Çarpanlara Ayırma 2

1. 45x² - 3x - 6 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 3(3x + 1)(5x - 2) ✓
• B) (9x + 3)(5x - 2)
• C) 3(3x - 1)(5x + 2)
• D) (15x - 6)(3x + 1)

3 parantezine alalım: 3(15x² - x - 2) • 15x² = 5x . 3x ve -2 = -2 . 1 • 5x(1) + 3x(-2) = 5x - 6x = -x • 3(5x - 2)(3x + 1). • Şıklarda 3(3x + 1)(5x - 2) veya (9x + 3)(5x - 2) olabilir. Sonuç: 3(3x + 1)(5x - 2).

2. n birer pozitif doğal sayıdır. 22! / 6ⁿ = A olduğuna göre n'nin alacağı değerler toplamı kaçtır?

• A) 40
• B) 43
• C) 45 ✓
• D) 46

22! içinde kaç tane 6 çarpanı (yani 3 çarpanı) var? • 22/3 = 7 • 7/3 = 2 • Toplam 9 tane. • O halde n en fazla 9 olabilir. Pozitif doğal sayı dediği için 1, 2, ..., 9 değerlerini alır. • Toplam: 9.10/2 = 45. Sonuç: 45.

3. x + y = 6 ve y - z = 9 olduğuna göre, x² + xz + xy + yz işleminin sonucu kaçtır?

• A) -18 ✓
• B) 18
• C) -54
• D) 54

İfadeyi çarpanlarına ayıralım. • x(x + z) + y(x + z) = (x + z)(x + y) • Verilenlerden x+z'yi bulalım: • (x + y) - (y - z) = 6 - 9 => x + z = -3 • (x + z)(x + y) = (-3) . 6 = -18. Sonuç: -18.

4. 6ab³ + 4a²b² - 8ab ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2ab(3b² + 2ab - 4) ✓
• B) 2ab(3b + 2ab - 4)
• C) 2b(3ab² + 2a²b - 4a)
• D) ab(6b² + 4ab - 8)

Her terimde 2ab ortaktır. • 6ab³ + 4a²b² - 8ab = 2ab(3b² + 2ab - 4). Sonuç: 2ab(3b² + 2ab - 4).

5. x + 1/x = 5 olduğuna göre, x³ + 1/x³ ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 110 ✓
• B) 125
• C) 115
• D) 100

Küpler toplamı: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) • (x + 1/x)³ - 3(x . 1/x)(x + 1/x) • 5³ - 3(1)(5) = 125 - 15 = 110. Sonuç: 110.

6. x - 1/(2x) = 5 olduğuna göre 4x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 104 ✓
• B) 100
• C) 96
• D) 102

Eşitliği 2 ile çarpalım. • 2x - 1/x = 10 • Karesini alalım: 4x² - 2(2x)(1/x) + 1/x² = 100 • 4x² - 4 + 1/x² = 100 • 4x² + 1/x² = 104. Sonuç: 104.

7. x ve y birer pozitif tam sayıdır. 1080.x = y² olduğuna göre, x en az kaçtır?

• A) 35
• B) 30 ✓
• C) 27
• D) 15

1080'i asal çarpanlarına ayıralım: • 1080 = 108 . 10 = 36 . 3 . 2 . 5 = 2² . 3³ . 2 . 5 = 2³ . 3³ . 5 • Tam kare olması için üsler çift olmalı. • Eksik çarpanlar: Bir tane 2, bir tane 3, bir tane 5. • x = 2 . 3 . 5 = 30. Sonuç: 30.

8. xy - 2x - 3y + 6 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x - 3)(y - 2) ✓
• B) (x + 3)(y - 2)
• C) (x - 2)(y - 3)
• D) (x + 2)(y + 3)

Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. • Adım 1: x(y - 2) - 3(y - 2) • Adım 2: (y - 2)(x - 3) Sonuç: (x - 3)(y - 2)

9. x² + 6x + 5 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (x + 5)(x + 1) ✓
• B) (x + 2)(x + 3)
• C) (x - 5)(x - 1)
• D) (x + 6)(x - 1)

Üç terimli ifade çarpanlarına ayrılır. • Sayılar: +5 ve +1 • Kontrol: 5.1=5 ve 5+1=6 Sonuç: (x + 5)(x + 1)

10. x³ - x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) x(x - 1)(x + 1) ✓
• B) x(x - 1)²
• C) x²(x - 1)
• D) x(x² + 1)

Önce ortak çarpan, sonra iki kare farkı uygulanır. • Adım 1: x(x² - 1) • Adım 2: x(x - 1)(x + 1) Sonuç: x(x - 1)(x + 1)

11. 3x² + 5x - 2 ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (3x - 1)(x + 2) ✓
• B) (3x + 1)(x - 2)
• C) (3x + 2)(x - 1)
• D) (3x - 2)(x + 1)

Başkatsayısı 1'den farklı üç terimli çarpanlara ayrılır. • 3x² = 3x . x • -2 = -1 . 2 • Çapraz çarpım toplamı: 3x(2) + x(-1) = 6x - x = 5x (Ortayı veriyor) • Yan yana yazılır: (3x - 1)(x + 2) Sonuç: (3x - 1)(x + 2)

12. a ve b sayma sayılarıdır. 24.a = b⁴ eşitliğini sağlayan a ve b değerleri için a.b çarpımının en küçük değeri kaçtır?

• A) 27
• B) 54
• C) 162
• D) 324 ✓

24 = 2³.3¹. Eşitlik: 2³.3¹.a = b⁴ • Üslerin 4'ün katı olması için a en az 2¹ . 3³ olmalı. • a = 2.27 = 54. • b⁴ = 2⁴ . 3⁴ → b = 6. • a.b = 54 . 6 = 324. Sonuç: 324.

13. (a - b)²(b - c) - (c - b)²(b - a) ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali nedir?

• A) (b - a)(b - c)(c - a) ✓
• B) (a - b)(b - c)(c - a)
• C) (b - a)(c - b)(a + c)
• D) (a - b)(c - b)(a - c)

• (a-b)² = (b-a)² ve (c-b)² = (b-c)²'dir. • (b-a)²(b-c) - (b-c)²(b-a) • Ortak parantez (b-a)(b-c): • (b-a)(b-c) [ (b-a) - (b-c) ] • (b-a)(b-c) [b - a - b + c] • (b-a)(b-c)(c-a). Sonuç: (b - a)(b - c)(c - a).

14. a² + 2ab + b² - c² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (a + b - c)(a + b + c) ✓
• B) (a + b - c)²
• C) (a - b - c)(a + b + c)
• D) (a + b + c)²

Tam kare ve iki kare farkı bir arada kullanılır. • Adım 1: (a + b)² - c² • Adım 2: [(a + b) - c][(a + b) + c] Sonuç: (a + b - c)(a + b + c)

15. a + b - c = 12 ve ab - ac - bc = -13 olduğuna göre, a² + b² + c² kaçtır?

• A) 170 ✓
• B) 144
• C) 118
• D) 156

Eşitliğin karesini alalım: • (a + b - c)² = a² + b² + c² + 2(ab - ac - bc) • 12² = a² + b² + c² + 2(-13) • 144 = a² + b² + c² - 26 • a² + b² + c² = 170. Sonuç: 170.

16. 4a² - 12ab + 9b² ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

• A) (2a - 3b)² ✓
• B) (2a + 3b)²
• C) (4a - 3b)²
• D) (2a - 9b)²

Tam kare kontrolü. • (2a)² - 2.(2a).(3b) + (3b)² • (2a - 3b)². Sonuç: (2a - 3b)².

17. 180 = n.x ifadesinde x bir asal sayı olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

• A) 126
• B) 150
• C) 176
• D) 186 ✓

n = 180/x. x asal sayı ise 180'in asal bölenleri olabilir. • 180 = 18 . 10 = 2 . 3² . 2 . 5 = 2² . 3² . 5 • Asal çarpanlar: 2, 3, 5 • x=2 → n=90 • x=3 → n=60 • x=5 → n=36 • Toplam: 90 + 60 + 36 = 186. Sonuç: 186.

18. 16x² - 25y² ifadesinin çarpanları nedir?

• A) (4x - 5y)(4x + 5y) ✓
• B) (4x - 5y)²
• C) (16x - 25y)(x + y)
• D) (4x - 25y)(4x + y)

İki kare farkı özdeşliği kullanılır. • İfade: (4x)² - (5y)² • Açılım: (4x - 5y)(4x + 5y) Sonuç: (4x - 5y)(4x + 5y)

19. x⁴ - 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (x² + 1)(x - 1)(x + 1) ✓
• B) (x² - 1)²
• C) (x² + 1)(x² - 1)
• D) (x - 1)⁴

İki kare farkı art arda uygulanır. • Adım 1: (x²)² - 1² = (x² - 1)(x² + 1) • Adım 2: (x - 1)(x + 1)(x² + 1) Sonuç: (x² + 1)(x - 1)(x + 1)

20. 4a(b² + 1) + b(16 + a²) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (4 + ab)(4b + a) ✓
• B) (4a + b)(4 + ab)
• C) (4a + 1)(b + 16)
• D) (4 + a)(4b + ab)

Dağıtıp tekrar düzenleyelim. • 4ab² + 4a + 16b + a²b • 4ab² + 16b + 4a + a²b • 4b(ab + 4) + a(4 + ab) • (ab + 4)(4b + a). Sonuç: (4 + ab)(4b + a).

21. 2x³ - 4x² + 6x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2x(x² - 2x + 3) ✓
• B) 2x(x² + 2x - 3)
• C) 2(x³ - 2x² + 3)
• D) x(2x² - 4x + 6)

Her terimde 2x ortaktır. • 2x³ - 4x² + 6x = 2x(x² - 2x + 3). Sonuç: 2x(x² - 2x + 3).

22. a² + a + 1 = 0 olduğuna göre, a²⁰¹⁴ ifadesinin a türünden eşiti nedir?

• A) a ✓
• B) 1
• C) a²
• D) -1

Her iki tarafı (a - 1) ile çarpalım: • (a - 1)(a² + a + 1) = a³ - 1 = 0 → a³ = 1 • a²⁰¹⁴ = a⁽³.671 + 1) = (a³)⁶⁷¹ . a¹ = 1 . a = a. Sonuç: a.

23. x² - 4y² + 2x + 1 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) (x + 1 - 2y)(x + 1 + 2y) ✓
• B) (x - 1 - 2y)(x - 1 + 2y)
• C) (x - 2y + 1)(x - 2y - 1)
• D) (x + 2y - 1)(x - 2y - 1)

Gruplandıralım. • (x² + 2x + 1) - 4y² • (x + 1)² - (2y)² • İki kare farkı: (x + 1 - 2y)(x + 1 + 2y). Sonuç: (x + 1 - 2y)(x + 1 + 2y).

24. x² - 4x + 5 = 0 olduğuna göre x² + 25/x² ifadesinin değeri kaçtır?

• A) 6 ✓
• B) 11
• C) 21
• D) 16

Eşitliği x'e bölelim. • x - 4 + 5/x = 0 => x + 5/x = 4 • Karesini alalım: x² + 2.x.(5/x) + 25/x² = 16 • x² + 10 + 25/x² = 16 • x² + 25/x² = 6. Sonuç: 6.

25. ax + ay + bx + by ifadesinin çarpanları nelerdir?

• A) (a + b)(x + y) ✓
• B) (a + x)(b + y)
• C) (a - b)(x - y)
• D) a(x + y) + b

Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. • Gruplama: a(x + y) + b(x + y) • Ortak parantez: (x + y)(a + b) Sonuç: (a + b)(x + y)