Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık 4
P(5, 2) permütasyonunun değeri kaçtır?
Bu testteki tüm sorular ve cevapları (25 soru)
1. P(5, 2) permütasyonunun değeri kaçtır?
- A) 10
- B) 20 ✓
- C) 60
- D) 120
Adım adım çözüm: 1. Permütasyon formülü P(n, r) = n! / (n-r)! şeklindedir. 2. Kısa yoldan n'den başlayarak r tane sayıyı geri giderek çarparız. 3. P(5, 2) = 5 × 4 = 20.
2. 4 doktor ve 3 hemşire arasından en az bir doktorun bulunduğu 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde kurulabilir?
- A) 30
- B) 34 ✓
- C) 35
- D) 20
Adım adım çözüm: 1. Tüm durumlar (7 kişiden 3 seçim): C(7, 3) = (7*6*5) / (3*2*1) = 35. 2. İstenmeyen durum (hiç doktor olmaması, yani sadece hemşire seçilmesi): C(3, 3) = 1. 3. Sonuç: Tüm durumlar - İstenmeyen = 35 - 1 = 34.
3. 4 doktor ve 5 hemşire arasından, 2 doktor ve 3 hemşireden oluşan bir ilk yardım ekibi kurulacaktır. Bu ekip kaç farklı şekilde kurulabilir?
- A) 10
- B) 16
- C) 24
- D) 60 ✓
Adım adım çözüm: 1. 4 doktordan 2'sinin seçilmesi: C(4, 2) = (4 * 3) / 2 = 6. 2. 5 hemşireden 3'ünün seçilmesi: C(5, 3) = C(5, 2) = (5 * 4) / 2 = 10. 3. Toplam farklı ekip sayısı: 6 * 10 = 60.
4. A ve B bağımsız olaylar olmak üzere P(A)=1/2 ve P(B)=1/3 ise P(A ∩ B) kaçtır?
- A) 1/6 ✓
- B) 5/6
- C) 2/3
- D) 1/5
Adım adım çözüm: 1. A ve B bağımsız olaylar ise, bu olayların aynı anda gerçekleşme olasılığı kendi olasılıklarının çarpımına eşittir. 2. Formül: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). 3. Verilen değerlere göre: 1/2 × 1/3 = 1/6 bulunur.
5. C(6, 4) kombinasyonunun değeri kaçtır?
- A) 15 ✓
- B) 20
- C) 30
- D) 6
Adım adım çözüm: 1. C(n, r) = C(n, n-r) özelliğini kullanalım. 2. C(6, 4) = C(6, 6-4) = C(6, 2). 3. C(6, 2) = (6 * 5) / (2 * 1) = 30 / 2 = 15.
6. Bir çember üzerindeki 6 nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
- A) 15
- B) 20 ✓
- C) 30
- D) 120
Adım adım çözüm: 1. Üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi 3 noktayı birleştirmemiz gerekir. 2. Çember üzerindeki 6 noktadan herhangi 3'ünü seçme sayısını bulmalıyız. 3. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır: C(6, 3). 4. C(6, 3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20 farklı üçgen çizilebilir.
7. 5 arkadaş yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilirler?
- A) 24 ✓
- B) 30
- C) 45
- D) 60
Adım adım çözüm: 1. (5-1)! = 4! = 24.
8. Özdeş 3 mavi, 2 kırmızı boncuk düz bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir?
- A) 5
- B) 10 ✓
- C) 20
- D) 120
Adım adım çözüm: 1. Toplam boncuk sayısı: 5. 2. Tekrarlı permütasyon kullanılır: 5! / (3! * 2!). 3. Hesaplama: 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10.
9. Bir kitaplıkta bulunan birbirinden farklı 3 ders kitabı, 3 roman ve 2 çizgi roman aynı rafa cinslerine göre yerleştirilecektir. Bu şartlara göre kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir?
- A) 135
- B) 270
- C) 432 ✓
- D) 632
Adım adım çözüm: 1. Kitapları türlerine göre (gruplayarak) dizeceğiz. 3 ana tür olduğu için bu gruplar 3! farklı şekilde sıralanır. 2. Ayrıca her grup kendi içinde kendi kitapları arasında yer değiştirebilir: 3. Ders kitapları 3!, Romanlar 3! ve Çizgi romanlar 2! farklı şekilde dizilir. 4. Toplam diziliş: 3! × (3! × 3! × 2!) = 6 × (6 × 6 × 2) = 6 × 72 = 432.
10. 3 erkek ve 2 kız yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
- A) 24 ✓
- B) 120
- C) 12
- D) 48
Adım adım çözüm: 1. Dönel permütasyon. 2. (n-1)! 3. (5-1)! = 4! = 24 4. Sonuç: 24.
11. 12 kişilik bir basketbol takımından sahaya kaç farklı takım çıkartılabilir? (Basketbol 5 kişiyle oynanmaktadır.)
- A) 270
- B) 305
- C) 632
- D) 792 ✓
Adım adım çözüm: 1. C(12, 5) = 792.
12. 4 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebilir?
- A) 24 ✓
- B) 16
- C) 12
- D) 8
Adım adım çözüm: 1. Sıralama kuralı (Faktöriyel). 2. P(4, 4) = 4! 3. 4 × 3 × 2 × 1 = 24 4. Sonuç: 24.
13. 10 kişinin bulunduğu bir toplantıda herkes birbiriyle birer kez tokalaşıyor. Toplam kaç tokalaşma olur?
- A) 45 ✓
- B) 90
- C) 55
- D) 100
Adım adım çözüm: 1. Tokalaşma işlemi için 10 kişi arasından 2 kişilik gruplar seçilmelidir. 2. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır. 3. C(10, 2) = (10 * 9) / (2 * 1) = 90 / 2 = 45.
14. 5 arkadaş yan yana kaç farklı şekilde oturabilirler?
- A) 15
- B) 30
- C) 60
- D) 120 ✓
Adım adım çözüm: 1. n farklı nesnenin yan yana diziliş sayısı n! formülüyle bulunur. 2. Burada n = 5 olduğuna göre; 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
15. Bir sınıfta 5 öğrenci arasından 2 kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?
- A) 10 ✓
- B) 20
- C) 5
- D) 15
Adım adım çözüm: 1. n elemanlı bir kümeden r tane elemanın seçilmesi C(n, r) kombinasyonudur. 2. C(5, 2) = (5 * 4) / (2 * 1) = 20 / 2 = 10.
16. 5 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu olan biri 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde giyebilir?
- A) 8
- B) 15 ✓
- C) 12
- D) 125
Adım adım çözüm: 1. Çarpma kuralı. 2. 5 × 3 = 15 3. Sonuç: 15.
17. (x + y)⁵ açılımında kaç terim vardır?
- A) 4
- B) 5
- C) 6 ✓
- D) 7
Adım adım çözüm: 1. Binom açılımında (x + y)^n ifadesinin terim sayısı her zaman üssün 1 fazlasıdır. 2. Formül: n + 1 terim vardır. 3. Burada n = 5 olduğuna göre; 5 + 1 = 6 terim bulunur.
18. Dört kişilik bir aile, bir arabaya iki kişi önde ve diğer iki kişide arkada oturmak üzere kaç farklı şekilde binebilir?
- A) 12
- B) 15
- C) 20
- D) 24 ✓
Adım adım çözüm: 1. 4 kişilik bir ailenin her bir üyesi farklı bir koltuğa oturacaktır. 2. n kişinin düz bir sıraya diziliş sayısı n! ile hesaplanır. 3. Bu durumda 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 farklı şekilde oturabilirler.
19. Bir yarışmada 8 kişi arasından birinci, ikinci ve üçüncü seçilecektir. Kaç farklı sıralama yapılabilir?
- A) 336 ✓
- B) 56
- C) 120
- D) 168
Adım adım çözüm: 1. Sıralama (birinci, ikinci, üçüncü) önemli olduğu için permütasyon kullanılır. 2. P(8, 3) = 8 * 7 * 6. 3. Hesaplama: 56 * 6 = 336.
20. Aralarında Mesut ve Zeynep'in de bulunduğu 7 kişi düz bir sıraya yan yana oturacaklardır. Sıranın iki ucunda (başında ve sonunda) Mesut ile Zeynep'in bulunması koşuluyla bu kişiler kaç farklı şekilde oturabilirler?
- A) 120
- B) 144
- C) 162
- D) 240 ✓
Adım adım çözüm: 1. Uçlardaki iki koltuğa Mesut ve Zeynep oturacaktır (Mesut başta - Zeynep sonda VEYA Zeynep başta - Mesut sonda olabilir). Kendi aralarında 2! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilirler. 2. Aradaki 5 koltuğa kalan 5 kişi 5! = 120 farklı şekilde dizilir. 3. Toplam farklı diziliş sayısı: 2! × 5! = 2 × 120 = 240.
21. Bir sınıfta 10 öğrenci var. Bu öğrencilerden 3'ü kaç farklı şekilde seçilebilir?
- A) 120 ✓
- B) 45
- C) 80
- D) 60
Adım adım çözüm: 1. Seçim işlemi olduğu için kombinasyon (C) kullanılır. 2. C(10, 3) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1). 3. Hesaplama: 720 / 6 = 120.
22. 5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?
- A) 5
- B) 10
- C) 32 ✓
- D) 25
Adım adım çözüm: 1. Sınava katılan her bir kişi için 2 farklı sonuç (Geçti veya Kaldı) mümkündür. 2. 5 kişi için bu durumların toplam sayısı çarpma kuralı ile hesaplanır. 3. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32 farklı sonuç oluşabilir.
23. 3 farklı mektup, 4 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?
- A) 12
- B) 64 ✓
- C) 81
- D) 24
Adım adım çözüm: 1. Birinci mektup için 4 seçenek (posta kutusu) vardır. 2. İkinci mektup için yine 4 seçenek vardır. 3. Üçüncü mektup için yine 4 seçenek vardır. 4. Toplam seçenek sayısı: 4 * 4 * 4 = 64.
24. 6 farklı kitap bir rafa dizilecektir. Matematik ve Fizik kitaplarının uçlarda olması şartıyla kaç farklı dizilim yapılabilir?
- A) 24
- B) 48 ✓
- C) 96
- D) 120
Adım adım çözüm: 1. Matematik ve Fizik kitapları uçlara yerleşir. İki uç olduğu için 2! = 2 farklı yer değişimleri vardır. 2. Aradaki 4 kitap serbestçe dizilir: 4! = 24. 3. Toplam dizilim sayısı: 2 * 24 = 48.
25. C(n, 2) = 21 ise n kaçtır?
- A) 6
- B) 7 ✓
- C) 8
- D) 9
Adım adım çözüm: 1. Kombinasyon formülünü açalım: n! / (2! * (n-2)!) = 21. 2. n * (n-1) / 2 = 21. 3. n * (n-1) = 42. 4. Çarpımları 42 olan ardışık iki pozitif sayı 7 ve 6'dır. 5. Buradan n = 7 bulunur.