İşlem ve Modüler Aritmetik 2

1. 15! sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?

• A) 0 ✓
• B) 1
• C) 2
• D) 12

Faktöriyel içinde çarpan aranır. • 15! içinde 13 çarpanı vardır. • Tam bölünür. Sonuç: 0.

2. a Δ b = a + b - 2ab işleminde yutan eleman kaçtır?

• A) 0
• B) 1/2 ✓
• C) 1
• D) 2

Yutan eleman (y) özelliği: a Δ y = y. • a + y - 2ay = y • a - 2ay = 0 -> a(1-2y) = 0 • 1 - 2y = 0 -> y = 1/2 Sonuç: 1/2.

3. 3¹⁵ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

• A) 1
• B) 2 ✓
• C) 3
• D) 4

Üslerin modu (döngüsü) bulunur. • 3¹=3, 3²=4, 3³=2, 3⁴=1 (Döngü 4'te bir) • 15 mod 4 = 3 (Kalan 3) • 3³ ≡ 2 (mod 5) Sonuç: 2.

4. Saat 14:00 iken 20 saat sonra saat kaç olur?

• A) 08:00
• B) 10:00 ✓
• C) 12:00
• D) 06:00

Mod 24 işlemi yapılır. • 14 + 20 = 34 • 34 mod 24 = 10 Sonuç: 10:00.

5. 45 günde bir nöbet tutan asker ilk nöbetini Pazartesi tutarsa 2. nöbetini hangi gün tutar?

• A) Çarşamba
• B) Perşembe ✓
• C) Cuma
• D) Cumartesi

Mod 7 işlemi yapılır. • 45 mod 7 = 3 (Kalan) • Pazartesi + 3 gün • Perşembe Sonuç: Perşembe.

6. 123 + 456 toplamının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?

• A) 7
• B) 8
• C) 9 ✓
• D) 6

Birler basamakları toplanır. • 3 + 6 = 9 Sonuç: 9.

7. Z/6 kümesinde 2x + 3 = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?

• A) {2}
• B) {5}
• C) {2, 5} ✓
• D) Boş Küme

Denklem mod 6'da çözülür. • 2x = 1 - 3 = -2 ≡ 4 (mod 6) • 2x = 4 için x=2 ve x=5 (2.5=10≡4) Sonuç: {2, 5}.

8. x * y = max(x, y) işlemine göre (3 * 5) * 2 kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 5 ✓
• D) 7

Max fonksiyonu uygulanır. • max(3, 5) = 5 • max(5, 2) = 5 Sonuç: 5.

9. 5 günde bir nöbet tutan doktor ilk nöbetini Cuma tutarsa 3. nöbetini hangi gün tutar?

• A) Pazar
• B) Pazartesi ✓
• C) Salı
• D) Çarşamba

Aralık ve mod hesabı yapılır. • 2 nöbet arası geçer (2 x 5 = 10 gün) • 10 mod 7 = 3 • Cuma + 3 = Pazartesi Sonuç: Pazartesi.

10. Birim elemanı 3 olan bir * işleminde 3 * 5 kaçtır?

• A) 3
• B) 5 ✓
• C) 15
• D) 8

Birim eleman özelliği kullanılır. • e * a = a • 3 * 5 = 5 Sonuç: 5.

11. a ∆ b = min(a, b) + 2 işlemine göre 4 ∆ 7 kaçtır?

• A) 6 ✓
• B) 9
• C) 4
• D) 7

Minimum fonksiyonu kullanılır. • min(4, 7) = 4 • 4 + 2 = 6 Sonuç: 6.

12. -23 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

• A) 2 ✓
• B) 3
• C) -3
• D) 1

Matematikte bölme işleminde kalan değer negatif olamaz. Negatif bir sayının bölümünden kalanı (modüler aritmetik) bulmak için, sayı pozitif olana kadar üzerine bölen sayı veya katları eklenir. -23 sayısına, onu pozitif yapacak 5'in en küçük katı olan 25'i ekleriz. -23 + 25 = 2 Bu nedenle doğru cevap 2'dir.

13. x ⊕ y = (x² + y²) mod 3 ise 2 ⊕ 2 sonucu nedir?

• A) 0
• B) 1
• C) 2 ✓
• D) 4

Kural uygulanır. • (2² + 2²) mod 3 • (4 + 4) mod 3 = 8 mod 3 • Kalan 2 Sonuç: 2.

14. Z/11'de 5 - 8 işleminin sonucu kaçtır?

• A) -3
• B) 8 ✓
• C) 3
• D) 5

Negatif sonuç pozitife çevrilir. • 5 - 8 = -3 • -3 ≡ 8 (mod 11) Sonuç: 8.

15. x ★ y = 1/x + 1/y işlemine göre 2 ★ 3 kaçtır?

• A) 1/5
• B) 5/6 ✓
• C) 6/5
• D) 1

Kesir toplama işlemi yapılır. • 1/2 + 1/3 • (3+2)/6 = 5/6 Sonuç: 5/6.

16. x ★ y = 2x + 3y işleminde 2 ★ k = 16 ise k kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4 ✓
• D) 5

Denklem çözülür. • 2(2) + 3k = 16 • 4 + 3k = 16 -> 3k = 12 • k = 4 Sonuç: 4.

17. a ◊ b = aᵇ işlemine göre 3 ◊ 2 kaçtır?

• A) 6
• B) 8
• C) 9 ✓
• D) 5

Üs alma işlemi yapılır. • 3² = 9 Sonuç: 9.

18. Z/4 kümesinde karesi kendisine eşit olan elemanların toplamı kaçtır?

• A) 0
• B) 1 ✓
• C) 2
• D) 3

Elemanlar (0,1,2,3) denenir. • 0²=0, 1²=1 (Sağlar) • 2²=4≡0, 3²=9≡1 (Sağlamaz) • Toplam: 0+1=1 Sonuç: 1.

19. a ∇ b = 2a + 3b işlemine göre (1 ∇ 2) ∇ 3 kaçtır?

• A) 20
• B) 25 ✓
• C) 19
• D) 22

İşlem sırası takip edilir. • 1 ∇ 2 = 2(1) + 3(2) = 8 • 8 ∇ 3 = 2(8) + 3(3) = 16 + 9 = 25 Sonuç: 25.

20. a ⊙ b = a + b - ab işlemine göre 2 ⊙ 3 kaçtır?

• A) -1 ✓
• B) 0
• C) 1
• D) 5

Değerler yerine konur. • 2 + 3 - (2.3) • 5 - 6 = -1 Sonuç: -1.

21. 2010 ≡ x (mod 9) ise x kaçtır?

• A) 1
• B) 2
• C) 3 ✓
• D) 4

Rakamlar toplamı (9 ile bölüm). • 2 + 0 + 1 + 0 = 3 • 3 mod 9 = 3 Sonuç: 3.

22. a • b = a.b + 1 işlemine göre işlem değişmeli midir?

• A) Evet ✓
• B) Hayır
• C) Bazen
• D) Bilinemez

Değişme özelliği testi. • a.b + 1 = b.a + 1 • Çarpma değişmelidir, eşittir. Sonuç: Evet.

23. x * y = x + y - 5 işlemine göre 5'in tersi kaçtır?

• A) 5 ✓
• B) 0
• C) -5
• D) 10

Birim ve ters eleman bulunur. • Birim (e): a+e-5=a -> e=5 • Ters (t): 5+t-5=5 -> t=5 Sonuç: 5.

24. a # b = (a+b)/2 ise 4 # (6 # 2) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 3
• B) 4 ✓
• C) 5
• D) 6

İşlem sırası takip edilir. • 6 # 2 = (6+2)/2 = 4 • 4 # 4 = (4+4)/2 = 4 Sonuç: 4.

25. Z/7 kümesinde 4'ün çarpma işlemine göre tersi kaçtır?

• A) 1
• B) 2 ✓
• C) 3
• D) 5

Ters eleman aranır (4.x ≡ 1 mod 7). • 4 . 2 = 8 • 8 mod 7 = 1 Sonuç: 2.