Asal Çarpanlara Ayırma 4

1. 480 tane bilye n tane çocuğa eşit olarak dağıtılacaktır. Her çocuk en az 8, en fazla 80 bilye alacaktır. Buna göre, n'nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

• A) 12
• B) 13 ✓
• C) 14
• D) 15

• 480 = 2⁵ × 3 × 5 • n, 480'in böleni olmalı • 480/n ∈ [8, 80] → n ∈ [6, 60] • 480'in bölenleri: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60,80,96,120,160,240,480 • [6,60] aralığında: 6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60 (13 tane) Sonuç: 13.

2. (8!)² - (6!)² ifadesinin en büyük asal çarpanının rakamları toplamı kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 5
• D) 10 ✓

• (8!)² - (6!)² = (8! - 6!)(8! + 6!) • = 6!(8×7 - 1) × 6!(8×7 + 1) • = (6!)² × 55 × 57 • = (6!)² × 5 × 11 × 3 × 19 • En büyük asal: 19 • Rakamlar toplamı: 1 + 9 = 10 Sonuç: 10.

3. n! × 100 + 5! = (n + 3)! olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 1
• B) 2
• C) 3 ✓
• D) 4

• n! × 100 + 120 = (n+3)! • n = 3 deneyelim: 6 × 100 + 120 = 720 = 6! ✓ • (3+3)! = 6! = 720 ✓ Sonuç: 3.

4. (n - 4)! ≤ 2 × (n - 5)! eşitsizliğini sağlayan n değerlerinin toplamı kaçtır?

• A) 9
• B) 10
• C) 11 ✓
• D) 12

• (n-4)! ≤ 2(n-5)! • (n-4)(n-5)! ≤ 2(n-5)! • n - 4 ≤ 2 • n ≤ 6 • n ≥ 5 olmalı (faktöriyel tanımlı olması için) • n = 5: (1)! ≤ 2(0)! → 1 ≤ 2 ✓ • n = 6: (2)! ≤ 2(1)! → 2 ≤ 2 ✓ • n = 7: (3)! ≤ 2(2)! → 6 ≤ 4 ✗ • n ∈ {5, 6} • Toplam = 5 + 6 = 11 Sonuç: 11.

5. Asal çarpanları sadece 3 ve 5 olan iki basamaklı en büyük sayı kaçtır?

• A) 90
• B) 45
• C) 99
• D) 75 ✓

Deneme yoluyla bulunur. • 3 × 5 = 15 • 3² × 5 = 45 • 3 × 5² = 75 • 3³ × 5 = 135 (3 basamaklı) Sonuç: 75.

6. x ve y birer doğal sayı olmak üzere, y! = 210 × x! olduğuna göre, y'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

• A) 202
• B) 212
• C) 222
• D) 232 ✓

• 210 = 2 × 3 × 5 × 7 • y! = 7! veya 15! veya 210! olabilir • y = 7: 7! = 5040 = 210 × 24 = 210 × 4! ✓ • y = 15: 15! = 210 × 14! ✓ • y = 210: 210! = 210 × 209! ✓ • Toplam = 7 + 15 + 210 = 232 Sonuç: 232.

7. 108 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2³ × 3²
• B) 2² × 3²
• C) 2 × 3³
• D) 2² × 3³ ✓

Bölme işlemi yapılır. • 108 = 4 × 27 • 2² × 3³ Sonuç: 2² × 3³.

8. Verilen bir A pozitif tam sayısı A = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... × pᵗ biçiminde asal çarpanlarına ayrılıyor. Asal çarpanların üsleri sırasıyla yazılarak bu sayının izi oluşturuluyor. Buna göre izi 3021 olan sayı kaçtır?

• A) 2800
• B) 2100
• C) 1700
• D) 1400 ✓

• İz 3021 → üsler: 3, 0, 2, 1 • A = 2³ × 3⁰ × 5² × 7¹ • A = 8 × 1 × 25 × 7 • A = 8 × 25 × 7 = 200 × 7 = 1400 Sonuç: 1400.

9. 12 + 18 + 24 + ... + 66 toplamının asal bölenleri toplamı kaçtır?

• A) 13
• B) 15
• C) 18
• D) 23 ✓

• Toplam = 6(2 + 3 + 4 + ... + 11) • 2'den 11'e kadar 10 terim: 10 × 13 / 2 = 65 • Toplam = 6 × 65 = 390 = 2 × 3 × 5 × 13 • Asal bölenler toplamı: 2 + 3 + 5 + 13 = 23 Sonuç: 23.

10. x ve y aralarında asal pozitif sayılardır. 25x² = 9(x² + y²) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

• A) 9
• B) 8
• C) 7 ✓
• D) 6

• 25x² = 9x² + 9y² • 16x² = 9y² • (4x)² = (3y)² • 4x = 3y → x/y = 3/4 • Aralarında asal olduğundan x = 3, y = 4 • x + y = 3 + 4 = 7 Sonuç: 7.

11. 35! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

• A) 6
• B) 7
• C) 8 ✓
• D) 9

• Sıfır sayısı = min(2 çarpanı sayısı, 5 çarpanı sayısı) • 5 çarpanı sayısı: ⌊35/5⌋ + ⌊35/25⌋ = 7 + 1 = 8 • 2 çarpanı daha fazla olduğundan sıfır sayısı = 8 Sonuç: 8.

12. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere, A = 34! / (3ᵐ × 5ⁿ) olduğuna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer için (m + n) toplamı kaçtır?

• A) 3
• B) 5
• C) 7
• D) 22 ✓

• 34!'de 3 çarpanı: ⌊34/3⌋ + ⌊34/9⌋ + ⌊34/27⌋ = 11 + 3 + 1 = 15 • 34!'de 5 çarpanı: ⌊34/5⌋ + ⌊34/25⌋ = 6 + 1 = 7 • A en küçük için m = 15, n = 7 • m + n = 15 + 7 = 22 Sonuç: 22.

13. x = 6! × 9!, y = 5! × 10!, z = 4! × 11! olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

• A) z > x > y
• B) z > y > x ✓
• C) x > y > z
• D) x > z > y

• x/y = (6!×9!) / (5!×10!) = 6/(10×9!) × 9! = 6/10 = 3/5 • y/z = (5!×10!) / (4!×11!) = 5/(11×10!) × 10! = 5/11 • 3/5 = 0.6, 5/11 ≈ 0.45 • x < y < z → z > y > x Sonuç: z > y > x.

14. A = 2² × 3³ × 7 sayısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

• A) 4 tane asal böleni vardır
• B) 36 tane pozitif tam sayı böleni vardır
• C) 48 tane tam sayı böleni vardır ✓
• D) 32 tane asal olmayan pozitif tam sayı böleni vardır

• A = 2² × 3³ × 7 • Asal bölen sayısı: 3 tane (2, 3, 7) • Pozitif bölen sayısı = (2+1)(3+1)(1+1) = 3 × 4 × 2 = 24 • Tam sayı böleni = 2 × 24 = 48 • Asal olmayan pozitif bölen = 24 - 3 = 21 Sonuç: 48 tane tam sayı böleni vardır.

15. 504 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 1200
• B) 1440
• C) 1560 ✓
• D) 1680

• 504 = 2³ × 3² × 7 • Bölenler toplamı = (2⁴-1)/(2-1) × (3³-1)/(3-1) × (7²-1)/(7-1) • = 15 × 13 × 8 = 15 × 104 = 1560 Sonuç: 1560.

16. x ve y birer pozitif tam sayıdır. 1080/x = y² olduğuna göre, x en az kaçtır?

• A) 35
• B) 30 ✓
• C) 27
• D) 15

• 1080 = 2³ × 3³ × 5 • y² tam kare olması için x, 1080'i tam kareye tamamlamalı • 1080/x = 2² × 3² olması için x = 2 × 3 × 5 = 30 • x = 30 için 1080/30 = 36 = 6² Sonuç: 30.

17. 125 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 5²
• B) 5 × 25
• C) 2 × 5²
• D) 5³ ✓

Üslü sayı kuralı. • 125 = 5 × 5 × 5 • 5³ Sonuç: 5³.

18. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, 180 = n × 6 ifadesinde n'nin pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 72 ✓
• B) 150
• C) 176
• D) 186

• 180 = n × 6 → n = 180/6 = 30 • 30 = 2 × 3 × 5 • Bölenler toplamı formülü: (1+p₁+p₁²+...)(1+p₂+...) • = (1+2)(1+3)(1+5) = 3 × 4 × 6 = 72 Sonuç: 72.

19. 2² × 3 × 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayı kaçtır?

• A) 30
• B) 120
• C) 90
• D) 60 ✓

İşlem yapılır. • 4 × 3 × 5 • 12 × 5 = 60 Sonuç: 60.

20. 840 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi hem 4'ün hem de 6'nın katıdır?

• A) 6
• B) 8 ✓
• C) 9
• D) 12

• 840 = 2³ × 3 × 5 × 7 • 4 = 2², 6 = 2 × 3 • Hem 4 hem 6'nın katı olan sayılar = OKEK(4,6) = 12'nin katlarıdır • 12 = 2² × 3 • 12'nin katı olan bölenler: 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ (a ≥ 2, b ≥ 1) • a ∈ {2, 3} → 2 seçenek • b ∈ {1} → 1 seçenek • c ∈ {0, 1} → 2 seçenek • d ∈ {0, 1} → 2 seçenek • Toplam bölen sayısı = 2 × 1 × 2 × 2 = 8 Sonuç: 8.

21. 210 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?

• A) 3
• B) 2
• C) 4 ✓
• D) 5

Çarpanlara ayrılır. • 210 = 21 × 10 • (3 × 7) × (2 × 5) • Asallar: 2, 3, 5, 7 Sonuç: 4.

22. 96 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?

• A) 2⁴ × 3
• B) 2³ × 3²
• C) 2⁵ × 3 ✓
• D) 2 × 3⁴

Bölme işlemi yapılır. • 96 = 32 × 3 • 32 = 2⁵ Sonuç: 2⁵ × 3.

23. n! + (n + 1)! / (n + 1)! - n! = 4/3 olduğuna göre, n kaçtır?

• A) 4
• B) 6 ✓
• C) 8
• D) 10

• Pay: n! + (n+1)! = n! + (n+1)n! = n!(n+2) • Payda: (n+1)! - n! = (n+1)n! - n! = n!×n • Oran = n!(n+2) / (n!×n) = (n+2)/n • (n+2)/n = 4/3 • 3(n+2) = 4n • 3n + 6 = 4n • n = 6 Sonuç: 6.

24. 64 sayısının asal çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2 ✓
• B) 3
• C) 5
• D) 7

Üslü sayı özelliği. • 64 = 2⁶ • Sadece 2 tabanı var. Sonuç: 2.

25. 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2 × 3² × 5²
• B) 2² × 3² × 5 ✓
• C) 2³ × 3 × 5
• D) 2 × 3 × 5

Bölme işlemi yapılır. • 180 = 18 × 10 • (2 × 3²) × (2 × 5) • 2² × 3² × 5 Sonuç: 2² × 3² × 5.