Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 3

1. Bir madeni para ve bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın 3'ten küçük gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/4
• C) 1/3
• D) 1/12

Adım adım çözüm: 1. Bağımsız olaylar. 2. P(Tura) = 1/2 3. P(<3) = 2/6 = 1/3 4. 1/2 × 1/3 = 1/6 5. Sonuç: 1/6.

2. Bir sınıfta 7 kız ve 3 erkek öğrenci var. Rastgele seçilen iki öğrencinin de kız olma olasılığı nedir?

• A) 7/15 ✓
• B) 2/5
• C) 1/5
• D) 7/10

Adım adım çözüm: 1. Toplam öğrenci sayısı: 10. 2. Tüm durumlar (10 kişiden 2 seçim): C(10, 2) = (10 * 9) / 2 = 45. 3. İstenen durum (7 kızdan 2'sinin seçilmesi): C(7, 2) = (7 * 6) / 2 = 21. 4. Olasılık: 21 / 45. 5. Sadeleştirme: (21/3) / (45/3) = 7/15.

3. Bir torbada bulunan 2 beyaz, 4 siyah ve 4 kırmızı toptan art arda çekilen geri atılmadan üç kez siyah top çekme olasılığı nedir?

• A) 1/20
• B) 1/30 ✓
• C) 1/40
• D) 1/50

Adım adım çözüm: 1. 1. Siyah: 4/10, 2. Siyah: 3/9, 3. Siyah: 2/8. 4/10 * 3/9 * 2/8 = 1/30.

4. Üç zar aynı anda atıldığında üst yüze gelen sayılar çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/8
• B) 1/2
• C) 5/8
• D) 7/8 ✓

Adım adım çözüm: 1. Çarpımın çift olması için en az bir zarın çift gelmesi yeterlidir. Bu, 'tüm zarların tek gelmesi' durumunun zıttıdır. 2. Her darda tek gelme olasılığı 1/2'dir. Üç zarın da tek gelme olasılığı: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8. 3. En az birinin çift (çarpımın çift) olma olasılığı: 1 - 1/8 = 7/8.

5. Üç zar aynı anda atıldığında üst yüze gelen sayılar toplamının 16 olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/108
• B) 5/216
• C) 1/36 ✓
• D) 5/108

Adım adım çözüm: 1. (5, 5, 6) durumu 3!/2! = 3 şekilde sıralanır. (6, 6, 4) durumu yine 3 şekilde sıralanır. Toplam 6 istenen durum. 6/216 = 1/36.

6. Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz top vardır. Torbadan 2 top rastgele çekiliyor. Her iki topun da kırmızı olma olasılığı nedir?

• A) 3/5
• B) 1/2
• C) 1/3 ✓
• D) 1/4

Adım adım çözüm: 1. Ardışık olaylar (Geri koymadan). 2. 1. Kırmızı: 6/10 3. 2. Kırmızı: 5/9 4. (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3 5. Sonuç: 1/3.

7. Bir çember üzerindeki 6 nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

• A) 15
• B) 20 ✓
• C) 30
• D) 120

Adım adım çözüm: 1. Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi 3 noktayı birleştirmemiz gerekir. 2. Çember üzerindeki 6 noktadan herhangi 3'ünü seçme sayısını bulmalıyız. 3. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır: C(6, 3). 4. C(6, 3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20 farklı üçgen çizilebilir.

8. Bir madeni para üç kez atıldığında en az birisinin tura geldiği bilindiğine göre, diğer ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/8
• B) 1/4
• C) 3/7 ✓
• D) 3/8

Adım adım çözüm: 1. 3 para atışında toplam 8 durum vardır. En az bir tura olduğu biliniyorsa, 'YYY' (hiç tura yok) durumu elenir. Kalan durum sayısı 7'dir. 2. İstenen durum: Birinin tura, diğer ikisinin yazı olması {TYY, YTY, YYT}. 3. Bu şartı sağlayan 3 durum vardır. 4. Koşullu olasılık: 3 / 7 bulunur.

9. İki madeni para ve bir çift zar atılıyor. Hem paraların hem de zarların aynı gelme olasılığı nedir?

• A) 1/4
• B) 1/8
• C) 1/12 ✓
• D) 7/24

Adım adım çözüm: 1. Paraların aynı (YY, TT): 2/4 = 1/2. Zarların aynı (1,1..6,6): 6/36 = 1/6. 1/2 * 1/6 = 1/12.

10. Ürünlerin %40'ı A fabrikasında, geri kalanı B fabrikasında üretilmektedir. A fabrikasının ürettiği ürünlerin %10'u, B fabrikasının ürettiği ürünlerin %5'i hatalıdır. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre, A fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/7
• B) 2/7
• C) 4/7 ✓
• D) 1/10

Adım adım çözüm: 1. Toplam ürüne 100 diyelim. 2. A ürünü: 40 adet. Hatalı A: 40 * %10 = 4 adet. 3. B ürünü: 60 adet. Hatalı B: 60 * %5 = 3 adet. 4. Toplam hatalı ürün sayısı: 4 + 3 = 7. 5. Hatalı ürünün A'dan olma olasılığı (Bayes kuralı sade hali): A'nın hatası / Toplam hata = 4/7.

11. Bir zar iki kez atılıyor. Toplam 7 elde edilme olasılığı nedir?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/12
• C) 1/9
• D) 1/36

Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar (iki zar): 6 * 6 = 36. 2. Toplamı 7 olan durumlar: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). 3. İstenen durum sayısı: 6. 4. Olasılık: 6 / 36 = 1/6.

12. 3 erkek ve 4 kızdan oluşan bir grup sinemaya gidiyor. Kızlar bir tarafta erkekler bir tarafta oturmak üzere kaç farklı şekilde koltuklara oturabilirler?

• A) 144
• B) 196
• C) 216
• D) 288 ✓

Adım adım çözüm: 1. Grupların yer değişimi 2!. Kendi içlerinde 4! ve 3!. 2 * 24 * 6 = 288.

13. Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Torbadan rastgele bir top çekildiğinde, kırmızı bir top çekilme olasılığı nedir?

• A) 3/8 ✓
• B) 5/8
• C) 1/2
• D) 1/3

Adım adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. İstenen: 3 (Kırmızı) 3. Toplam: 3 + 5 = 8 4. Sonuç: 3/8.

14. Beş tane madeni para arka arkaya atılıyor. Bu paralardan üç tanesinin yazı, iki tanesinin tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/16
• B) 5/32
• C) 7/32
• D) 5/16 ✓

Adım adım çözüm: 1. 5 para atıldığında toplam durum sayısı 2⁵ = 32'dir. 2. İstenen durum (3 Yazı, 2 Tura) tekrarlı permütasyon ile dizilir: 5! / (3! × 2!). 3. Dizilim sayısı: 120 / (6 × 2) = 10. 4. Olasılık: 10 / 32 = 5/16.

15. 5 arkadaş yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilirler?

• A) 24 ✓
• B) 30
• C) 45
• D) 60

Adım adım çözüm: 1. (5-1)! = 4! = 24.

16. 45567456 sayısının rakamlarıyla son iki basamağı 76 olan kaç farklı 8 basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 10
• B) 15
• C) 20
• D) 60 ✓

Adım adım çözüm: 1. 7 ve 6 sonda sabit. Kalan 6 rakam (2 tane 4, 3 tane 5, 1 tane 6): 6! / (2! * 3!) = 60.

17. Özdeş 3 mavi, 2 kırmızı boncuk düz bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir?

• A) 5
• B) 10 ✓
• C) 20
• D) 120

Adım adım çözüm: 1. Toplam boncuk sayısı: 5. 2. Tekrarlı permütasyon kullanılır: 5! / (3! * 2!). 3. Hesaplama: 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10.

18. Bir torbada 5 siyah, 4 beyaz top vardır. Torbadan rastgele çekilen iki toptan birinin siyah diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/9
• B) 4/9
• C) 5/9 ✓
• D) 2/3

Adım adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 5 + 4 = 9. 2. Tüm durumlar (9 toptan 2 seçim): C(9, 2) = (9 * 8) / 2 = 36. 3. İstenen durum (1 siyah ve 1 beyaz): C(5, 1) * C(4, 1) = 5 * 4 = 20. 4. Olasılık: 20 / 36. 5. Sadeleştirme (4 ile): 5/9.

19. Bir zar ve bir yazı tura aynı anda atılıyor. Zarın 4 gelmesi ve yazı tura sonucunun yazı gelmesi olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 1/6
• D) 1/12 ✓

Adım adım çözüm: 1. Bağımsız olayların çarpımı. 2. P(4) = 1/6 3. P(Yazı) = 1/2 4. (1/6) × (1/2) = 1/12 5. Sonuç: 1/12.

20. 4 evli çiftin bulunduğu 8 kişilik bir gruptan, aralarında bir evli çiftin bulunduğu 3 kişilik kaç grup oluşturulabilir?

• A) 12
• B) 18
• C) 24 ✓
• D) 36

Adım adım çözüm: 1. Toplam 4 evli çiftimiz var. Grupta mutlaka 'bir evli çift' olmasını istiyoruz. 2. 4 çift arasından 1 çifti seçelim: C(4, 1) = 4 durum. 3. 3 kişilik grup için geriye 1 kişi seçmemiz gerekiyor. Gruptaki 8 kişiden 2'si (seçilen çift) gitti, geriye 6 kişi kaldı. 4. Kalan 6 kişi arasından birini seçelim: C(6, 1) = 6 durum. 5. Toplam grup sayısı: 4 * 6 = 24.

21. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında 1 bulunur?

• A) 4
• B) 6 ✓
• C) 10
• D) 12

Adım adım çözüm: 1. Kombinasyon hesaplanır. 2. 1 sabit, kalan 4 elemandan 2'si seçilir. 3. C(4, 2) = 6 4. Sonuç: 6.

22. Aynı düzlem içine çizilen birbirine paralel 4 doğru ve onları kesen birbirine paralel 5 doğru mevcutsa, bu doğrulardan kaç tane irili ufaklı paralelkenar çizilebilir?

• A) 24
• B) 30
• C) 45
• D) 60 ✓

Adım adım çözüm: 1. C(4, 2) * C(5, 2) = 6 * 10 = 60.

23. Bir kitaplıkta bulunan birbirinden farklı 3 ders kitabı, 3 roman ve 2 çizgi roman aynı rafa cinslerine göre yerleştirilecektir. Bu şartlara göre kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?

• A) 135
• B) 270
• C) 432 ✓
• D) 632

Adım adım çözüm: 1. Kitapları türlerine göre (gruplayarak) dizeceğiz. 3 ana tür olduğu için bu gruplar 3! farklı şekilde sıralanır. 2. Ayrıca her grup kendi içinde kendi kitapları arasında yer değiştirebilir: 3. Ders kitapları 3!, Romanlar 3! ve Çizgi romanlar 2! farklı şekilde dizilir. 4. Toplam diziliş: 3! × (3! × 3! × 2!) = 6 × (6 × 6 × 2) = 6 × 72 = 432.

24. Bir futbol takımının bir maçı kazanma olasılığı 1/3, kaybetme olasılığı 1/2 ise berabere kalma olasılığı kaçtır?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/5
• C) 1/3
• D) 1/2

Adım adım çözüm: 1. Tümleyen olasılık. 2. 1 - (1/3 + 1/2) 3. 1 - 5/6 = 1/6 4. Sonuç: 1/6.

25. Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/8
• B) 3/8
• C) 5/8
• D) 7/8 ✓

Adım adım çözüm: 1. En az bir tura gelmesi, 'hiç tura gelmemesi' durumunun (tamamı yazı) zıttıdır. 2. Tüm durumların sayısı: 2³ = 8. 3. Hiç tura gelmemesi durumu (Y, Y, Y): 1 tane. 4. Hiç tura gelmeme olasılığı: 1/8. 5. En az bir tura gelme olasılığı: 1 - 1/8 = 7/8.