Asal Çarpanlara Ayırma 2

1. 196 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2 × 7²
• B) 2² × 7² ✓
• C) 2² × 7
• D) 4 × 49

Tam kare kuralı. • 196 = 14² = (2 × 7)² • 2² × 7² Sonuç: 2² × 7².

2. a ve n birer doğal sayı olmak üzere, 11! = 2ⁿ × a eşitliğini sağlayan n sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

• A) 24
• B) 30
• C) 32
• D) 36 ✓

• 11!'de 2 çarpanı: ⌊11/2⌋ + ⌊11/4⌋ + ⌊11/8⌋ = 5 + 2 + 1 = 8 • n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} • Toplam = 8 × 9 / 2 = 36 Sonuç: 36.

3. A = 2ᵃ × 3ᵇ sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır. Buna göre, (a,b) ikilisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• A) (2,2)
• B) (3,1)
• C) (5,1) ✓
• D) (4,1)

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hâli verildiğinde, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı üslerin birer fazlasının çarpılmasıyla bulunur. Buna göre $(a+1) \times (b+1) = 12$ olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde sadece C seçeneğindeki (5,1) ikilisi için $(5+1) \times (1+1) = 6 \times 2 = 12$ şartı sağlanır.

4. n bir doğal sayı olmak üzere, 19! × 4! / 4ⁿ ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, n sayısı en çok kaç olabilir?

• A) 11
• B) 10
• C) 9 ✓
• D) 8

• 4 = 2² • 19!'de 2 çarpanı: ⌊19/2⌋ + ⌊19/4⌋ + ⌊19/8⌋ + ⌊19/16⌋ = 9 + 4 + 2 + 1 = 16 • 4!'de 2 çarpanı: 3 • Toplam: 16 + 3 = 19 • 4ⁿ = 2²ⁿ için: 2n ≤ 19 → n ≤ 9 Sonuç: 9.

5. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanları 2, 3 ve 7'dir?

• A) 28
• B) 30
• C) 56
• D) 42 ✓

Çarpanlar çarpılır. • 2 × 3 × 7 • 6 × 7 = 42 Sonuç: 42.

6. n! × 100 + 5! = (n + 3)! olduğuna göre, n kaçtır? (Alternatif çözüm)

• A) 1
• B) 2
• C) 3 ✓
• D) 4

• n! × 100 + 120 = (n+3)! • n = 3: 6 × 100 + 120 = 720 = 6! ✓ Sonuç: 3.

7. 250 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2 × 5³ ✓
• B) 2² × 5²
• C) 2 × 5²
• D) 5³

Bölme işlemi yapılır. • 250 = 2 × 125 • 2 × 5³ Sonuç: 2 × 5³.

8. 540 sayısının pozitif tek tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 9
• D) 12

• 540 = 2² × 3³ × 5 • Tek bölenler için 2 çarpanını almayız • Tek bölen sayısı = (3+1) × (1+1) = 4 × 2 = 8 Sonuç: 8.

9. n bir tam sayı olmak üzere, 12! / (6ⁿ × A) = 5 eşitliğinde A en küçük tam sayı değerini aldığında A'nın asal çarpanları toplamı kaç olur?

• A) 25 ✓
• B) 24
• C) 23
• D) 22

• 12! = 6ⁿ × A × 5 • 12!'de 2 çarpanı: 10, 3 çarpanı: 5 • 6 = 2 × 3 için maksimum n = 5 • A = 12! / (6⁵ × 5) = 12! / (2⁵ × 3⁵ × 5) • 12! = 2¹⁰ × 3⁵ × 5² × 7 × 11 • A = 2⁵ × 5 × 7 × 11 • Asal çarpanlar: 2, 5, 7, 11 • Toplam = 2 + 5 + 7 + 11 = 25 Sonuç: 25.

10. 2⁴ × 3² × 5 × 7 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni 6'nın katıdır?

• A) 20
• B) 24
• C) 30
• D) 32 ✓

• 2⁴ × 3² × 5 × 7 sayısının bölenleri: 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ • 6 = 2 × 3'ün katı olması için: a ≥ 1 ve b ≥ 1 • a ∈ {1, 2, 3, 4} → 4 seçenek • b ∈ {1, 2} → 2 seçenek • c ∈ {0, 1} → 2 seçenek • d ∈ {0, 1} → 2 seçenek • Toplam = 4 × 2 × 2 × 2 = 32 Sonuç: 32.

11. (5! + 3!) / [7 × (4! - 3!)] işleminin sonucu kaçtır?

• A) 1 ✓
• B) 2
• C) 3
• D) 4

• Pay: (5! + 3!) = 120 + 6 = 126 • Payda: 7 × (4! - 3!) = 7 × (24 - 6) = 7 × 18 = 126 • Sonuç = 126 / 126 = 1

12. 300 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?

• A) 2
• B) 3 ✓
• C) 4
• D) 5

• 300 = 3 × 100 = 3 × 4 × 25 = 2² × 3 × 5² • Asal çarpanlar: 2, 3, 5 • Toplam: 3 tane Sonuç: 3.

13. x = 9! olmak üzere, A = 3 · 4 · 5 · ... · 9 + 1 · 2 · 3 · ... · 8 olduğuna göre, 18 · A ifadesinin x türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 4x
• B) 6x
• C) 7x
• D) 11x ✓

• 3 · 4 · 5 · ... · 9 = 9! / 2! = x / 2 • 1 · 2 · 3 · ... · 8 = 8! = 9! / 9 = x / 9 • Buradan A = x/2 + x/9 = x · (1/2 + 1/9) = x · (11/18) elde edilir. • Eşitliğin her iki tarafını 18 ile çarparsak; 18 · A = 11x bulunur. Dolayısıyla doğru cevap D seçeneğidir.

14. (5!)² + (4!)² / (5!)² - (4!)² işleminin sonucu kaçtır?

• A) 13/12 ✓
• B) 7/5
• C) 4/3
• D) 17/12

• Pay: (5!)² + (4!)² = (120)² + (24)² = 14400 + 576 = 14976 • Payda: (5!)² - (4!)² = 14400 - 576 = 13824 • Oran = 14976/13824 • Sadeleştir: 5!.5! + 4!.4! / 5!.5! - 4!.4! • = (5.4!)² + (4!)² / (5.4!)² - (4!)² • = (4!)²(25 + 1) / (4!)²(25 - 1) • = 26/24 = 13/12 Sonuç: 13/12.

15. Aşağıdakilerden hangisinin en büyük asal çarpanı 11'dir?

• A) 22 ✓
• B) 26
• C) 14
• D) 39

En büyük çarpanlar bulunur. • 22 = 2 × 11 (Max: 11) • 26 (Max: 13), 14 (Max: 7), 39 (Max: 13) Sonuç: 22.

16. 360 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

• A) 18
• B) 20
• C) 21 ✓
• D) 22

• 360 = 2³ × 3² × 5 • Pozitif bölen sayısı = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 • Asal bölenler: 2, 3, 5 (3 tane) • Asal olmayan: 24 - 3 = 21 Sonuç: 21.

17. 41 × (25)! = 10ˣ × y eşitliğini sağlayan x ve y tam sayıları için x'in en büyük değeri kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5
• D) 6 ✓

• 10 = 2 × 5 • 25!'de 5 çarpanı: ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6 • 41 × 25! = 41 × 25! • 41'de 5 yok, 2 yok • x maksimum = 6 Sonuç: 6.

18. 22 sayısının sağına bir miktar sıfır yazılarak oluşturulan sayının pozitif bölen sayısı 112 olduğuna göre, oluşturulan sayı kaç basamaklıdır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 10
• D) 12

• 22 × 10ⁿ = 11 × 2ⁿ⁺¹ × 5ⁿ • Bölen sayısı: 2 × (n+2) × (n+1) = 112 • (n+2)(n+1) = 56 → n+2 = 8, n+1 = 7 → n = 6 • Basamak sayısı = 2 + n = 2 + 6 = 8 Sonuç: 8.

19. Aşağıdakilerden hangisi 48'in bir asal çarpanı değildir?

• A) 5 ✓
• B) 3
• C) 2
• D) Hiçbiri

Çarpanlar kontrol edilir. • 48 = 2⁴ × 3 • Çarpanlar: 2 ve 3 • 5 çarpanı yok. Sonuç: 5.

20. n bir pozitif tam sayıdır. 2ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 127 olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 5
• B) 6 ✓
• C) 7
• D) 8

• Bölenler toplamı = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1 • 2ⁿ⁺¹ - 1 = 127 • 2ⁿ⁺¹ = 128 = 2⁷ • n + 1 = 7 • n = 6 Sonuç: 6.

21. n bir pozitif tam sayıdır. 3ⁿ × 5ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 36 olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 4
• B) 5 ✓
• C) 6
• D) 7

• 3ⁿ × 5ⁿ = (3 × 5)ⁿ = 15ⁿ • Ama ayrı ayrı: 3ⁿ × 5ⁿ • Bölen sayısı = (n+1) × (n+1) = (n+1)² • (n+1)² = 36 • n + 1 = 6 • n = 5 Sonuç: 5.

22. 1800 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 12'nin katıdır?

• A) 12 ✓
• B) 15
• C) 18
• D) 20

• 1800 = 2³ × 3² × 5² × ... = 8 × 225 = 2³ × 9 × 25 = 2³ × 3² × 5² • 12 = 2² × 3 • 12'nin katı: 2²⁺ × 3¹⁺ × 5ᵃ • 2: {2,3} (2 seçenek) • 3: {1,2} (2 seçenek) • 5: {0,1,2} (3 seçenek) • Toplam = 2 × 2 × 3 = 12 Sonuç: 12.

23. 500 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2³ × 5²
• B) 2 × 5³
• C) 2² × 5²
• D) 2² × 5³ ✓

Bölme işlemi yapılır. • 500 = 5 × 100 • 5 × (10²) • 5 × (2 × 5)² = 5 × 2² × 5² Sonuç: 2² × 5³.

24. 720 sayısının pozitif tek tam sayı bölenlerinin sayısı kaç tanedir?

• A) 6 ✓
• B) 7
• C) 8
• D) 9

• 720 = 2⁴ × 3² × 5 • Tek bölenler için 2 çarpanını almayız • Tek bölen sayısı = (2+1) × (1+1) = 3 × 2 = 6 Sonuç: 6.

25. 2⁵ × 3³ × 5² sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

• A) 48
• B) 54
• C) 60
• D) 72 ✓

• Bölen sayısı = (5+1) × (3+1) × (2+1) • = 6 × 4 × 3 = 72 Sonuç: 72.