Asal Çarpanlara Ayırma 4
(7! - 6!) / (6! - 5!) işleminin sonucu kaçtır?
Bu testteki tüm sorular ve cevapları (18 soru)
1. (7! - 6!) / (6! - 5!) işleminin sonucu kaçtır?
- A) 36/5 ✓
- B) 8
- C) 17/2
- D) 19/2
• Pay: 7! - 6! = 6!(7 - 1) = 6! × 6 • Payda: 6! - 5! = 5!(6 - 1) = 5! × 5 • Sonuç = (6! × 6) / (5! × 5) = (6 × 5! × 6) / (5! × 5) = 36/5 = 7.2 Doğru cevap: 36/5
2. n! × 100 + 5! = (n + 3)! olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 1
- B) 2
- C) 3 ✓
- D) 4
• n! × 100 + 120 = (n+3)! • n = 3 deneyelim: 6 × 100 + 120 = 720 = 6! ✓ • (3+3)! = 6! = 720 ✓ Sonuç: 3.
3. (n - 4)! ≤ 2 × (n - 5)! eşitsizliğini sağlayan n değerlerinin toplamı kaçtır?
- A) 9
- B) 10
- C) 11 ✓
- D) 12
• (n-4)! ≤ 2(n-5)! • (n-4)(n-5)! ≤ 2(n-5)! • n - 4 ≤ 2 • n ≤ 6 • n ≥ 5 olmalı (faktöriyel tanımlı olması için) • n = 5: (1)! ≤ 2(0)! → 1 ≤ 2 ✓ • n = 6: (2)! ≤ 2(1)! → 2 ≤ 2 ✓ • n = 7: (3)! ≤ 2(2)! → 6 ≤ 4 ✗ • n ∈ {5, 6} • Toplam = 5 + 6 = 11 Sonuç: 11.
4. Asal çarpanları sadece 3 ve 5 olan iki basamaklı en büyük sayı kaçtır?
- A) 90
- B) 45
- C) 99
- D) 75 ✓
Deneme yoluyla bulunur. • 3 × 5 = 15 • 3² × 5 = 45 • 3 × 5² = 75 • 3³ × 5 = 135 (3 basamaklı) Sonuç: 75.
5. x ve y birer doğal sayı olmak üzere, y! = 210 × x! olduğuna göre, y'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
- A) 202
- B) 212
- C) 222
- D) 232 ✓
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7 • y! = 7! veya 15! veya 210! olabilir • y = 7: 7! = 5040 = 210 × 24 = 210 × 4! ✓ • y = 15: 15! = 210 × 14! ✓ • y = 210: 210! = 210 × 209! ✓ • Toplam = 7 + 15 + 210 = 232 Sonuç: 232.
6. 108 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2³ × 3²
- B) 2² × 3²
- C) 2 × 3³
- D) 2² × 3³ ✓
Bölme işlemi yapılır. • 108 = 4 × 27 • 2² × 3³ Sonuç: 2² × 3³.
7. Verilen bir A pozitif tam sayısı A = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... × pᵗ biçiminde asal çarpanlarına ayrılıyor. Asal çarpanların üsleri sırasıyla yazılarak bu sayının izi oluşturuluyor. Buna göre izi 3021 olan sayı kaçtır?
- A) 2800
- B) 2100
- C) 1700
- D) 1400 ✓
• İz 3021 → üsler: 3, 0, 2, 1 • A = 2³ × 3⁰ × 5² × 7¹ • A = 8 × 1 × 25 × 7 • A = 8 × 25 × 7 = 200 × 7 = 1400 Sonuç: 1400.
8. m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere, A = 34! / (3ᵐ × 5ⁿ) olduğuna göre, A sayısının alabileceği en küçük değer için (m + n) toplamı kaçtır?
- A) 3
- B) 5
- C) 7
- D) 22 ✓
• 34!'de 3 çarpanı: ⌊34/3⌋ + ⌊34/9⌋ + ⌊34/27⌋ = 11 + 3 + 1 = 15 • 34!'de 5 çarpanı: ⌊34/5⌋ + ⌊34/25⌋ = 6 + 1 = 7 • A en küçük için m = 15, n = 7 • m + n = 15 + 7 = 22 Sonuç: 22.
9. x = 6! × 9!, y = 5! × 10!, z = 4! × 11! olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
- A) z > x > y
- B) z > y > x ✓
- C) x > y > z
- D) x > z > y
• x/y = (6!×9!) / (5!×10!) = 6/(10×9!) × 9! = 6/10 = 3/5 • y/z = (5!×10!) / (4!×11!) = 5/(11×10!) × 10! = 5/11 • 3/5 = 0.6, 5/11 ≈ 0.45 • x < y < z → z > y > x Sonuç: z > y > x.
10. 504 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
- A) 1200
- B) 1440
- C) 1560 ✓
- D) 1680
• 504 = 2³ × 3² × 7 • Bölenler toplamı = (2⁴-1)/(2-1) × (3³-1)/(3-1) × (7²-1)/(7-1) • = 15 × 13 × 8 = 15 × 104 = 1560 Sonuç: 1560.
11. x ve y birer pozitif tam sayıdır. 1080/x = y² olduğuna göre, x en az kaçtır?
- A) 35
- B) 30 ✓
- C) 27
- D) 15
• 1080 = 2³ × 3³ × 5 • y² tam kare olması için x, 1080'i tam kareye tamamlamalı • 1080/x = 2² × 3² olması için x = 2 × 3 × 5 = 30 • x = 30 için 1080/30 = 36 = 6² Sonuç: 30.
12. 125 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
- A) 5²
- B) 5 × 25
- C) 2 × 5²
- D) 5³ ✓
Üslü sayı kuralı. • 125 = 5 × 5 × 5 • 5³ Sonuç: 5³.
13. 2² × 3 × 5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayı kaçtır?
- A) 30
- B) 120
- C) 90
- D) 60 ✓
İşlem yapılır. • 4 × 3 × 5 • 12 × 5 = 60 Sonuç: 60.
14. 210 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?
- A) 3
- B) 2
- C) 4 ✓
- D) 5
Çarpanlara ayrılır. • 210 = 21 × 10 • (3 × 7) × (2 × 5) • Asallar: 2, 3, 5, 7 Sonuç: 4.
15. 96 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali nedir?
- A) 2⁴ × 3
- B) 2³ × 3²
- C) 2⁵ × 3 ✓
- D) 2 × 3⁴
Bölme işlemi yapılır. • 96 = 32 × 3 • 32 = 2⁵ Sonuç: 2⁵ × 3.
16. n! + (n + 1)! / (n + 1)! - n! = 4/3 olduğuna göre, n kaçtır?
- A) 4
- B) 6 ✓
- C) 8
- D) 10
• Pay: n! + (n+1)! = n! + (n+1)n! = n!(n+2) • Payda: (n+1)! - n! = (n+1)n! - n! = n!×n • Oran = n!(n+2) / (n!×n) = (n+2)/n • (n+2)/n = 4/3 • 3(n+2) = 4n • 3n + 6 = 4n • n = 6 Sonuç: 6.
17. 64 sayısının asal çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2 ✓
- B) 3
- C) 5
- D) 7
Üslü sayı özelliği. • 64 = 2⁶ • Sadece 2 tabanı var. Sonuç: 2.
18. 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?
- A) 2 × 3² × 5²
- B) 2² × 3² × 5 ✓
- C) 2³ × 3 × 5
- D) 2 × 3 × 5
Bölme işlemi yapılır. • 180 = 18 × 10 • (2 × 3²) × (2 × 5) • 2² × 3² × 5 Sonuç: 2² × 3² × 5.