Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 4

1. 3 erkek ve 2 kız yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?

• A) 24 ✓
• B) 120
• C) 12
• D) 48

Adım adım çözüm: 1. Dönel permütasyon. 2. (n-1)! 3. (5-1)! = 4! = 24 4. Sonuç: 24.

2. 5 kişilik bir gruptan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 10
• B) 20 ✓
• C) 25
• D) 9

Adım adım çözüm: 1. Permütasyon hesaplanır (Sıralı seçim). 2. 5 × 4 = 20 3. Sonuç: 20.

3. Bir zar atıldığında gelen sayının asal sayı veya tek sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 2/3 ✓
• C) 5/6
• D) 1

Adım adım çözüm: 1. Bir zardaki sayılar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Asal sayılar kümesi: {2, 3, 5}. 3. Tek sayılar kümesi: {1, 3, 5}. 4. İstenen durum (Asal veya Tek) birleşim kümesidir: {1, 2, 3, 5}. 5. Toplam 4 istenen durum vardır; olasılık ise 4/6 = 2/3'tür.

4. 12 kişilik bir basketbol takımından sahaya kaç farklı takım çıkartılabilir? (Basketbol 5 kişiyle oynanmaktadır.)

• A) 270
• B) 305
• C) 632
• D) 792 ✓

Adım adım çözüm: 1. C(12, 5) = 792.

5. Bir hedefi A, B ve C avcılarının vurma olasılığı sırasıyla 2/5, 1/4 ve 3/7'dir. Avcılar hedefe birer kez ateş ediyor. Buna göre, hedefi sadece bir avcının vurma olasılığı kaçtır?

• A) 7/20
• B) 2/5
• C) 9/20 ✓
• D) 11/20

Adım adım çözüm: 1. Vurma(V) ve Vuramama(X) durumlarını hesaplayalım: 2. A: V=2/5, X=3/5; B: V=1/4, X=3/4; C: V=3/7, X=4/7. 3. Sadece birinin vurduğu 3 durum vardır: 4. a) A vurdu, B ve C vuramadı: (2/5) * (3/4) * (4/7) = 24 / 140. 5. b) B vurdu, A ve C vuramadı: (3/5) * (1/4) * (4/7) = 12 / 140. 6. c) C vurdu, A ve B vuramadı: (3/5) * (3/4) * (3/7) = 27 / 140. 7. Toplam = (24+12+27) / 140 = 63 / 140. 8. Sadeleştirme (7 ile): 9/20.

6. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesindeki rakamlar ile yazılabilecek tüm üç basamaklı rakamları farklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre, sıralamada baştan 96. sayı kaçtır?

• A) 403
• B) 405
• C) 406
• D) 410 ✓

Adım adım çözüm: 1. 1 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 2. 2 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 3. 3 ile başlayanlar: 1 * 6 * 5 = 30 adet. 4. Şu an toplam: 30+30+30 = 90 sayı oldu. 96. sayıyı bulmak için 4 ile başlayanları sayalım. 5. 401, 402, 403, 405, 406 (bunlar 91, 92, 93, 94, 95. sayılardır). 6. 96. sayı bir sonraki sayı olan 410 olur.

7. Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı bilye vardır. Geri konulmamak şartıyla art arda çekilen 2 bilyenin de mavi olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/7 ✓
• B) 2/7
• C) 3/7
• D) 9/49

Adım adım çözüm: 1. Ardışık olasılık. 2. (3/7) × (2/6) 3. 6/42 = 1/7 4. Sonuç: 1/7.

8. Bir torbada 1'den 8'e kadar numaralı sekiz top bulunmaktadır. Torbadan bir top çekildiğinde numaranın tek veya 4 olma olasılığı nedir?

• A) 3/4
• B) 2/3
• C) 1/3
• D) 5/8 ✓

Adım adım çözüm: 1. Tek (1,3,5,7) -> 4 durum. 4 olma -> 1 durum. Toplam 5 durum. 5/8.

9. 4 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir?

• A) 24 ✓
• B) 16
• C) 12
• D) 8

Adım adım çözüm: 1. Sıralama kuralı (Faktöriyel). 2. P(4, 4) = 4! 3. 4 × 3 × 2 × 1 = 24 4. Sonuç: 24.

10. Beş kişilik bir gruptan bir başkan ve bir yazıcı kaç değişik şekilde seçilebilir?

• A) 5
• B) 10
• C) 15
• D) 20 ✓

Adım adım çözüm: 1. Başkan 5, yazıcı kalan 4 kişiden seçilir. 5 * 4 = 20.

11. ANAVATAN kelimesinin harfleri ile son harfi 'T' olan anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kaç kelime yazılabilir?

• A) 35
• B) 70
• C) 105 ✓
• D) 210

Adım adım çözüm: 1. 'T' harfi sonda sabit olduğu için onu devre dışı bırakıyoruz. 2. Geriye kalan 7 harf: A, N, A, V, A, N, A. 3. Bu harflerin dağılımı: 4 tane 'A', 2 tane 'N', 1 tane 'V'. 4. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: 7! / (4! * 2! * 1!). 5. Hesaplama: (7*6*5*4!) / (4! * 2) = 210 / 2 = 105.

12. 10 kişinin bulunduğu bir toplantıda herkes birbiriyle birer kez tokalaşıyor. Toplam kaç tokalaşma olur?

• A) 45 ✓
• B) 90
• C) 55
• D) 100

Adım adım çözüm: 1. Tokalaşma işlemi için 10 kişi arasından 2 kişilik gruplar seçilmelidir. 2. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır. 3. C(10, 2) = (10 * 9) / (2 * 1) = 90 / 2 = 45.

13. 5 kişi yan yana fotoğraf çektirecektir. Belirli iki kişinin yan yana olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/5
• B) 2/5 ✓
• C) 3/5
• D) 4/5

Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar (5 kişinin dizilişi): 5! = 120. 2. İstenen durum: Yan yana olacak iki kişiyi 1 paket (bir kişi gibi) kabul edelim. Geriye (5-2+1) = 4 kişi kalır. 3. Bu 4 kişinin dizilişi: 4! = 24. 4. Paketteki iki kişinin kendi arasındaki yer değişimi: 2! = 2. 5. İstenen toplam durum: 24 * 2 = 48. 6. Olasılık: 48 / 120 = 2/5.

14. Bir kafeye giden dört arkadaştan ikisi sade Türk kahvesi, diğer ikisi şekerli Türk kahvesi sipariş ediyorlar. Kahveleri getiren garsonun müşterilere sormadan kahveleri doğru dağıtma olasılığı nedir?

• A) 1/12
• B) 1/6 ✓
• C) 1/4
• D) 1/3

Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar 4!/(2!2!) = 6. Doğru dağıtım 1 durumdur. Olasılık 1/6.

15. Bir deste (52 kart) iskambil kartından bir karo kart seçilme olasılığı nedir?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/13
• C) 1/2
• D) 3/4

Adım adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. Karo sayısı: 13, Toplam: 52 3. 13/52 4. Sadeleştirme: 1/4 5. Sonuç: 1/4.

16. Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top vardır. Çekilen bir topun numarasının çift veya 3'ün katı olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/5
• B) 7/10 ✓
• C) 4/5
• D) 1/2

Adım adım çözüm: 1. Örnek uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} -> 10 eleman. 2. Çift sayılar (A): {2, 4, 6, 8, 10} -> s(A) = 5. 3. 3'ün katları (B): {3, 6, 9} -> s(B) = 3. 4. Hem çift hem 3'ün katı olanlar (A∩B): {6} -> s(A∩B) = 1. 5. Birleşim formülü: s(AUB) = s(A) + s(B) - s(A∩B) = 5 + 3 - 1 = 7. 6. Olasılık: 7/10.

17. Hileli ve hilesiz birer para aynı anda atılıyor. Hileli paranın tura gelme olasılığı 1/4 olduğuna göre, en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?

• A) 3/8
• B) 5/8
• C) 7/8 ✓
• D) 1/2

Adım adım çözüm: 1. En az bir yazı = 1 - P(İkisi de Tura). P(T_hileli) = 1/4, P(T_hilesiz) = 1/2. 1 - (1/4 * 1/2) = 7/8.

18. C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla 500'den küçük ve rakamları farklı olan kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 120 ✓
• B) 240
• C) 360
• D) 480

Adım adım çözüm: 1. Yüzler basamağı 0 olamaz ve 500'den küçük olması için {1, 2, 3, 4} rakamlarından biri olmalıdır (4 seçenek). 2. Onlar basamağı: Kümeden 1 rakam yüzlere gitti, geriye kalan 6 rakamdan biri olabilir (6 seçenek). 3. Birler basamağı: Kalan 5 rakamdan biri olabilir (5 seçenek). 4. Toplam sayı: 4 * 6 * 5 = 120.

19. 5 arkadaş yan yana kaç farklı şekilde oturabilirler?

• A) 15
• B) 30
• C) 60
• D) 120 ✓

Adım adım çözüm: 1. n farklı nesnenin yan yana diziliş sayısı n! formülüyle bulunur. 2. Burada n = 5 olduğuna göre; 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

20. Bir zar atıldığında, tek sayı gelme olasılığı nedir?

• A) 1/2 ✓
• B) 1/3
• C) 1/6
• D) 2/3

Adım adım çözüm: 1. İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı. 2. Tek sayılar: {1, 3, 5} (3 adet) 3. Tüm durumlar: 6 adet 4. 3/6 = 1/2 5. Sonuç: 1/2.

21. Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 1/3 ✓
• C) 1/6
• D) 2/3

Adım adım çözüm: 1. Bir zarda 6 olasılık vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. 4'ten büyük olan sayılar: {5, 6} (2 adet). 3. Olasılık = İstenen durum / Tüm durumlar = 2/6 = 1/3.

22. Bir madeni para art arda 5 kez atılıyor. İlk ikisinin tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/8
• C) 1/16
• D) 1/32

Adım adım çözüm: 1. Bağımsız olaylar. 2. (1/2) × (1/2) 3. Diğer 3 atış önemsizdir (veya 1/1 alınır). 4. Sonuç: 1/4.

23. Bir sınıfta 5 öğrenci arasından 2 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

• A) 10 ✓
• B) 20
• C) 5
• D) 15

Adım adım çözüm: 1. n elemanlı bir kümeden r tane elemanın seçilmesi C(n, r) kombinasyonudur. 2. C(5, 2) = (5 * 4) / (2 * 1) = 20 / 2 = 10.

24. Bir kutuda 3 sarı, 2 lacivert top vardır. Torbaya geri atılmadan çekilen toplardan ilkinin sarı ikincinin lacivert olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/10 ✓
• B) 1/5
• C) 1/2
• D) 2/5

Adım adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 3 + 2 = 5. 2. Birinci topun sarı olma olasılığı: 3/5. 3. Geri bırakılmadığı için kalan top sayısı: 4. 4. Kalan toplar arasında lacivert sayısı: 2. 5. İkinci topun lacivert olma olasılığı: 2/4. 6. Olasılıklar çarpılır: (3/5) * (2/4) = 6/20 = 3/10.

25. 1'den 30'a kadar numaralandırılmış toplardan bir tane çekildiğinde topun üzerindeki sayının asal veya tek sayı olma olasılığı nedir?

• A) 1/3
• B) 3/10
• C) 5/6
• D) 8/15 ✓

Adım adım çözüm: 1. 1'den 30'a kadar olan tek sayılar kümesi (A): {1, 3, 5, ..., 29} -> 15 tane. 2. 1'den 30'a kadar olan asal sayılar kümesi (B): {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} -> 10 tane. 3. Hem tek hem asal olanlar (A ∩ B): {3, 5, 7, ..., 29} (2 hariç tüm asallar) -> 9 tane. 4. Birleşim formülü: s(A) + s(B) - s(A ∩ B) = 15 + 10 - 9 = 16. 5. Olasılık: 16/30 = 8/15.