Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 1

1. Bir torbada bulunan sarı topların sayısı kırmızı topların sayısının 2 katı kadardır. Torbadan geri atılmaksızın art arda iki top çekiliyor. Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığı 10/21 olarak hesaplanıyor. Buna göre, başlangıçta torbada kaç tane top vardır?

• A) 6
• B) 9
• C) 12
• D) 15 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Kırmızı sayısı x ise Sarı sayısı 2x'tir. Toplam top 3x. 2. Farklı renk olma durumları: (Sarı-Kırmızı) veya (Kırmızı-Sarı). 3. Olasılık denklemi: [ (2x/3x) * (x/(3x-1)) ] + [ (x/3x) * (2x/(3x-1)) ] = 10/21. 4. İşlem: 2 * [ (2x^2) / (3x*(3x-1)) ] = 10/21 => (4x) / (3*(3x-1)) = 10/21. 5. Sadeleştirme: (4x) / (3x-1) = 10/7 => 28x = 30x - 10 => 2x = 10 => x = 5. 6. Toplam top: 3 * 5 = 15.

2. Bir kutuda 4 sağlam, 2 bozuk ampul vardır. Rastgele seçilen 2 ampulden en az birinin bozuk olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/5
• B) 3/5 ✓
• C) 4/15
• D) 8/15

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tümleyen olasılık. 2. 1 - P(İkisi de Sağlam) 3. 1 - C(4,2)/C(6,2) 4. 1 - 6/15 = 9/15 = 3/5 5. Sonuç: 3/5.

3. Bir madeni para 4 kez atılıyor. 2 yazı 2 tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 3/8 ✓
• B) 1/4
• C) 1/2
• D) 5/8

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tekrarlı permütasyon ve olasılık. 2. Sıralama: 4!/(2!2!) = 6 3. Toplam: 2⁴ = 16 4. 6/16 = 3/8 5. Sonuç: 3/8.

4. 4 evli çift arasından seçilecek 2 kişinin birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 1/7 ✓
• D) 1/14

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 4 evli çift toplam 8 kişidir. 2. Tüm durumlar (8 kişiden 2 seçim): C(8, 2) = 28. 3. İstenen durum (eş olan bir çift seçilmesi): 4 çift olduğu için 4 durum. 4. Olasılık: 4 / 28 = 1/7.

5. Küp şeklindeki bir zar atıldığında alt yüzüne gelen sayının asal olması olasılığı kaçtır?

• A) 1/6
• B) 1/3
• C) 1/2 ✓
• D) 2/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bir zarda toplam 6 yüz vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Asal sayılar: {2, 3, 5}. 3. Asal sayı gelme durumu sayısı: 3. 4. Olasılık: 3/6 = 1/2.

6. Bir torbada 5 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Rastgele çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

• A) 15/28 ✓
• B) 15/56
• C) 13/28
• D) 1/2

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam bilye sayısı: 8. 2. Tüm durumlar (8 bilyeden 2 seçim): C(8, 2) = (8*7)/2 = 28. 3. İstenen durum (1 kırmızı ve 1 beyaz): C(5, 1) * C(3, 1) = 5 * 3 = 15. 4. Olasılık: 15/28.

7. Bir çift zar atıldığında birinci zarın üst yüzündeki rakamın tek ve ikincisinin de 5 gelme olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 2/3
• D) 1/12 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 1. Tek (1,3,5) -> 3/6 = 1/2. 2. 5 gelme -> 1/6. 1/2 * 1/6 = 1/12.

8. İki zar atıldığında gelen sayıların çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/2
• C) 3/4
• D) 1/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. İki sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması gerekir. 2. Bir zarda tek gelme olasılığı: {1, 3, 5} / {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 3/6 = 1/2. 3. İki zarın da tek gelme olasılığı: (1/2) * (1/2) = 1/4.

9. Bir zar atıldığında zarın üst yüzeyindeki sayının çift sayı veya 4'ten küçük bir sayı olma olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/3
• C) 5/6 ✓
• D) 1/6

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Çift (2,4,6). <4 (1,2,3). Birleşim: {1,2,3,4,6}. 5 durum. 5/6.

10. İçinde 4 kırmızı, 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan iki bilye çekildiğinde, ilkinin beyaz ikincisinin kırmızı olma olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 3/7
• D) 2/7 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Torbadaki toplam top sayısı: 4 + 4 = 8. 2. İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı: 4/8. 3. Top geri atılmadığı için geriye 7 top kalır. 4. Kalan 7 top arasından kırmızı çekme olasılığı: 4/7. 5. Bu iki bağımsız olayın olasılıkları çarpılır: (4/8) × (4/7) = 1/2 × 4/7 = 2/7.

11. Bir çift zar aynı anda atılıyor. Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine göre, zarların toplamının tek sayı olma olasılığı nedir?

• A) 4/11
• B) 5/11
• C) 6/11 ✓
• D) 7/11

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Birinin 4 geldiği 11 durum: (4,1),(1,4),(4,2),(2,4),(4,3),(3,4),(4,4),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4). Toplamın tek olduğu (4,1),(1,4),(4,3),(3,4),(4,5),(5,4) -> 6 durum. 6/11.

12. Özdeş 3 madeni 1 TL üç farklı kutuya dağıtılıyor. Bu üç madeni paranın aynı kutuda olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/10
• B) 3/10 ✓
• C) 2/5
• D) 1/4

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Özdeş n tane nesnenin r tane kutuya dağılım sayısı (Tekrarlı Kombinasyon): C(n+r-1, r-1). 2. Burada n=3, r=3. Dağılım sayısı: C(3+3-1, 3-1) = C(5, 2) = 10 (Örnek uzay). 3. İstenen durum (Aynı kutuda olma): (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3) olmak üzere 3 durumdur. 4. Olasılık = 3/10.

13. Bir torbada 1'den 6'ya kadar numaralı altı top bulunmaktadır. Torbadan bir top alındığında üzerindeki numaranın çift veya 2 olma olasılığı nedir?

• A) 1/2 ✓
• B) 1/3
• C) 1/4
• D) 2/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Çift (2,4,6) -> 3 durum. 2 zaten çift. 3/6 = 1/2.

14. Hilesiz iki zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

• A) 5/36 ✓
• B) 1/6
• C) 1/9
• D) 4/36

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Durumlar sayılır. 2. (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) -> 5 durum 3. 5/36 4. Sonuç: 5/36.

15. Bir torbada 4 sarı ve 5 mavi top vardır. Torbadan üç top çekildiğinde birincinin mavi, ikincinin sarı ve üçüncünün mavi olma olasılığı nedir?

• A) 10/47
• B) 5/63
• C) 10/63 ✓
• D) 10/28

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 1. Mavi: 5/9, 2. Sarı: 4/8, 3. Mavi: 4/7. 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/63.

16. Bir torbada 4 kırmızı, 3 yeşil ve 2 mavi top vardır. Torbadan rastgele bir top çekildiğinde, yeşil bir top çekme olasılığı nedir?

• A) 3/9
• B) 1/3 ✓
• C) 3/10
• D) 2/9

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. Yeşil: 3, Toplam: 9 3. 3/9 4. Sadeleştirme: 1/3 5. Sonuç: 1/3.

17. Bir hedefi vurma olasılığı 1/5 olan bir atıcının yaptığı iki atış sonunda hedefi en az bir kez vurma olasılığı kaçtır?

• A) 1/25
• B) 4/25
• C) 9/25 ✓
• D) 16/25

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 'En az bir kez vurma' olasılığını bulmak için, hedefe hiç isabet ettirememe olasılığını tümden çıkarırız. 2. Vuramama olasılığı: 1 - 1/5 = 4/5. 3. İki atışta da vuramama olasılığı: 4/5 × 4/5 = 16/25. 4. En az bir kez vurma olasılığı: 1 - 16/25 = 9/25.

18. Bir kutuda, birden sekize kadar numaralı bilardo topları vardır. Kutudan bir top alındığında üzerindeki numaranın 3'ten büyük veya 1 olma olasılığı nedir?

• A) 2/3
• B) 1/4
• C) 5/8
• D) 3/4 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. >3 (4,5,6,7,8) -> 5 durum. 1 olma -> 1 durum. Toplam 6 durum. 6/8 = 3/4.

19. Yener ile Özgül 1'den 12'ye kadar tam sayılarla numaralandırılmış 12 topun bulunduğu torbadan ikişer tane top çekiyorlar. Yener'in çektiği topların numaraları toplamı 13'tür. Özgül'ün çektiği topların numaraları çarpımı, Yener'in çektiği topların numaraları çarpımına eşittir. Buna göre çekilen dört topun numaraları toplamı kaç farklı değer alır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5 ✓
• D) 6

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Yener'in topları toplamı 13 ise olası çiftler: (1,12), (2,11), (3,10), (4,9), (5,8), (6,7). 2. Bu çiftlerin çarpımları sırasıyla: 12, 22, 30, 36, 40, 42. 3. Özgül'ün toplarının çarpımı bunlardan birine eşit olmalı: 4. - Çarpım 12 ise: (3,4) veya (2,6). (Yener 1,12 iken) 5. - Çarpım 30 ise: (5,6). (Yener 3,10 iken) 6. - Çarpım 36 ise: (3,12). (Yener 4,9 iken) 7. - Çarpım 40 ise: (4,10). (Yener 5,8 iken) 8. Oluşan 4'lü grupların toplamlarını bulalım: 9. - (1,12,3,4) = 20 10. - (1,12,2,6) = 21 11. - (3,10,5,6) = 24 12. - (4,9,3,12) = 28 13. - (5,8,4,10) = 27 14. Toplamda 5 farklı değer oluşur.

20. Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor. İlk atışta tura geldiği bilindiğine göre, en az bir kez yazı gelme olasılığı nedir?

• A) 3/4 ✓
• B) 1/2
• C) 1/3
• D) 5/8

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Kalan 2 atışta {TT, TY, YT, YY} durumları var. En az bir yazı {TY, YT, YY} -> 3/4.

21. Bir torbada özdeş 2 mavi, 3 kırmızı ve 6 yeşil top vardır. Bu torbada art arda çekilen 3 toptan birincinin yeşil, ikincinin mavi, üçüncünün kırmızı olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/55 ✓
• B) 3/55
• C) 4/55
• D) 1/110

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 2 + 3 + 6 = 11. 2. Birincinin Yeşil olma olasılığı: 6/11. 3. İkincinin Mavi olma olasılığı (10 top kaldı): 2/10. 4. Üçüncünün Kırmızı olma olasılığı (9 top kaldı): 3/9. 5. Olasılıklar çarpılır: (6/11) * (2/10) * (3/9) = 36 / 990. 6. Sadeleştirme (18 ile): 2/55.

22. Hilesiz bir çift zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayılar toplamının 8'den büyük olma olasılığı nedir?

• A) 2/5
• B) 5/18 ✓
• C) 1/6
• D) 5/9

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. İki zar atıldığında toplam 36 olası durum vardır. 2. Toplamı 8'den büyük olan (9, 10, 11, 12) durumları listeleyelim: 3. Toplam 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) -> 4 durum 4. Toplam 10: (4,6), (5,5), (6,4) -> 3 durum 5. Toplam 11: (5,6), (6,5) -> 2 durum; Toplam 12: (6,6) -> 1 durum. 6. Toplam istenen durum sayısı: 4+3+2+1 = 10. Olasılık: 10/36 = 5/18.

23. 5 farklı matematik kitabı ve 4 farklı fizik kitabı bir rafa diziliyor. Fizik kitaplarının bir arada olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/21 ✓
• B) 1/35
• C) 1/126
• D) 1/14

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam 9 kitabın rastgele dizilme sayısı: 9!. 2. Fizik kitaplarını paketleyelim (bir kitap gibi görelim). Geriye 5 matematik + 1 paket fizik kitabı kalır. 3. Bu 6 elemanın dizilme sayısı: 6!. 4. Fizik kitaplarının kendi içindeki dizilimleri: 4!. 5. İstenen durum: 6! * 4!. 6. Olasılık: (6! * 4!) / 9! = (6! * 24) / (9 * 8 * 7 * 6!) = 24 / 504 = 1/21.

24. Bir madeni para ve bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın 3'ten küçük gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/4
• C) 1/3
• D) 1/12

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bağımsız olaylar. 2. P(Tura) = 1/2 3. P(<3) = 2/6 = 1/3 4. 1/2 × 1/3 = 1/6 5. Sonuç: 1/6.

25. Bir sınıfta 7 kız ve 3 erkek öğrenci var. Rastgele seçilen iki öğrencinin de kız olma olasılığı nedir?

• A) 7/15 ✓
• B) 2/5
• C) 1/5
• D) 7/10

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam öğrenci sayısı: 10. 2. Tüm durumlar (10 kişiden 2 seçim): C(10, 2) = (10 * 9) / 2 = 45. 3. İstenen durum (7 kızdan 2'sinin seçilmesi): C(7, 2) = (7 * 6) / 2 = 21. 4. Olasılık: 21 / 45. 5. Sadeleştirme: (21/3) / (45/3) = 7/15.