Asal Çarpanlara Ayırma 3

1. 72 ve 108 sayılarının ortak asal çarpanları nelerdir?

• A) 2, 3, 5
• B) 2
• C) 2, 3 ✓
• D) 3

Çarpanlar karşılaştırılır. • 72 = 2³ × 3² • 108 = 2² × 3³ • Ortak tabanlar: 2 ve 3 Sonuç: 2 ve 3.

2. 150 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2 × 3² × 5
• B) 2 × 3 × 5² ✓
• C) 2² × 3 × 5
• D) 2 × 5 × 15

Bölme işlemi yapılır. • 150 = 2 × 75 • 75 = 3 × 25 • 25 = 5² Sonuç: 2 × 3 × 5².

3. 2 × 3 × 5² işleminin sonucu olan sayı kaçtır?

• A) 60
• B) 90
• C) 150 ✓
• D) 120

İşlem yapılır. • 2 × 3 = 6 • 6 × 25 • 150 Sonuç: 150.

4. A ve x doğal sayılardır. 14! + 15! = 8ˣ × A olduğuna göre x en çok kaçtır?

• A) 5 ✓
• B) 6
• C) 7
• D) 11

• 14! + 15! = 14!(1 + 15) = 14! × 16 • 16 = 2⁴ • 14!'de 2 çarpanı: ⌊14/2⌋ + ⌊14/4⌋ + ⌊14/8⌋ = 7 + 3 + 1 = 11 • Toplam 2 çarpanı: 11 + 4 = 15 • 8 = 2³ için: x maksimum = 15/3 = 5 Sonuç: 5.

5. 600 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 8'in katıdır?

• A) 3
• B) 5
• C) 6 ✓
• D) 8

• 600 = 2³ × 3 × 5² • 8 = 2³ katı olan bölenler için 2³ sabit alınır • Kalan çarpanlar: 3 × 5² • Bölen sayısı = (1+1) × (2+1) = 2 × 3 = 6 Sonuç: 6.

6. 2⁶ × 3⁴ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni tam kare sayıdır?

• A) 12 ✓
• B) 15
• C) 18
• D) 20

• Tam kare bölenler için üsler çift olmalı • 2: {0,2,4,6} (4 seçenek) • 3: {0,2,4} (3 seçenek) • Toplam = 4 × 3 = 12 Sonuç: 12.

7. A = 100 + 110 + 120 + ... + 200 olduğuna göre, A sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır?

• A) 21 ✓
• B) 35
• C) 38
• D) 39

• A = 10(10 + 11 + 12 + ... + 20) • Aritmetik dizi toplamı: (20-9) × (10+20) / 2 = 11 × 30 / 2 = 165 • A = 10 × 165 = 1650 = 2 × 5² × 3 × 11 • Asal çarpanlar toplamı: 2 + 5 + 3 + 11 = 21 Sonuç: 21.

8. A = 2³ × 3² × 5 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi çift sayıdır?

• A) 12
• B) 15
• C) 18 ✓
• D) 24

• Çift bölenler için 2 çarpanı en az 1 olmalı • 2: {1,2,3} (3 seçenek) • 3: {0,1,2} (3 seçenek) • 5: {0,1} (2 seçenek) • Toplam = 3 × 3 × 2 = 18 Sonuç: 18.

9. 10! - 9! + 8! sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine tam olarak bölünemez?

• A) 42
• B) 56
• C) 63
• D) 75 ✓

• 10! - 9! + 8! = 8!(10×9 - 9 + 1) = 8! × 82 • 82 = 2 × 41 • 8! = 2⁷ × 3² × 5 × 7 • Toplam = 2⁸ × 3² × 5 × 7 × 41 • 75 = 3 × 5² için 5² çarpanı yok Sonuç: 75.

10. Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı diğerlerinden fazladır?

• A) 12
• B) 8
• C) 25
• D) 30 ✓

Adetler sayılır. • 30 = 2 × 3 × 5 (3 tane) • Diğerleri 1 veya 2 tane. Sonuç: 30.

11. x doğal sayı, y tam sayıdır. x = (2y + 24) / y olduğuna göre, x kaç farklı değer alabilir?

• A) 16
• B) 14
• C) 12
• D) 10 ✓

• x = 2 + 24/y • x doğal sayı olması için 24/y tam sayı olmalı • y, 24'ün böleni olmalı: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 • x = 2 + 24/y pozitif olmalı • y > 0 için: y ∈ {1,2,3,4,6,8,12,24} → x ∈ {26,14,10,8,6,5,4,3} • y < 0 için: y ∈ {-1,-2,-3,-4,-6,-8,-12,-24} → x negatif veya 0 (doğal değil) • Sadece y = -24 için x = 2 - 1 = 1 (doğal) • Toplam 8 + 2 = 10 farklı değer Sonuç: 10.

12. 70 sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır?

• A) 5
• B) 2
• C) 7 ✓
• D) 35

Çarpanlar bulunur. • 70 = 2 × 5 × 7 • En büyük: 7 Sonuç: 7.

13. 243 sayısı hangi sayının kuvvetidir?

• A) 3⁴
• B) 9²
• C) 27²
• D) 3⁵ ✓

3'ün kuvvetleri denenir. • 3⁴ = 81 • 3⁵ = 243 Sonuç: 3⁵.

14. (a - 6) ve (2b + 3) aralarında asal sayılardır. (a-6)/32 = (2b+3)/72 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 10
• B) 11
• C) 12
• D) 13 ✓

• (a-6)/32 = (2b+3)/72 • 72(a-6) = 32(2b+3) • 9(a-6) = 4(2b+3) • OBEB(9,4) = 1 olduğundan: a-6 = 4k, 2b+3 = 9k • Aralarında asal olduğundan k = 1 • a - 6 = 4 → a = 10 • 2b + 3 = 9 → b = 3 • a + b = 10 + 3 = 13 Sonuç: 13.

15. Asal çarpanlarının toplamı 10 olan sayı hangisi olabilir?

• A) 15
• B) 21 ✓
• C) 35
• D) 14

Çarpanlar toplanır. • 21 = 3 × 7 • Toplam: 3 + 7 = 10 Sonuç: 21.

16. (0! + 2! + 4! + ... + 50!) - (1! + 3! + 5! + ... + 51!) işleminin sonucunun 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

• A) 0
• B) 1
• C) 2 ✓
• D) 3

• 6! ve sonrası 6'nın katıdır (kalan 0) • Sadece ilk terimlere bakalım: • (0! + 2! + 4!) - (1! + 3! + 5!) • = (1 + 2 + 24) - (1 + 6 + 120) • = 27 - 127 = -100 • -100 mod 6 = -4 mod 6 = 2 Sonuç: 2.

17. 400 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2³ × 5²
• B) 2⁴ × 5² ✓
• C) 2² × 5³
• D) 2⁴ × 5

Bölme işlemi yapılır. • 400 = 4 × 100 • 2² × (10²) • 2² × (2 × 5)² = 2² × 2² × 5² Sonuç: 2⁴ × 5².

18. n, A birer pozitif doğal sayıdır. 22! = 6ⁿ × A olduğuna göre n'nin alacağı değerler toplamı kaçtır?

• A) 40
• B) 43
• C) 45 ✓
• D) 46

• 6 = 2 × 3 • 22!'de 3 çarpanı sayısı: ⌊22/3⌋ + ⌊22/9⌋ = 7 + 2 = 9 • n maksimum 9 olabilir • n'nin alabileceği değerler: 0,1,2,...,9 • Toplam = 9 × 10 / 2 = 45 Sonuç: 45.

19. 3² × 7¹ şeklinde yazılabilen sayı kaçtır?

• A) 21
• B) 63 ✓
• C) 147
• D) 42

İşlem yapılır. • 9 × 7 • 63 Sonuç: 63.

20. 132 sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır?

• A) 13
• B) 3
• C) 2
• D) 11 ✓

Bölme işlemi yapılır. • 132 = 11 × 12 • 11 × 2² × 3 • En büyük: 11 Sonuç: 11.

21. 2³ × 5² şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayı kaçtır?

• A) 100
• B) 50
• C) 40
• D) 200 ✓

Değerler çarpılır. • 8 × 25 • 200 Sonuç: 200.

22. 140 sayısının sağında kaç sıfır daha olsaydı, asal olmayan pozitif tam sayı bölenleri sayısı 141 olurdu?

• A) 5
• B) 6 ✓
• C) 7
• D) 8

• 140 × 10ⁿ = 14 × 10ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺² × 7 × 5ⁿ⁺¹ • Pozitif bölen sayısı: (n+3) × 2 × (n+2) • Asal olmayan bölen sayısı = Toplam - 3 (asal: 2,5,7) • (n+3)(n+2) × 2 - 3 = 141 • (n+3)(n+2) = 72 → n+3 = 9, n+2 = 8 → n = 6 Sonuç: 6.

23. (n + 2)! + (n + 1)! / (n² + 4n + 3) = 120 olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5 ✓
• D) 6

• Pay: (n+2)! + (n+1)! = (n+2)(n+1)! + (n+1)! = (n+1)!(n+3) • Payda: n² + 4n + 3 = (n+1)(n+3) • Oran = (n+1)!(n+3) / [(n+1)(n+3)] = (n+1)! / (n+1) = n! • n! = 120 → n = 5 Sonuç: 5.

24. n bir pozitif tam sayıdır. 2ⁿ × 3ⁿ × 5ⁿ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 64 olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 2
• B) 3 ✓
• C) 4
• D) 5

• Bölen sayısı = (n+1)³ = 64 • n + 1 = 4 • n = 3 Sonuç: 3.

25. (7! - 6!) / (6! - 5!) işleminin sonucu kaçtır?

• A) 36/5 ✓
• B) 8
• C) 17/2
• D) 19/2

• Pay: 7! - 6! = 6!(7 - 1) = 6! × 6 • Payda: 6! - 5! = 5!(6 - 1) = 5! × 5 • Sonuç = (6! × 6) / (5! × 5) = (6 × 5! × 6) / (5! × 5) = 36/5 = 7.2 Doğru cevap: 36/5