Eşitsizlik ve Mutlak Değer 2

1. |x - 2| = |x + 4| denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

• A) -1 ✓
• B) 1
• C) -3
• D) 3

Denklem çözülür. • x - 2 = x + 4 (Çözüm yok) • x - 2 = -(x + 4) => x - 2 = -x - 4 • 2x = -2 => x = -1 Sonuç: -1.

2. a².b < 0, a³.c > 0, c.b < 0 işaretleri sırasıyla nedir?

• A) +, -, + ✓
• B) -, +, -
• C) -, -, -
• D) +, +, +

• a².b < 0 → b negatiftir (-). • c.b < 0 → b negatif ise c pozitiftir (+). • a³.c > 0 → c pozitif ise a³ pozitif, yani a pozitiftir (+). • Sırasıyla: +, -, +. Sonuç: +, -, +.

3. 1 / (y+16) < 1 / (4y+8) ve y pozitif tam sayı ise y değerleri toplamı kaçtır? (Soru revize edilmiştir)

• A) 1
• B) 2
• C) 3 ✓
• D) 4

• Paydalar pozitif olduğu için takla atınca yön değişir: y + 16 > 4y + 8. • 8 > 3y → y < 8/3 (2.66). • y pozitif tam sayı olduğuna göre: 1 ve 2 olabilir. • Toplamları: 1 + 2 = 3. Sonuç: 3.

4. |x - 2| + |y + 3| = 0 ise x + y kaçtır?

• A) 1
• B) -1 ✓
• C) 5
• D) -5

Özellik kullanılır. • Mutlak değerlerin toplamı 0 ise her biri 0 olmalı. • x = 2, y = -3 • Toplam: 2 - 3 = -1 Sonuç: -1.

5. 2x - 1 > 5 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 3 ✓
• B) x < 3
• C) x > 2
• D) x < 2

Eşitsizlik çözülür. • 2x > 6 • x > 3 Sonuç: x > 3.

6. x gerçel sayısı için |x - 3| < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

• A) {3}
• B) Reel Sayılar
• C) Boş Küme (∅) ✓
• D) x < 3

Mutlak değer mantığı kullanılır. • Mutlak değer uzaklık belirtir ve negatif olamaz (<0). Sonuç: Boş Küme.

7. x³.y² < x².y³ < 0 eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) x - y < 0 ✓
• B) x + y > 0
• C) x . y < 0
• D) x > y

• x³.y² < 0 → y² daima pozitif olduğundan x³ < 0 → x < 0. • x².y³ < 0 → x² daima pozitif olduğundan y³ < 0 → y < 0. • x³.y² < x².y³ → Her iki tarafı x².y²'ye (pozitif) bölelim: x < y. • x < y ve ikisi de negatif. • x - y < 0 ifadesi (küçükten büyük çıkarsa negatif) kesinlikle doğrudur. Sonuç: x - y < 0.

8. x.y⁴ < 0, x.z > 0, x.y³.z² < 0 olduğuna göre x, y ve z'nin işaretleri sırasıyla hangisidir?

• A) -, +, - ✓
• B) -, -, -
• C) +, -, +
• D) +, +, +

• x.y⁴ < 0 → y⁴ pozitif, o halde x negatiftir (-). • x.z > 0 → x negatif ise z de negatif olmalı (-). • x.y³.z² < 0 → (-) . y³ . (+) < 0. Sonucun negatif olması için y³ pozitif olmalı, yani y (+). • Sırasıyla: -, +, -. Sonuç: -, +, -.

9. -2x < 6 eşitsizliğinin çözümü nedir?

• A) x < -3
• B) x > -3 ✓
• C) x < 3
• D) x > 3

Negatif sayıya bölme kuralı uygulanır. • Her iki taraf -2'ye bölünür, eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR. • x > -3 Sonuç: x > -3.

10. |2x| = 10 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

• A) 10
• B) 5
• C) 0 ✓
• D) -5

Denklem çözülür. • 2x = 10 => x = 5 • 2x = -10 => x = -5 • Toplam: 5 + (-5) = 0 Sonuç: 0.

11. 5 - x > 8 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır?

• A) -3
• B) -4 ✓
• C) -2
• D) 3

Eşitsizlik çözülür. • -x > 3 • Eksi ile çarp, yön değiştir: x < -3 • -3'ten küçük en büyük tam sayı -4'tür. Sonuç: -4.

12. x negatif bir tam sayı olmak üzere, 1 / (x-6) < -1/10 olduğuna göre x'in en küçük değeri kaçtır?

• A) -2
• B) -3 ✓
• C) -4
• D) -5

• 1 / (x-6) < -1/10. x negatif olduğu için (x-6) negatiftir. • Negatif eşitsizlikte içler dışlar çarpımı veya takla attırma yön değiştirir. • -10 > x - 6 (Dikkat: Her iki taraf negatif olduğu için yön değişimi kritik, burada direkt değer vermek daha güvenlidir). • x=-3 için: 1/-9 (-0.11) < -0.10. Doğru. • x=-4 için: 1/-10 (-0.10) < -0.10. Yanlış (Eşit). • Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı (negatiflerde mutlak değerce küçük olan büyüktür ama burada değer soruluyor). • x > -4 sınırını buluruz. x=-3. Sonuç: -3.

13. |3x - 6| ifadesini en küçük yapan x değeri kaçtır?

• A) 0
• B) 2 ✓
• C) 3
• D) 6

Minumum değer bulunur. • Mutlak değer en az 0 olabilir. • 3x - 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2 Sonuç: 2.

14. |x| > x eşitsizliği x'in hangi değerleri için doğrudur?

• A) x > 0
• B) x < 0 ✓
• C) x = 0
• D) Hiçbiri

Sayılar denenir. • Pozitiflerde eşitlik vardır (|5|=5). • Negatiflerde mutlak değer kendisinden büyüktür (|-3|=3 > -3). Sonuç: x < 0.

15. 1/x > 2 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

• A) x > 2
• B) x < 1/2
• C) 0 < x < 1/2 ✓
• D) x > 1/2

Eşitsizlik çözülür. • x pozitif olmalıdır (yoksa negatif > pozitif olurdu). • Takla attırıp yön değiştir: x < 1/2 • Pozitiflik şartıyla birleştir: 0 < x < 1/2 Sonuç: 0 < x < 1/2.

16. 1 ≤ |x| ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayı vardır?

• A) 2
• B) 4
• C) 6 ✓
• D) 8

İki parça incelenir. • Pozitifler: 1, 2, 3 • Negatifler: -1, -2, -3 Sonuç: Toplam 6 tane.

17. x + |x| = 2x denkleminin çözüm kümesi nedir?

• A) x ≥ 0 ✓
• B) x ≤ 0
• C) x = 0
• D) Tüm reel sayılar

Denklem düzenlenir. • |x| = 2x - x => |x| = x • Aynen çıktığı için x pozitif veya 0 olmalı. Sonuç: x ≥ 0.

18. ab, bc ve ca iki basamaklı sayılardır. 17 < ab + bc + ca < 135 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaç farklı değer alabilir?

• A) 7
• B) 8
• C) 9
• D) 10 ✓

• Basamak çözümlemesi: (10a+b) + (10b+c) + (10c+a) = 11(a+b+c) • 17 < 11(a+b+c) < 135 • a+b+c toplamına k diyelim. 1.5 < k < 12.2 • k değerleri: 2, 3, ..., 12 olabilir. • Ancak a,b,c rakam ve sayılar iki basamaklı olduğu için a,b,c en az 1 olabilir (0 olamaz başa geldikleri için). Toplam en az 1+1+1=3 olur. (k=2 olamaz). • Değerler: 3, 4, ..., 12. • Terim sayısı: 12 - 3 + 1 = 10. Sonuç: 10.

19. x ve y tam sayıları, 2 < x < y - x < 6 eşitsizliğini sağlamaktadır. Buna göre y'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) 20
• B) 22
• C) 24 ✓
• D) 26

• x için olası tam sayı değerleri: 3 ve 4'tür (2 ve 6 aralığında x < y-x koşulunu da sağlamalı). • x=3 için: 3 < y-3 < 6 → 6 < y < 9. y = 7, 8 olabilir. • x=4 için: 4 < y-4 < 6 → 8 < y < 10. y = 9 olabilir. • Toplam: 7 + 8 + 9 = 24. Sonuç: 24.

20. x negatif; a, b, c pozitif. x/2a = x/4b = x/3c ise a,b,c sıralaması?

• A) b < a < c
• B) a < b < c
• C) c < a < b
• D) a > c > b ✓

• Paylar (x) eşit ve negatif. Sonucun eşit olması için paydası büyük olanın değerinin büyük olması gerekir (sıfıra yakınlık/negatiflik ilişkisinden ters mantık). • Düz mantık: x=-12 olsun. -12/2a = -12/4b = -12/3c. • 2a = 4b = 3c olmalı (Hepsinin sonucu aynı negatif sayı). • 2,3,4 OKEK = 12. a=6, b=3, c=4. • Sıralama: a(6) > c(4) > b(3). Sonuç: a > c > b.

21. (2/3)²⁻ᵃ ≤ (3/2)⁴ᵃ⁺¹² eşitsizliğine göre a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

• A) -7
• B) -5
• C) -4 ✓
• D) -3

• Tabanları eşitleyelim: (2/3) tabanını (3/2) yaparsak üs işaret değiştirir: (3/2)^(-(2-a)) = (3/2)^(a-2) • Eşitsizlik: (3/2)^(a-2) ≤ (3/2)^(4a+12) • Taban 1'den büyük (1.5) olduğu için eşitsizlik yönü aynı kalır: a - 2 ≤ 4a + 12 • -14 ≤ 3a → a ≥ -14/3 (yaklaşık -4.66) • a sayısı -4.66'dan büyük veya eşit olmalıdır. • Bu şartı sağlayan en küçük tam sayı -4'tür. Sonuç: -4.

22. Hangi sayının mutlak değeri kendisine eşittir?

• A) Sadece 0
• B) Sadece 1
• C) Negatif olmayan tüm sayılar ✓
• D) Tüm reel sayılar

Tanım gereği |x| = x olması için x ≥ 0 olmalıdır. Sonuç: Negatif olmayan tüm sayılar.

23. Aşağıdakilerden hangisi -1 < x < 1 aralığında değildir?

• A) 0
• B) 0.5
• C) -0.9
• D) 1 ✓

Aralık analizi yapılır. • < işareti 'dahil değil' demektir. • 1 sayısı sınırdır ama dahil değildir. Sonuç: 1.

24. 0 ≤ x ≤ 2 ve -2 ≤ y ≤ 5 ise 4x - 3y ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

• A) 10
• B) 12
• C) 13
• D) 14 ✓

• 4x'in max değeri: 4(2) = 8. • -3y'nin max değeri için y en küçük olmalı: y = -2. -3(-2) = 6. • Toplam: 8 + 6 = 14. Sonuç: 14.

25. a ve b reel sayılar olmak üzere, -2 < a < 5 ve 1 < b < 4 ise 2b - 3a ifadesinin alacağı en küçük tam sayı değeri kaçtır?

• A) -14
• B) -13
• C) -12 ✓
• D) -11

• 2b aralığı: 2 < 2b < 8 • -3a aralığı: -3 ile çarpınca yön değişir. -15 < -3a < 6 • Taraf tarafa toplayalım: • 2 < 2b < 8 • -15 < -3a < 6 • Toplam: -13 < 2b - 3a < 14 • En küçük tam sayı değeri -12'dir. Sonuç: -12.