Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 1

1. 5 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu olan biri 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir?

• A) 8
• B) 15 ✓
• C) 12
• D) 125

Adım adım çözüm: 1. Çarpma kuralı. 2. 5 × 3 = 15 3. Sonuç: 15.

2. B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla rakamlar bir kez kullanılmak şartıyla kaç farklı dört basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 200
• B) 300
• C) 600
• D) 720 ✓

Adım adım çözüm: 1. Binler: 6 (0 hariç), Yüzler: 6, Onlar: 5, Birler: 4. 6 * 6 * 5 * 4 = 720.

3. {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

• A) 48 ✓
• B) 60
• C) 64
• D) 100

Adım adım çözüm: 1. Basamak analizi yapılır. 2. Yüzler: 4 (0 hariç) 3. Onlar: 4 (Kalanlar) 4. Birler: 3 5. 4 × 4 × 3 = 48 6. Sonuç: 48.

4. Bir torbada bulunan sarı topların sayısı kırmızı topların sayısının 2 katı kadardır. Torbadan geri atılmaksızın art arda iki top çekiliyor. Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığı 10/21 olarak hesaplanıyor. Buna göre, başlangıçta torbada kaç tane top vardır?

• A) 6
• B) 9
• C) 12
• D) 15 ✓

Adım adım çözüm: 1. Kırmızı sayısı x ise Sarı sayısı 2x'tir. Toplam top 3x. 2. Farklı renk olma durumları: (Sarı-Kırmızı) veya (Kırmızı-Sarı). 3. Olasılık denklemi: [ (2x/3x) * (x/(3x-1)) ] + [ (x/3x) * (2x/(3x-1)) ] = 10/21. 4. İşlem: 2 * [ (2x^2) / (3x*(3x-1)) ] = 10/21 => (4x) / (3*(3x-1)) = 10/21. 5. Sadeleştirme: (4x) / (3x-1) = 10/7 => 28x = 30x - 10 => 2x = 10 => x = 5. 6. Toplam top: 3 * 5 = 15.

5. Bir kutuda 4 sağlam, 2 bozuk ampul vardır. Rastgele seçilen 2 ampulden en az birinin bozuk olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/5
• B) 3/5 ✓
• C) 4/15
• D) 8/15

Adım adım çözüm: 1. Tümleyen olasılık. 2. 1 - P(İkisi de Sağlam) 3. 1 - C(4,2)/C(6,2) 4. 1 - 6/15 = 9/15 = 3/5 5. Sonuç: 3/5.

6. Bir madeni para 4 kez atılıyor. 2 yazı 2 tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 3/8 ✓
• B) 1/4
• C) 1/2
• D) 5/8

Adım adım çözüm: 1. Tekrarlı permütasyon ve olasılık. 2. Sıralama: 4!/(2!2!) = 6 3. Toplam: 2⁴ = 16 4. 6/16 = 3/8 5. Sonuç: 3/8.

7. 4 evli çift arasından seçilecek 2 kişinin birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 1/7 ✓
• D) 1/14

Adım adım çözüm: 1. 4 evli çift toplam 8 kişidir. 2. Tüm durumlar (8 kişiden 2 seçim): C(8, 2) = 28. 3. İstenen durum (eş olan bir çift seçilmesi): 4 çift olduğu için 4 durum. 4. Olasılık: 4 / 28 = 1/7.

8. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla, rakamları tekrarsız; beş basamaklı ve 5'e bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir?

• A) 12
• B) 24 ✓
• C) 36
• D) 48

Adım adım çözüm: 1. Bir sayının 5'e bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Kümemizde sadece 5 mevcuttur. 2. Birler basamağına 5 yazılır ve sabitlenir. 3. Geriye kalan 4 basamağa, kümenin kalan 4 elemanı (1, 2, 3, 4) farklı dizilişlerle yerleşir. 4. 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.

9. (x + y)⁵ açılımında kaç terim vardır?

• A) 4
• B) 5
• C) 6 ✓
• D) 7

Adım adım çözüm: 1. Binom açılımında (x + y)^n ifadesinin terim sayısı her zaman üssün 1 fazlasıdır. 2. Formül: n + 1 terim vardır. 3. Burada n = 5 olduğuna göre; 5 + 1 = 6 terim bulunur.

10. Dört kişilik bir aile, bir arabaya iki kişi önde ve diğer iki kişide arkada oturmak üzere kaç farklı şekilde binebilir?

• A) 12
• B) 15
• C) 20
• D) 24 ✓

Adım adım çözüm: 1. 4 kişilik bir ailenin her bir üyesi farklı bir koltuğa oturacaktır. 2. n kişinin düz bir sıraya diziliş sayısı n! ile hesaplanır. 3. Bu durumda 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 farklı şekilde oturabilirler.

11. Bir yarışmada 8 kişi arasından birinci, ikinci ve üçüncü seçilecektir. Kaç farklı sıralama yapılabilir?

• A) 336 ✓
• B) 56
• C) 120
• D) 168

Adım adım çözüm: 1. Sıralama (birinci, ikinci, üçüncü) önemli olduğu için permütasyon kullanılır. 2. P(8, 3) = 8 * 7 * 6. 3. Hesaplama: 56 * 6 = 336.

12. Küp şeklindeki bir zar atıldığında alt yüzüne gelen sayının asal olması olasılığı kaçtır?

• A) 1/6
• B) 1/3
• C) 1/2 ✓
• D) 2/3

Adım adım çözüm: 1. Bir zarda toplam 6 yüz vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Asal sayılar: {2, 3, 5}. 3. Asal sayı gelme durumu sayısı: 3. 4. Olasılık: 3/6 = 1/2.

13. Bir torbada 5 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Rastgele çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

• A) 15/28 ✓
• B) 15/56
• C) 13/28
• D) 1/2

Adım adım çözüm: 1. Toplam bilye sayısı: 8. 2. Tüm durumlar (8 bilyeden 2 seçim): C(8, 2) = (8*7)/2 = 28. 3. İstenen durum (1 kırmızı ve 1 beyaz): C(5, 1) * C(3, 1) = 5 * 3 = 15. 4. Olasılık: 15/28.

14. Bir çift zar atıldığında birinci zarın üst yüzündeki rakamın tek ve ikincisinin de 5 gelme olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 2/3
• D) 1/12 ✓

Adım adım çözüm: 1. 1. Tek (1,3,5) -> 3/6 = 1/2. 2. 5 gelme -> 1/6. 1/2 * 1/6 = 1/12.

15. Aralarında Mesut ve Zeynep'in de bulunduğu 7 kişi düz bir sıraya yan yana oturacaklardır. Sıranın iki ucunda (başında ve sonunda) Mesut ile Zeynep'in bulunması koşuluyla bu kişiler kaç farklı şekilde oturabilirler?

• A) 120
• B) 144
• C) 162
• D) 240 ✓

Adım adım çözüm: 1. Uçlardaki iki koltuğa Mesut ve Zeynep oturacaktır (Mesut başta - Zeynep sonda VEYA Zeynep başta - Mesut sonda olabilir). Kendi aralarında 2! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilirler. 2. Aradaki 5 koltuğa kalan 5 kişi 5! = 120 farklı şekilde dizilir. 3. Toplam farklı diziliş sayısı: 2! × 5! = 2 × 120 = 240.

16. Bir sınıfta 10 öğrenci var. Bu öğrencilerden 3'ü kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 120 ✓
• B) 45
• C) 80
• D) 60

Adım adım çözüm: 1. Seçim işlemi olduğu için kombinasyon (C) kullanılır. 2. C(10, 3) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1). 3. Hesaplama: 720 / 6 = 120.

17. 5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?

• A) 5
• B) 10
• C) 32 ✓
• D) 25

Adım adım çözüm: 1. Sınava katılan her bir kişi için 2 farklı sonuç (Geçti veya Kaldı) mümkündür. 2. 5 kişi için bu durumların toplam sayısı çarpma kuralı ile hesaplanır. 3. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32 farklı sonuç oluşabilir.

18. İki zar atıldığında gelen sayıların çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/2
• C) 3/4
• D) 1/3

Adım adım çözüm: 1. İki sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması gerekir. 2. Bir zarda tek gelme olasılığı: {1, 3, 5} / {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 3/6 = 1/2. 3. İki zarın da tek gelme olasılığı: (1/2) * (1/2) = 1/4.

19. Bir zar atıldığında zarın üst yüzeyindeki sayının çift sayı veya 4'ten küçük bir sayı olma olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/3
• C) 5/6 ✓
• D) 1/6

Adım adım çözüm: 1. Çift (2,4,6). <4 (1,2,3). Birleşim: {1,2,3,4,6}. 5 durum. 5/6.

20. 3 farklı mektup, 4 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?

• A) 12
• B) 64 ✓
• C) 81
• D) 24

Adım adım çözüm: 1. Birinci mektup için 4 seçenek (posta kutusu) vardır. 2. İkinci mektup için yine 4 seçenek vardır. 3. Üçüncü mektup için yine 4 seçenek vardır. 4. Toplam seçenek sayısı: 4 * 4 * 4 = 64.

21. İçinde 4 kırmızı, 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan iki bilye çekildiğinde, ilkinin beyaz ikincisinin kırmızı olma olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 3/7
• D) 2/7 ✓

Adım adım çözüm: 1. Torbadaki toplam top sayısı: 4 + 4 = 8. 2. İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı: 4/8. 3. Top geri atılmadığı için geriye 7 top kalır. 4. Kalan 7 top arasından kırmızı çekme olasılığı: 4/7. 5. Bu iki bağımsız olayın olasılıkları çarpılır: (4/8) × (4/7) = 1/2 × 4/7 = 2/7.

22. Bir çift zar aynı anda atılıyor. Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine göre, zarların toplamının tek sayı olma olasılığı nedir?

• A) 4/11
• B) 5/11
• C) 6/11 ✓
• D) 7/11

Adım adım çözüm: 1. Birinin 4 geldiği 11 durum: (4,1),(1,4),(4,2),(2,4),(4,3),(3,4),(4,4),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4). Toplamın tek olduğu (4,1),(1,4),(4,3),(3,4),(4,5),(5,4) -> 6 durum. 6/11.

23. 6 farklı kitap bir rafa dizilecektir. Matematik ve Fizik kitaplarının uçlarda olması şartıyla kaç farklı dizilim yapılabilir?

• A) 24
• B) 48 ✓
• C) 96
• D) 120

Adım adım çözüm: 1. Matematik ve Fizik kitapları uçlara yerleşir. İki uç olduğu için 2! = 2 farklı yer değişimleri vardır. 2. Aradaki 4 kitap serbestçe dizilir: 4! = 24. 3. Toplam dizilim sayısı: 2 * 24 = 48.

24. C(n, 2) = 21 ise n kaçtır?

• A) 6
• B) 7 ✓
• C) 8
• D) 9

Adım adım çözüm: 1. Kombinasyon formülünü açalım: n! / (2! * (n-2)!) = 21. 2. n * (n-1) / 2 = 21. 3. n * (n-1) = 42. 4. Çarpımları 42 olan ardışık iki pozitif sayı 7 ve 6'dır. 5. Buradan n = 7 bulunur.

25. Özdeş 3 madeni 1 TL üç farklı kutuya dağıtılıyor. Bu üç madeni paranın aynı kutuda olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/10
• B) 3/10 ✓
• C) 2/5
• D) 1/4

Adım adım çözüm: 1. Özdeş n tane nesnenin r tane kutuya dağılım sayısı (Tekrarlı Kombinasyon): C(n+r-1, r-1). 2. Burada n=3, r=3. Dağılım sayısı: C(3+3-1, 3-1) = C(5, 2) = 10 (Örnek uzay). 3. İstenen durum (Aynı kutuda olma): (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3) olmak üzere 3 durumdur. 4. Olasılık = 3/10.