Asal Çarpanlara Ayırma 3
300 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?
Bu testteki tüm sorular ve cevapları (25 soru)
1. 300 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?
- A) 2
- B) 3 ✓
- C) 4
- D) 5
• 300 = 3 × 100 = 3 × 4 × 25 = 2² × 3 × 5² • Asal çarpanlar: 2, 3, 5 • Toplam: 3 tane Sonuç: 3.
2. (5!)² + (4!)² / (5!)² - (4!)² işleminin sonucu kaçtır?
- A) 13/12 ✓
- B) 7/5
- C) 4/3
- D) 17/12
• Pay: (5!)² + (4!)² = (120)² + (24)² = 14400 + 576 = 14976 • Payda: (5!)² - (4!)² = 14400 - 576 = 13824 • Oran = 14976/13824 • Sadeleştir: 5!.5! + 4!.4! / 5!.5! - 4!.4! • = (5.4!)² + (4!)² / (5.4!)² - (4!)² • = (4!)²(25 + 1) / (4!)²(25 - 1) • = 26/24 = 13/12 Sonuç: 13/12.
3. 360 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
- A) 18
- B) 20
- C) 21 ✓
- D) 22
• 360 = 2³ × 3² × 5 • Pozitif bölen sayısı = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 • Asal bölenler: 2, 3, 5 (3 tane) • Asal olmayan: 24 - 3 = 21 Sonuç: 21.
4. 41 × (25)! = 10ˣ × y eşitliğini sağlayan x ve y tam sayıları için x'in en büyük değeri kaçtır?
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 6 ✓
• 10 = 2 × 5 • 25!'de 5 çarpanı: ⌊25/5⌋ + ⌊25/25⌋ = 5 + 1 = 6 • 41 × 25! = 41 × 25! • 41'de 5 yok, 2 yok • x maksimum = 6 Sonuç: 6.
5. 22 sayısının sağına bir miktar sıfır yazılarak oluşturulan sayının pozitif bölen sayısı 112 olduğuna göre, oluşturulan sayı kaç basamaklıdır?
- A) 6
- B) 8 ✓
- C) 10
- D) 12
• 22 × 10ⁿ = 11 × 2ⁿ⁺¹ × 5ⁿ • Bölen sayısı: 2 × (n+2) × (n+1) = 112 • (n+2)(n+1) = 56 → n+2 = 8, n+1 = 7 → n = 6 • Basamak sayısı = 2 + n = 2 + 6 = 8 Sonuç: 8.
6. Aşağıdakilerden hangisi 48'in bir asal çarpanı değildir?
- A) 5 ✓
- B) 3
- C) 2
- D) Hiçbiri
Çarpanlar kontrol edilir. • 48 = 2⁴ × 3 • Çarpanlar: 2 ve 3 • 5 çarpanı yok. Sonuç: 5.
7. n bir pozitif tam sayıdır. 2ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 127 olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 5
- B) 6 ✓
- C) 7
- D) 8
• Bölenler toplamı = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1 • 2ⁿ⁺¹ - 1 = 127 • 2ⁿ⁺¹ = 128 = 2⁷ • n + 1 = 7 • n = 6 Sonuç: 6.
8. n bir pozitif tam sayıdır. 3ⁿ × 5ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 36 olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 4
- B) 5 ✓
- C) 6
- D) 7
• 3ⁿ × 5ⁿ = (3 × 5)ⁿ = 15ⁿ • Ama ayrı ayrı: 3ⁿ × 5ⁿ • Bölen sayısı = (n+1) × (n+1) = (n+1)² • (n+1)² = 36 • n + 1 = 6 • n = 5 Sonuç: 5.
9. 500 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
- A) 2³ × 5²
- B) 2 × 5³
- C) 2² × 5²
- D) 2² × 5³ ✓
Bölme işlemi yapılır. • 500 = 5 × 100 • 5 × (10²) • 5 × (2 × 5)² = 5 × 2² × 5² Sonuç: 2² × 5³.
10. 2⁵ × 3³ × 5² sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
- A) 48
- B) 54
- C) 60
- D) 72 ✓
• Bölen sayısı = (5+1) × (3+1) × (2+1) • = 6 × 4 × 3 = 72 Sonuç: 72.
11. 72 ve 108 sayılarının ortak asal çarpanları nelerdir?
- A) 2, 3, 5
- B) 2
- C) 2, 3 ✓
- D) 3
Çarpanlar karşılaştırılır. • 72 = 2³ × 3² • 108 = 2² × 3³ • Ortak tabanlar: 2 ve 3 Sonuç: 2 ve 3.
12. 150 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
- A) 2 × 3² × 5
- B) 2 × 3 × 5² ✓
- C) 2² × 3 × 5
- D) 2 × 5 × 15
Bölme işlemi yapılır. • 150 = 2 × 75 • 75 = 3 × 25 • 25 = 5² Sonuç: 2 × 3 × 5².
13. 2 × 3 × 5² işleminin sonucu olan sayı kaçtır?
- A) 60
- B) 90
- C) 150 ✓
- D) 120
İşlem yapılır. • 2 × 3 = 6 • 6 × 25 • 150 Sonuç: 150.
14. A ve x doğal sayılardır. 14! + 15! = 8ˣ × A olduğuna göre x en çok kaçtır?
- A) 5 ✓
- B) 6
- C) 7
- D) 11
• 14! + 15! = 14!(1 + 15) = 14! × 16 • 16 = 2⁴ • 14!'de 2 çarpanı: ⌊14/2⌋ + ⌊14/4⌋ + ⌊14/8⌋ = 7 + 3 + 1 = 11 • Toplam 2 çarpanı: 11 + 4 = 15 • 8 = 2³ için: x maksimum = 15/3 = 5 Sonuç: 5.
15. 70 sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır?
- A) 5
- B) 2
- C) 7 ✓
- D) 35
Çarpanlar bulunur. • 70 = 2 × 5 × 7 • En büyük: 7 Sonuç: 7.
16. (a - 6) ve (2b + 3) aralarında asal sayılardır. (a-6)/32 = (2b+3)/72 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
- A) 10
- B) 11
- C) 12
- D) 13 ✓
• (a-6)/32 = (2b+3)/72 • 72(a-6) = 32(2b+3) • 9(a-6) = 4(2b+3) • OBEB(9,4) = 1 olduğundan: a-6 = 4k, 2b+3 = 9k • Aralarında asal olduğundan k = 1 • a - 6 = 4 → a = 10 • 2b + 3 = 9 → b = 3 • a + b = 10 + 3 = 13 Sonuç: 13.
17. Asal çarpanlarının toplamı 10 olan sayı hangisi olabilir?
- A) 15
- B) 21 ✓
- C) 35
- D) 14
Çarpanlar toplanır. • 21 = 3 × 7 • Toplam: 3 + 7 = 10 Sonuç: 21.
18. (0! + 2! + 4! + ... + 50!) - (1! + 3! + 5! + ... + 51!) işleminin sonucunun 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
- A) 0
- B) 1
- C) 2 ✓
- D) 3
• 6! ve sonrası 6'nın katıdır (kalan 0) • Sadece ilk terimlere bakalım: • (0! + 2! + 4!) - (1! + 3! + 5!) • = (1 + 2 + 24) - (1 + 6 + 120) • = 27 - 127 = -100 • -100 mod 6 = -4 mod 6 = 2 Sonuç: 2.
19. 400 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
- A) 2³ × 5²
- B) 2⁴ × 5² ✓
- C) 2² × 5³
- D) 2⁴ × 5
Bölme işlemi yapılır. • 400 = 4 × 100 • 2² × (10²) • 2² × (2 × 5)² = 2² × 2² × 5² Sonuç: 2⁴ × 5².
20. n, A birer pozitif doğal sayıdır. 22! = 6ⁿ × A olduğuna göre n'nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
- A) 40
- B) 43
- C) 45 ✓
- D) 46
• 6 = 2 × 3 • 22!'de 3 çarpanı sayısı: ⌊22/3⌋ + ⌊22/9⌋ = 7 + 2 = 9 • n maksimum 9 olabilir • n'nin alabileceği değerler: 0,1,2,...,9 • Toplam = 9 × 10 / 2 = 45 Sonuç: 45.
21. 3² × 7¹ şeklinde yazılabilen sayı kaçtır?
- A) 21
- B) 63 ✓
- C) 147
- D) 42
İşlem yapılır. • 9 × 7 • 63 Sonuç: 63.
22. 132 sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır?
- A) 13
- B) 3
- C) 2
- D) 11 ✓
Bölme işlemi yapılır. • 132 = 11 × 12 • 11 × 2² × 3 • En büyük: 11 Sonuç: 11.
23. 2³ × 5² şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayı kaçtır?
- A) 100
- B) 50
- C) 40
- D) 200 ✓
Değerler çarpılır. • 8 × 25 • 200 Sonuç: 200.
24. (n + 2)! + (n + 1)! / (n² + 4n + 3) = 120 olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 3
- B) 4
- C) 5 ✓
- D) 6
• Pay: (n+2)! + (n+1)! = (n+2)(n+1)! + (n+1)! = (n+1)!(n+3) • Payda: n² + 4n + 3 = (n+1)(n+3) • Oran = (n+1)!(n+3) / [(n+1)(n+3)] = (n+1)! / (n+1) = n! • n! = 120 → n = 5 Sonuç: 5.
25. n bir pozitif tam sayıdır. 2ⁿ × 3ⁿ × 5ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 64 olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 2
- B) 3 ✓
- C) 4
- D) 5
• Bölen sayısı = (n+1)³ = 64 • n + 1 = 4 • n = 3 Sonuç: 3.