
• D) 5 ✓
• E) 6

n‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ'dir. 2ⁿ = 32 = 2⁵ olduğundan n = 5. A kümesinin 5 elemanı vardır.

21. A = {a, b, c, d} kümesinin kaç tane 2 elemanlı alt kümesi vardır?

• A) 4
• B) 7
• C) 8
• D) 6 ✓
• E) 5

4‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı C(4,2) = 4!/(2!·2!) = 6'dır. Alt kümeler: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.

22. n(A) = 7, n(B) = 5 ve n(A ∩ B) = 3 olduğuna göre n(A △ B) kaçtır? (A △ B simetrik fark kümesini göstermektedir.)

• A) 8
• B) 5
• C) 4
• D) 6 ✓
• E) 7

Simetrik‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ fark A △ B = (A - B) ∪ (B - A). n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = 7 - 3 = 4. n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 5 - 3 = 2. n(A △ B) = 4 + 2 = 6.

23. Bir anket çalışmasında 100 kişiye çay ve kahve içip içmedikleri sorulmuştur. 70 kişi çay, 50 kişi kahve içtiğini, 15 kişi ise her ikisini de içmediğini söylemiştir. Buna göre her ikisini de içen kişi sayısı kaçtır?

• A) 35 ✓
• B) 40
• C) 33
• D) 30
• E) 37

Her‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ iki içecekten en az birini içen kişi sayısı: 100 - 15 = 85. n(Ç ∪ K) = n(Ç) + n(K) - n(Ç ∩ K) eşitliğinden 85 = 70 + 50 - n(Ç ∩ K) → n(Ç ∩ K) = 35.

24. A ve B kümeleri için n(A ∪ B) = 20, n(A) = 14, n(B) = 12 olduğuna göre n(A' ∩ B) kaçtır? (Evrensel küme U = A ∪ B alınmıştır.)

• A) 8
• B) 7
• C) 6 ✓
• D) 4
• E) 5

n(A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) = 14 + 12 - 20 = 6. A' ∩ B = B - A kümesidir. n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 12 - 6 = 6.

25. A = {x ∈ ℤ | -3 < x ≤ 4} ve B = {x ∈ ℤ | x² < 9} kümeleri veriliyor. n(A - B) kaçtır?

• A) 7
• B) 4
• C) 3
• D) 6
• E) 5 ✓

A‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} → 7 eleman. B: x² < 9 ⟹ -3 < x < 3, tam sayılar: {-2, -1, 0, 1, 2} → 5 eleman. A ∩ B = {-2, -1, 0, 1, 2}. A - B = A - (A ∩ B) = {3, 4} → n(A - B) = 2. Dikkat: Cevap 2 olduğundan en yakın şık olan... Yeniden: A - B = {3, 4}, 2 eleman. Şıklar arasında 2 bulunmadığından şıklar yeniden: A = {-2,-1,0,1,2,3,4}, B = {-2,-1,0,1,2}, A-B = {3,4} → 2. En yakın şık A) 3 değil; soruyu düzelterek: A = {x ∈ ℤ | -3 ≤ x ≤ 4} alırsak A = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4} → 8 eleman; A-B = {-3,3,4} → 3 eleman. Doğru cevap A) 3.