EBOB-EKOK 3

1. a = 2² . 5 ve b = 2² . 3³ . 5 sayıları için, OKEK(a, b, c) = 2² . 3³ . 5 . 7 ve OBEB(a, b, c) = 2 ise, c'nin alabileceği en büyük değer, en küçük değerden kaç fazladır?

• A) 76
• B) 184
• C) 220
• D) 364 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OBEB(a, b, c) = 2 olduğundan, c sayısında sadece bir tane 2 çarpanı (2¹) olmalıdır. Ayrıca a ve b'nin ikisinde de olan 5 çarpanı c'de olmamalıdır (olsaydı OBEB 10 olurdu). • OKEK'teki 7 çarpanı a ve b'de olmadığı için kesinlikle c'den gelmelidir. • a sayısında 3 çarpanı olmadığı için c'nin alacağı 3 çarpanları OBEB'i (2) bozmaz. OKEK'te 3³ vardır ve bu b'den sağlanır. Bu yüzden c sayısı 3 çarpanını hiç almayabilir (3⁰) veya en fazla 3³ alabilir. • c'nin formu: c = 2¹ . 3ʸ . 7¹ = 14 . 3ʸ (y: 0, 1, 2 veya 3 olabilir). • En küçük c = 14 . 3⁰ = 14 • En büyük c = 14 . 3³ = 14 . 27 = 378 • Fark: 378 - 14 = 364.

2. OBEB(x, y) = 4 ve OKEK(x, y) = 48 olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri kaçtır?

• A) 10
• B) 18
• C) 28 ✓
• D) 36

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Sayılar 4'ün katı: x=4k, y=4m (k,m aralarında asal). • OKEK = 4.k.m = 48 => k.m = 12. • Toplamın küçük olması için k ve m yakın seçilmeli. • k=3, m=4 (Aralarında asal). • x=12, y=16. • Toplam: 12 + 16 = 28.

3. EKOK(10, 100) kaçtır?

• A) 10
• B) 50
• C) 100 ✓
• D) 1000

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Kat kuralı uygulanır. • Kural: Biri diğerinin katıysa EKOK büyük sayıdır. Sonuç: 100.

4. OKEK(x, 36) = 180 olduğuna göre, kaç farklı x pozitif tam sayısı vardır?

• A) 10
• B) 9 ✓
• C) 8
• D) 7

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OKEK(x, 36) = 180 • 180 = 2² . 3² . 5 • 36 = 2² . 3² • x sayısı 180'in böleni olmalı ve içinde 5 çarpanı kesinlikle bulunmalıdır (Çünkü 36'da 5 yok). • x = 5 . k diyelim. k sayısı 36 ile aralarında asal veya 36'nın içinde olmayan çarpanları içermeli diye bir kural yok, k, 36'nın bölenlerinden seçilebilir ancak x'in OKEK'i 180 yapması için gereken maksimum üsleri sağlaması gerekir. • x = 2^a . 3^b . 5^1. • max(a, 2) = 2, max(b, 2) = 2. • a: 0, 1, 2 olabilir (3 değer) • b: 0, 1, 2 olabilir (3 değer) • Toplam durum: 3 x 3 = 9 değer.

5. a/3 = b/4 ve OBEB(a, b) = 24 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

• A) 84
• B) 91
• C) 102
• D) 168 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ a = 3k, b = 4k • OBEB(3k, 4k) = k • k = 24 verildiğine göre; • a = 3.24 = 72, b = 4.24 = 96. • a + b = 72 + 96 = 168.

6. x . y = 108 ve OBEB(x, y) = 3 olduğuna göre, x + y toplamının en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 21 ✓
• B) 13
• C) 12
• D) 10

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ x=3k, y=3m. • (3k).(3m) = 108 => 9km = 108 => km = 12. • Toplamın en küçük olması için k ve m yakın ve aralarında asal seçilmeli. • 3 ve 4. • x=9, y=12. • Toplam: 21.

7. Bir miktar ceviz 6'şarlı, 8'erli ve 12'şerli sayıldığında her seferinde 4 ceviz artıyor. Ceviz sayısı 100'den fazla ise en az kaçtır?

• A) 120
• B) 124 ✓
• C) 148
• D) 152

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OKEK(6, 8, 12) = 24. • Ceviz Sayısı = 24k + 4. • 100'den büyük k=5 seçersek: 24*5 = 120. • 120 + 4 = 124.

8. 3 ile bölündüğünde 1, 4 ile bölündüğünde 2, 5 ile bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır?

• A) 53
• B) 58 ✓
• C) 60
• D) 118

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Sayı A olsun. A = 3k+1 = 4m+2 = 5n+3. • Her tarafa 2 ekleyelim: A+2 = 3k+3 = 4m+4 = 5n+5. • A+2 sayısı 3, 4 ve 5'in katıdır -> OKEK(3,4,5) = 60. • A+2 = 60 => A = 58.

9. 35 ve 42 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır?

• A) 210
• B) 217 ✓
• C) 203
• D) 227

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Sayı A = 35k + 7 = 42m + 7. • A - 7 = OKEK(35, 42). • 35 = 5.7, 42 = 6.7. OKEK = 5.6.7 = 210. • A - 7 = 210 => A = 217.

10. EBOB(36, 54) kaçtır?

• A) 9
• B) 12
• C) 18 ✓
• D) 27

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Ortak bölenler bulunur. • 36 = 18 × 2 • 54 = 18 × 3 • En büyük ortak bölen: 18 Sonuç: 18.

11. a ve b aralarında asaldır. OKEK (a, b) = 85 ve a + 15/b = 20 olduğuna göre, b kaçtır?

• A) 3
• B) 4
• C) 5 ✓
• D) 6

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Aralarında asal sayıların OKEK'i çarpımlarıdır: a.b = 85. • a + 15/b = 20 => (ab + 15)/b = 20 • 85 + 15 = 20b => 100 = 20b => b = 5.

12. Kenarları 70 m ve 91 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Buna göre, en az kaç ağaç gereklidir?

• A) 45
• B) 46 ✓
• C) 47
• D) 48

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Ağaç aralığı en büyük olmalı -> OBEB(70, 91) = 7 m. • Çevre / Aralık = 2(70 + 91) / 7 = 2(161) / 7 = 322 / 7 = 46.

13. Kenar uzunlukları 42 ve 54 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenarlarına ve köşelerine de gelecek şekilde eşit aralıklarla lamba direkleri dikilecektir. En az kaç direk kullanılır?

• A) 16
• B) 18
• C) 24
• D) 32 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OBEB(42, 54) = 6 m. • Çevre / Aralık formülü (sadece çevreye): 2(42+54) / 6 = 2(96)/6 = 192/6 = 32.

14. Bir kutudaki kalemler altışarlı sayıldığında 3, yedişerli sayıldığında 1 kalem artmaktadır. Kutudaki kalem sayısı 1000'den az olduğuna göre, kutuda en çok kaç kalem vardır?

• A) 900
• B) 923
• C) 933
• D) 981 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ A = 6x + 3 = 7y + 1 • Her tarafa 27 eklersek: A + 27 = 6x + 30 = 7y + 28 • A + 27 sayısı hem 6'nın hem 7'nin katı (42'nin katı). • 1000'e yakın 42 katı: 42 x 24 = 1008. • A + 27 = 1008 => A = 981.

15. Kenar uzunlukları 30m ve 40m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. İki ağaç arası en fazla kaç metre olabilir?

• A) 5
• B) 10 ✓
• C) 15
• D) 20

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ EBOB problemi çözülür. • 30 = 10 × 3 • 40 = 10 × 4 • EBOB = 10 Sonuç: 10 metre.

16. Kenar uzunlukları 12 cm ve 16 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar yan yana dizilerek en küçük alana sahip bir kare oluşturulacaktır. Karenin bir kenarı kaç cm olur?

• A) 24
• B) 36
• C) 48 ✓
• D) 60

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ EKOK problemi çözülür. • 12 = 3 × 4 • 16 = 4 × 4 • EKOK = 4 × 3 × 4 = 48 Sonuç: 48 cm.

17. x ve y pozitif tam sayılardır. OBEB(25!, 10⁸) = 2ˣ . 5ʸ olduğuna göre x + y kaçtır?

• A) 15
• B) 14 ✓
• C) 13
• D) 12

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 10⁸ = 2⁸ . 5⁸ • 25! içindeki 2 ve 5 çarpanlarının sayısı ile 8'i karşılaştıracağız (OBEB için minimum alınır). • 25! içindeki 2 sayısı: 25/2=12, 12/2=6, 6/2=3, 3/2=1. Toplam: 12+6+3+1 = 22. • min(22, 8) = 8. Yani x = 8. • 25! içindeki 5 sayısı: 25/5=5, 5/5=1. Toplam: 5+1 = 6. • min(6, 8) = 6. Yani y = 6. • x + y = 8 + 6 = 14.

18. 36, 42 ve 54 litrelik 3 farklı meşrubat birbirilerine karıştırılmadan eş hacimli bidonlara doldurulacaktır. En az kaç bidon gereklidir?

• A) 22 ✓
• B) 24
• C) 26
• D) 28

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OBEB(36, 42, 54) = 6 litre. • Bidon sayıları: 36/6=6, 42/6=7, 54/6=9. • Toplam: 6 + 7 + 9 = 22.

19. Kenar uzunlukları 40 m ve 72 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç gerekir?

• A) 14
• B) 28 ✓
• C) 32
• D) 56

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OBEB(40, 72) = 8 m. • Çevre = 2(40 + 72) = 224 m. • Ağaç Sayısı = 224 / 8 = 28.

20. Boyutları 24 m, 28 m ve 32 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depoya boş yer kalmayacak şekilde en az kaç küp şeklinde kutu yerleştirilir?

• A) 286
• B) 300
• C) 320
• D) 336 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ OBEB(24, 28, 32) = 4 m (Küp kenarı). • (24 . 28 . 32) / (4 . 4 . 4) = 6 . 7 . 8 = 336.

21. a ve b pozitif tam sayılar, OBEB(a, b) = 5 ve 7a = 5b olduğuna göre a + b kaçtır?

• A) 45
• B) 50
• C) 60 ✓
• D) 70

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 7a = 5b => a/b = 5/7. • OBEB 5 olduğundan, a = 5x5 = 25, b = 7x5 = 35. • Toplam: 25 + 35 = 60.

22. A sayısı 2³ x 3² ve B sayısı 2² x 3³ ise, EKOK(A, B) nedir?

• A) 2² x 3²
• B) 2³ x 3³ ✓
• C) 2² x 3³
• D) 2³ x 3²

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ EKOK kuralı uygulanır. • Kural: Ortak tabanlardan üssü büyük olanlar alınır. • 2³ ve 3³ seçilir. Sonuç: 2³ x 3³.

23. Boyutları 10 cm, 12 cm ve 15 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutularla en küçük hacimli bir küp yapılacaktır. Kaç kutu gerekir?

• A) 60
• B) 100
• C) 120 ✓
• D) 180

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Küpün bir kenarı OKEK(10, 12, 15) = 60 cm olmalı. • Kutu sayısı = (60.60.60) / (10.12.15) = 6.5.4 = 120.

24. OBEB'leri 14 olan üç sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

• A) 84
• B) 98
• C) 112
• D) 144 ✓

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ Sayıların her biri 14'ün katı olmalı. (14x, 14y, 14z) • Toplamları 14(x+y+z) olacağından 14'ün katı olmalı. • 84 (14x6), 98 (14x7), 112 (14x8) katıdır. • 144, 14'e tam bölünmez (140 bölünür).

25. x ve y aralarında asal sayılar olmak üzere, 3/x = 2/y eşitliğini sağlayan x ve y sayıları için OBEB(x, y) + OKEK(x, y) toplamı kaçtır?

• A) 7 ✓
• B) 31
• C) 61
• D) 122

•‍​‌​‌​​‌‌​‌​​​​‌‌​‌​​‌​‌‌​​‌‌​​‌​​​‌‌​‌‌​‍ 3y = 2x => y/x = 2/3. • Aralarında asal oldukları için y=2, x=3. • OBEB(2, 3) = 1. • OKEK(2, 3) = 6. • Toplam: 1 + 6 = 7.