Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 2

1. Bir torbada bulunan 2 beyaz, 4 siyah ve 4 kırmızı toptan art arda çekilen geri atılmadan üç kez siyah top çekme olasılığı nedir?

• A) 1/20
• B) 1/30 ✓
• C) 1/40
• D) 1/50

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 1. Siyah: 4/10, 2. Siyah: 3/9, 3. Siyah: 2/8. 4/10 * 3/9 * 2/8 = 1/30.

2. Üç zar aynı anda atıldığında üst yüze gelen sayılar çarpımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/8
• B) 1/2
• C) 5/8
• D) 7/8 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Çarpımın çift olması için en az bir zarın çift gelmesi yeterlidir. Bu, 'tüm zarların tek gelmesi' durumunun zıttıdır. 2. Her darda tek gelme olasılığı 1/2'dir. Üç zarın da tek gelme olasılığı: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8. 3. En az birinin çift (çarpımın çift) olma olasılığı: 1 - 1/8 = 7/8.

3. Üç zar aynı anda atıldığında üst yüze gelen sayılar toplamının 16 olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/108
• B) 5/216
• C) 1/36 ✓
• D) 5/108

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. (5, 5, 6) durumu 3!/2! = 3 şekilde sıralanır. (6, 6, 4) durumu yine 3 şekilde sıralanır. Toplam 6 istenen durum. 6/216 = 1/36.

4. Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz top vardır. Torbadan 2 top rastgele çekiliyor. Her iki topun da kırmızı olma olasılığı nedir?

• A) 3/5
• B) 1/2
• C) 1/3 ✓
• D) 1/4

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Ardışık olaylar (Geri koymadan). 2. 1. Kırmızı: 6/10 3. 2. Kırmızı: 5/9 4. (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3 5. Sonuç: 1/3.

5. İki madeni para ve bir çift zar atılıyor. Hem paraların hem de zarların aynı gelme olasılığı nedir?

• A) 1/4
• B) 1/8
• C) 1/12 ✓
• D) 7/24

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Paraların aynı (YY, TT): 2/4 = 1/2. Zarların aynı (1,1..6,6): 6/36 = 1/6. 1/2 * 1/6 = 1/12.

6. Ürünlerin %40'ı A fabrikasında, geri kalanı B fabrikasında üretilmektedir. A fabrikasının ürettiği ürünlerin %10'u, B fabrikasının ürettiği ürünlerin %5'i hatalıdır. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olduğu bilindiğine göre, A fabrikasında üretilmiş olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/7
• B) 2/7
• C) 4/7 ✓
• D) 1/10

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam ürüne 100 diyelim. 2. A ürünü: 40 adet. Hatalı A: 40 * %10 = 4 adet. 3. B ürünü: 60 adet. Hatalı B: 60 * %5 = 3 adet. 4. Toplam hatalı ürün sayısı: 4 + 3 = 7. 5. Hatalı ürünün A'dan olma olasılığı (Bayes kuralı sade hali): A'nın hatası / Toplam hata = 4/7.

7. Bir zar iki kez atılıyor. Toplam 7 elde edilme olasılığı nedir?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/12
• C) 1/9
• D) 1/36

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm durumlar (iki zar): 6 * 6 = 36. 2. Toplamı 7 olan durumlar: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). 3. İstenen durum sayısı: 6. 4. Olasılık: 6 / 36 = 1/6.

8. Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Torbadan rastgele bir top çekildiğinde, kırmızı bir top çekilme olasılığı nedir?

• A) 3/8 ✓
• B) 5/8
• C) 1/2
• D) 1/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. İstenen: 3 (Kırmızı) 3. Toplam: 3 + 5 = 8 4. Sonuç: 3/8.

9. Bir torbada 5 siyah, 4 beyaz top vardır. Torbadan rastgele çekilen iki toptan birinin siyah diğerinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/9
• B) 4/9
• C) 5/9 ✓
• D) 2/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 5 + 4 = 9. 2. Tüm durumlar (9 toptan 2 seçim): C(9, 2) = (9 * 8) / 2 = 36. 3. İstenen durum (1 siyah ve 1 beyaz): C(5, 1) * C(4, 1) = 5 * 4 = 20. 4. Olasılık: 20 / 36. 5. Sadeleştirme (4 ile): 5/9.

10. Bir zar ve bir yazı tura aynı anda atılıyor. Zarın 4 gelmesi ve yazı tura sonucunun yazı gelmesi olasılığı nedir?

• A) 1/2
• B) 1/4
• C) 1/6
• D) 1/12 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bağımsız olayların çarpımı. 2. P(4) = 1/6 3. P(Yazı) = 1/2 4. (1/6) × (1/2) = 1/12 5. Sonuç: 1/12.

11. Bir futbol takımının bir maçı kazanma olasılığı 1/3, kaybetme olasılığı 1/2 ise berabere kalma olasılığı kaçtır?

• A) 1/6 ✓
• B) 1/5
• C) 1/3
• D) 1/2

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tümleyen olasılık. 2. 1 - (1/3 + 1/2) 3. 1 - 5/6 = 1/6 4. Sonuç: 1/6.

12. Bir madeni para 3 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/8
• B) 3/8
• C) 5/8
• D) 7/8 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. En az bir tura gelmesi, 'hiç tura gelmemesi' durumunun (tamamı yazı) zıttıdır. 2. Tüm durumların sayısı: 2³ = 8. 3. Hiç tura gelmemesi durumu (Y, Y, Y): 1 tane. 4. Hiç tura gelmeme olasılığı: 1/8. 5. En az bir tura gelme olasılığı: 1 - 1/8 = 7/8.

13. Bir zar atıldığında gelen sayının asal sayı veya tek sayı olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 2/3 ✓
• C) 5/6
• D) 1

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bir zardaki sayılar: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Asal sayılar kümesi: {2, 3, 5}. 3. Tek sayılar kümesi: {1, 3, 5}. 4. İstenen durum (Asal veya Tek) birleşim kümesidir: {1, 2, 3, 5}. 5. Toplam 4 istenen durum vardır; olasılık ise 4/6 = 2/3'tür.

14. Bir hedefi A, B ve C avcılarının vurma olasılığı sırasıyla 2/5, 1/4 ve 3/7'dir. Avcılar hedefe birer kez ateş ediyor. Buna göre, hedefi sadece bir avcının vurma olasılığı kaçtır?

• A) 7/20
• B) 2/5
• C) 9/20 ✓
• D) 11/20

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Vurma(V) ve Vuramama(X) durumlarını hesaplayalım: 2. A: V=2/5, X=3/5; B: V=1/4, X=3/4; C: V=3/7, X=4/7. 3. Sadece birinin vurduğu 3 durum vardır: 4. a) A vurdu, B ve C vuramadı: (2/5) * (3/4) * (4/7) = 24 / 140. 5. b) B vurdu, A ve C vuramadı: (3/5) * (1/4) * (4/7) = 12 / 140. 6. c) C vurdu, A ve B vuramadı: (3/5) * (3/4) * (3/7) = 27 / 140. 7. Toplam = (24+12+27) / 140 = 63 / 140. 8. Sadeleştirme (7 ile): 9/20.

15. Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı bilye vardır. Geri konulmamak şartıyla art arda çekilen 2 bilyenin de mavi olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/7 ✓
• B) 2/7
• C) 3/7
• D) 9/49

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Ardışık olasılık. 2. (3/7) × (2/6) 3. 6/42 = 1/7 4. Sonuç: 1/7.

16. Bir torbada 1'den 8'e kadar numaralı sekiz top bulunmaktadır. Torbadan bir top çekildiğinde numaranın tek veya 4 olma olasılığı nedir?

• A) 3/4
• B) 2/3
• C) 1/3
• D) 5/8 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tek (1,3,5,7) -> 4 durum. 4 olma -> 1 durum. Toplam 5 durum. 5/8.

17. 5 kişi yan yana fotoğraf çektirecektir. Belirli iki kişinin yan yana olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/5
• B) 2/5 ✓
• C) 3/5
• D) 4/5

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Tüm durumlar (5 kişinin dizilişi): 5! = 120. 2. İstenen durum: Yan yana olacak iki kişiyi 1 paket (bir kişi gibi) kabul edelim. Geriye (5-2+1) = 4 kişi kalır. 3. Bu 4 kişinin dizilişi: 4! = 24. 4. Paketteki iki kişinin kendi arasındaki yer değişimi: 2! = 2. 5. İstenen toplam durum: 24 * 2 = 48. 6. Olasılık: 48 / 120 = 2/5.

18. Bir deste (52 kart) iskambil kartından bir karo kart seçilme olasılığı nedir?

• A) 1/4 ✓
• B) 1/13
• C) 1/2
• D) 3/4

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Olasılık hesabı yapılır. 2. Karo sayısı: 13, Toplam: 52 3. 13/52 4. Sadeleştirme: 1/4 5. Sonuç: 1/4.

19. Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top vardır. Çekilen bir topun numarasının çift veya 3'ün katı olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/5
• B) 7/10 ✓
• C) 4/5
• D) 1/2

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Örnek uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} -> 10 eleman. 2. Çift sayılar (A): {2, 4, 6, 8, 10} -> s(A) = 5. 3. 3'ün katları (B): {3, 6, 9} -> s(B) = 3. 4. Hem çift hem 3'ün katı olanlar (A∩B): {6} -> s(A∩B) = 1. 5. Birleşim formülü: s(AUB) = s(A) + s(B) - s(A∩B) = 5 + 3 - 1 = 7. 6. Olasılık: 7/10.

20. Hileli ve hilesiz birer para aynı anda atılıyor. Hileli paranın tura gelme olasılığı 1/4 olduğuna göre, en az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?

• A) 3/8
• B) 5/8
• C) 7/8 ✓
• D) 1/2

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. En az bir yazı = 1 - P(İkisi de Tura). P(T_hileli) = 1/4, P(T_hilesiz) = 1/2. 1 - (1/4 * 1/2) = 7/8.

21. Bir zar atıldığında, tek sayı gelme olasılığı nedir?

• A) 1/2 ✓
• B) 1/3
• C) 1/6
• D) 2/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. İstenen durum sayısı / Tüm durum sayısı. 2. Tek sayılar: {1, 3, 5} (3 adet) 3. Tüm durumlar: 6 adet 4. 3/6 = 1/2 5. Sonuç: 1/2.

22. Bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/2
• B) 1/3 ✓
• C) 1/6
• D) 2/3

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Bir zarda 6 olasılık vardır: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. 4'ten büyük olan sayılar: {5, 6} (2 adet). 3. Olasılık = İstenen durum / Tüm durumlar = 2/6 = 1/3.

23. Bir kutuda 3 sarı, 2 lacivert top vardır. Torbaya geri atılmadan çekilen toplardan ilkinin sarı ikincinin lacivert olma olasılığı kaçtır?

• A) 3/10 ✓
• B) 1/5
• C) 1/2
• D) 2/5

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Toplam top sayısı: 3 + 2 = 5. 2. Birinci topun sarı olma olasılığı: 3/5. 3. Geri bırakılmadığı için kalan top sayısı: 4. 4. Kalan toplar arasında lacivert sayısı: 2. 5. İkinci topun lacivert olma olasılığı: 2/4. 6. Olasılıklar çarpılır: (3/5) * (2/4) = 6/20 = 3/10.

24. 45567456 sayısının rakamlarıyla son iki basamağı 76 olan kaç farklı 8 basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 10
• B) 15
• C) 20
• D) 60 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. 7 ve 6 sonda sabit. Kalan 6 rakam (2 tane 4, 3 tane 5, 1 tane 6): 6! / (2! * 3!) = 60.

25. B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla rakamlar bir kez kullanılmak şartıyla kaç farklı dört basamaklı sayı yazılabilir?

• A) 200
• B) 300
• C) 600
• D) 720 ✓

Adım‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ adım çözüm: 1. Binler: 6 (0 hariç), Yüzler: 6, Onlar: 5, Birler: 4. 6 * 6 * 5 * 4 = 720.