Eşitsizlik ve Mutlak Değer 2

1. a².b < 0, a³.c > 0, c.b < 0 işaretleri sırasıyla nedir?

• A) +, -, + ✓
• B) -, +, -
• C) -, -, -
• D) +, +, +

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ a².b < 0 → b negatiftir (-). • c.b < 0 → b negatif ise c pozitiftir (+). • a³.c > 0 → c pozitif ise a³ pozitif, yani a pozitiftir (+). • Sırasıyla: +, -, +. Sonuç: +, -, +.

2. 1 / (y+16) < 1 / (4y+8) ve y pozitif tam sayı ise y değerleri toplamı kaçtır? (Soru revize edilmiştir)

• A) 1
• B) 2
• C) 3 ✓
• D) 4

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Paydalar pozitif olduğu için takla atınca yön değişir: y + 16 > 4y + 8. • 8 > 3y → y < 8/3 (2.66). • y pozitif tam sayı olduğuna göre: 1 ve 2 olabilir. • Toplamları: 1 + 2 = 3. Sonuç: 3.

3. |x - 2| + |y + 3| = 0 ise x + y kaçtır?

• A) 1
• B) -1 ✓
• C) 5
• D) -5

Özellik‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ kullanılır. • Mutlak değerlerin toplamı 0 ise her biri 0 olmalı. • x = 2, y = -3 • Toplam: 2 - 3 = -1 Sonuç: -1.

4. 2x - 1 > 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 3 ✓
• B) x < 3
• C) x > 2
• D) x < 2

Eşitsizlik‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çözülür. • 2x > 6 • x > 3 Sonuç: x > 3.

5. x.y⁴ < 0, x.z > 0, x.y³.z² < 0 olduğuna göre x, y ve z'nin işaretleri sırasıyla hangisidir?

• A) -, +, - ✓
• B) -, -, -
• C) +, -, +
• D) +, +, +

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ x.y⁴ < 0 → y⁴ pozitif, o halde x negatiftir (-). • x.z > 0 → x negatif ise z de negatif olmalı (-). • x.y³.z² < 0 → (-) . y³ . (+) < 0. Sonucun negatif olması için y³ pozitif olmalı, yani y (+). • Sırasıyla: -, +, -. Sonuç: -, +, -.

6. -2x < 6 eşitsizliğinin çözümü nedir?

• A) x < -3
• B) x > -3 ✓
• C) x < 3
• D) x > 3

Negatif‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ sayıya bölme kuralı uygulanır. • Her iki taraf -2'ye bölünür, eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR. • x > -3 Sonuç: x > -3.

7. 5 - x > 8 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

• A) -3
• B) -4 ✓
• C) -2
• D) 3

Eşitsizlik‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çözülür. • -x > 3 • Eksi ile çarp, yön değiştir: x < -3 • -3'ten küçük en büyük tam sayı -4'tür. Sonuç: -4.

8. x negatif bir tam sayı olmak üzere, 1 / (x-6) < -1/10 olduğuna göre x'in en küçük değeri kaçtır?

• A) -2
• B) -3 ✓
• C) -4
• D) -5

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 1 / (x-6) < -1/10. x negatif olduğu için (x-6) negatiftir. • Negatif eşitsizlikte içler dışlar çarpımı veya takla attırma yön değiştirir. • -10 > x - 6 (Dikkat: Her iki taraf negatif olduğu için yön değişimi kritik, burada direkt değer vermek daha güvenlidir). • x=-3 için: 1/-9 (-0.11) < -0.10. Doğru. • x=-4 için: 1/-10 (-0.10) < -0.10. Yanlış (Eşit). • Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı (negatiflerde mutlak değerce küçük olan büyüktür ama burada değer soruluyor). • x > -4 sınırını buluruz. x=-3. Sonuç: -3.

9. |x| > x eşitsizliği x'in hangi değerleri için doğrudur?

• A) x > 0
• B) x < 0 ✓
• C) x = 0
• D) Hiçbiri

Sayılar‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ denenir. • Pozitiflerde eşitlik vardır (|5|=5). • Negatiflerde mutlak değer kendisinden büyüktür (|-3|=3 > -3). Sonuç: x < 0.

10. 1/x > 2 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 2
• B) x < 1/2
• C) 0 < x < 1/2 ✓
• D) x > 1/2

Eşitsizlik‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ çözülür. • x pozitif olmalıdır (yoksa negatif > pozitif olurdu). • Takla attırıp yön değiştir: x < 1/2 • Pozitiflik şartıyla birleştir: 0 < x < 1/2 Sonuç: 0 < x < 1/2.

11. ab, bc ve ca iki basamaklı sayılardır. 17 < ab + bc + ca < 135 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaç farklı değer alabilir?

• A) 7
• B) 8
• C) 9
• D) 10 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Basamak çözümlemesi: (10a+b) + (10b+c) + (10c+a) = 11(a+b+c) • 17 < 11(a+b+c) < 135 • a+b+c toplamına k diyelim. 1.5 < k < 12.2 • k değerleri: 2, 3, ..., 12 olabilir. • Ancak a,b,c rakam ve sayılar iki basamaklı olduğu için a,b,c en az 1 olabilir (0 olamaz başa geldikleri için). Toplam en az 1+1+1=3 olur. (k=2 olamaz). • Değerler: 3, 4, ..., 12. • Terim sayısı: 12 - 3 + 1 = 10. Sonuç: 10.

12. x ve y tam sayıları, 2 < x < y - x < 6 eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre y'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) 20
• B) 22
• C) 24 ✓
• D) 26

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ x için olası tam sayı değerleri: 3 ve 4'tür (2 ve 6 aralığında x < y-x koşulunu da sağlamalı). • x=3 için: 3 < y-3 < 6 → 6 < y < 9. y = 7, 8 olabilir. • x=4 için: 4 < y-4 < 6 → 8 < y < 10. y = 9 olabilir. • Toplam: 7 + 8 + 9 = 24. Sonuç: 24.

13. x negatif; a, b, c pozitif. x/2a = x/4b = x/3c ise a,b,c sıralaması?

• A) b < a < c
• B) a < b < c
• C) c < a < b
• D) a > c > b ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Paylar (x) eşit ve negatif. Sonucun eşit olması için paydası büyük olanın değerinin büyük olması gerekir (sıfıra yakınlık/negatiflik ilişkisinden ters mantık). • Düz mantık: x=-12 olsun. -12/2a = -12/4b = -12/3c. • 2a = 4b = 3c olmalı (Hepsinin sonucu aynı negatif sayı). • 2,3,4 OKEK = 12. a=6, b=3, c=4. • Sıralama: a(6) > c(4) > b(3). Sonuç: a > c > b.

14. (2/3)²⁻ᵃ ≤ (3/2)⁴ᵃ⁺¹² eşitsizliğine göre a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

• A) -7
• B) -5
• C) -4 ✓
• D) -3

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Tabanları eşitleyelim: (2/3) tabanını (3/2) yaparsak üs işaret değiştirir: (3/2)^(-(2-a)) = (3/2)^(a-2) • Eşitsizlik: (3/2)^(a-2) ≤ (3/2)^(4a+12) • Taban 1'den büyük (1.5) olduğu için eşitsizlik yönü aynı kalır: a - 2 ≤ 4a + 12 • -14 ≤ 3a → a ≥ -14/3 (yaklaşık -4.66) • a sayısı -4.66'dan büyük veya eşit olmalıdır. • Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı -4'tür. Sonuç: -4.

15. Aşağıdakilerden hangisi -1 < x < 1 aralığında değildir?

• A) 0
• B) 0.5
• C) -0.9
• D) 1 ✓

Aralık‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ analizi yapılır. • < işareti 'dahil değil' demektir. • 1 sayısı sınırdır ama dahil değildir. Sonuç: 1.

16. -3 < x ≤ 2 aralığındaki tam sayıların çarpımı kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 6
• C) -12
• D) 4

Değerler‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ yazılır. • Tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2 • Çarpımda 0 olduğu için sonuç sıfırdır. Sonuç: 0.

17. x, y, z negatif tam sayılardır. 3/(2x) = 4/(3y) = 7/(2z) eşitliğine göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) z < x < y ✓
• B) x < y < z
• C) y < x < z
• D) z < y < x

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Verilen 3/(2x) = 4/(3y) = 7/(2z) eşitliğinde paydaları ve payları kıyaslayalım. • Negatif sayılarda sıralama, pozitif gibi düşünülüp ters çevrilerek bulunur. • Eşitliği k gibi bir sabit düşünürsek, payı büyük olanın paydası da (mutlak değerce) büyük olmalıdır. • Paylar: 3, 4, 7. En büyük pay 7 (z'nin olduğu kısım), en küçük pay 3 (x'in olduğu kısım). • Mutlak değerce |2z| en büyük, sonra |3y|, en küçük |2x| gibi bir ilişki beklenir. • Ancak katsayılar (2, 3, 2) da etkili. Kesin sıralama için değer verelim: • Eşitliği -1/12'ye eşitleyelim. • 3/(2x) = -1/12 → 2x = -36 → x = -18 • 4/(3y) = -1/12 → 3y = -48 → y = -16 • 7/(2z) = -1/12 → 2z = -84 → z = -42 • Sıralama: -42 < -18 < -16 yani z < x < y. Sonuç: z < x < y.

18. -7 < x < 5 ve -4 < y < 7 ise x.y çarpımının en geniş aralığı nedir?

• A) (-28, 35)
• B) (-49, 35) ✓
• C) (-20, 28)
• D) (-35, 49)

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Uç noktaları çarpalım: • (-7).(-4) = 28 • (-7).7 = -49 (En küçük) • 5.(-4) = -20 • 5.7 = 35 (En büyük) • Aralık: (-49, 35). Sonuç: (-49, 35).

19. 3x + 2 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri kaçtır?

• A) 2
• B) 3 ✓
• C) 4
• D) 5

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Adım 1: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa alınır. 3x ≤ 11 - 2 ise 3x ≤ 9 olur. • Adım 2: Her iki taraf x'in katsayısına (3'e) bölünür. x ≤ 3 • Sonuç: Sembol 'küçük veya eşit' (≤) olduğu için 3 sayısı da çözüme dahildir. En büyük tam sayı 3 olur.

20. x² < x eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 1
• B) x < 0
• C) 0 < x < 1 ✓
• D) x = 0

Sayı‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ analizi yapılır. • Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0 ile 1 arasındaki basit kesirlerdir. Sonuç: 0 < x < 1.

21. |a| = 5 ve |b| = 3 ise a + b'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

• A) 2
• B) -2
• C) -8 ✓
• D) 8

En‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ küçük olması için negatifler seçilir. • a = -5, b = -3 • Toplam: -5 + (-3) = -8 Sonuç: -8.

22. a, b, c gerçel sayılardır. a < a³ < a² ve a.b < 0 ve c = a - b olduğuna göre sıralama nasıldır?

• A) a < c < b
• B) b < c < a
• C) c < a < b
• D) c < a < 0 < b ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ a < a³ < a² eşitsizliği -1 < a < 0 aralığını verir. • a negatif, a.b < 0 ise b pozitiftir (b > 0). • c = a - b. (Negatif - Pozitif) = Daha küçük negatif. • Yani c, a'dan daha küçüktür (c < a). • Sıralama: c < a < 0 < b. Sonuç: c < a < 0 < b.

23. 2ˣ = 40, 3ʸ = 200, 5ᶻ = 500 sıralaması nasıldır?

• A) x > y > z ✓
• B) z > y > x
• C) y > x > z
• D) x > z > y

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 2^5=32, 2^6=64 → x, 5 ile 6 arasında. • 3^4=81, 3^5=243 → y, 4 ile 5 arasında. • 5^3=125, 5^4=625 → z, 3 ile 4 arasında. • Sıralama: x > y > z. Sonuç: x > y > z.

24. 3x - 2y - 7 = 0 ve -2 ≤ x < 5 olduğuna göre y kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

• A) 9
• B) 10 ✓
• C) 11
• D) 12

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 3x = 2y + 7 → x = (2y+7)/3. • Eşitsizlikte yerine yazalım: -2 ≤ (2y+7)/3 < 5 • -6 ≤ 2y + 7 < 15 • -13 ≤ 2y < 8 • -6.5 ≤ y < 4 • y tam sayıları: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. • Toplam 10 değer. Sonuç: 10.

25. 2x > y > 0 ve z = (2x + y) / y olduğuna göre z için hangisi doğrudur?

• A) z > 2 ✓
• B) z < 2
• C) z = 2
• D) z = 1

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ z = 2x/y + y/y = 2x/y + 1. • 2x > y olduğundan 2x/y > 1 dir. • z > 1 + 1 → z > 2. Sonuç: z > 2.